新高考高中數(shù)學核心知識點全透視專題7.1任意角的三角函數(shù)(精講精析篇)(原卷版+解析)

專題7.1任意角的三角函數(shù)（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1．將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合方程、基本不等式、二次函數(shù)的最值及弧度制的應用考查弧長公式、面積公式及最值問題，凸顯直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)符號的判斷綜合考查，凸顯數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．4.利用同角三角函數(shù)基本關系式解決條件求值問題，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．5．把誘導公式與同角三角函數(shù)基本關系綜合考查，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能進行弧度與角度的互化.2.三角函數(shù)（1）理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.（2）理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.（3）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式,三、主干知識梳理（一）象限角及終邊相同的角（1）任意角、角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．（二）弧度制、扇形的弧長及面積公式（1）弧度制：①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關．（2）弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此時α為弧度．扇形面積公式，扇形中弦長公式，扇形弧長公式在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr,180)，扇形面積S＝eq\f(nπr2,360)，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系．（三）任意角的三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)定義：設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么（1）點P的縱坐標叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；（2）點P的橫坐標叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；（3）點P的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．2.三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦（四）同角三角函數(shù)1.同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.三角函數(shù)求值與化簡必會的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,等類型可進行弦化切.(2)“1”的靈活代換法:等.(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用的關系進行變形、轉(zhuǎn)化.（五）誘導公式六組誘導公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當α為銳角時，原函數(shù)值的符號”一、命題規(guī)律1.客觀題主要考查三角函數(shù)的定義，圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)關系，誘導公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知識.2.解答題涉及知識點較為綜合．涉及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形知識較為常見.二、真題展示1．（2023·湖南·高考真題）已知，且為第四象限角，則____________2.（2023·江蘇·高考真題）已知，且，則的值是_________.考點01象限角及終邊相同的角【典例1】（2023·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）A． B．C． D．【方法技巧】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．【典例2】若是第三象限的角,則是（）A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角【總結(jié)提升】象限角與軸線角(終邊在坐標軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}考點02弧度制、扇形的弧長及面積公式【典例3】（2023·江蘇·高一課時練習）一扇形的周長為20cm，當扇形的半徑和圓心角各取何值時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【總結(jié)提升】應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決；(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．考點03三角函數(shù)的定義【典例4】（全國高考真題））若，且，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【典例5】已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【典例6】（江西高考真題）已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_______.【典例7】（2023·江蘇·高一課時練習）設角的終邊經(jīng)過點（），求和的值.【總結(jié)提升】1.已知角終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．2.已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值．考點04同角三角函數(shù)的基本關系式

【典例8】（2023·金華市江南中學高一月考）已知=2，則tanx=____，sinxcosx=____.【典例9】（2023·江蘇·高一課時練習）已知tanα＝2，求sinα和cosα的值．【規(guī)律方法】1.同角三角函數(shù)關系式的三種應用方法--“弦切互化法”、““1”的靈活代換法”、“和積轉(zhuǎn)換法”(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，注意等；(2)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用“平方關系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論．2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．（1）若已知tanα＝m，求形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)(或eq\f(asin2α＋bcos2α,csin2α＋dcos2α))的值，其方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α)轉(zhuǎn)化為tanα的代數(shù)式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么運算量會很大，問題的解決就會變得繁瑣．（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代換，分子、分母同除以cos2α再求解．考點05sinαcosα與sinαcosα的關系及應用【典例10】（2023·江蘇·高一課時練習）已知，若是第二象限角，則的值為__________.【典例11】（2023·永州市第四中學高一月考）已知.試用k表示的值.【總結(jié)提升】(1)應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考點06誘導公式及其應用【典例12】(2023·全國高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=.【典例13】（2023·永州市第四中學高一月考）已知是第四象限角，.（1）化簡.（2）若，求的值.【總結(jié)提升】1.用誘導公式求值時,要善于觀察所給角之間的關系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有-α與+α,+α與-α,+α與-α等,常見的互補關系有-θ與+θ,+θ與-θ,+θ與-θ等.2.利用誘導公式化簡求值的步驟:(1)負化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.考點07同角公式、誘導公式的綜合應用【典例14】（2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學高三月考（理））已知，則＝（）A．-7 B． C． D．5【典例15】（2023·山東諸城?高一期中）已知，且是第________象限角.從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：（1）求的值；（2）化簡求值：.【規(guī)律方法】1.利用誘導公式化簡三角函數(shù)的基本思路:(1)分析結(jié)構特點,選擇恰當公式;(2)利用公式化成單角三角函數(shù);(3)整理得最簡形式.2.化簡要求:(1)化簡過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構盡可能簡單,能求值的要求出值.3.三角恒等式的證明一般有三種方法：①一端化簡等于另一端；②兩端同時化簡使之等于同一個式子；③作恒等式兩端的差式使之為0．4證明條件恒等式，一般有兩種方法：一是在從被證等式一邊推向另一邊的適當時候?qū)l件代入，推出被證等式的另一邊，這種方法稱作代入法；二是直接將條件等式變形，變形為被證的等式，這種方法稱作推出法，證明條件等式時，不論使用哪一種方法，都要依據(jù)要證的目標的特征進行變形．鞏固提升1．（2023·甘肅省會寧縣第四中學高二期末（文））的值為（）A． B． C． D．2．（2023·昆明市官渡區(qū)第一中學高一月考）若－<α<0，則點P(tanα，cosα)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2023·北京·潞河中學高三月考）若，則（）A．且 B．且C．且 D．且4．（2023·安徽·高三學業(yè)考試）若點在角的終邊上，則等于（）A． B． C． D．5．（2023·江蘇·高一課時練習）下列命題中正確的是（）．A．第一象限角一定不是負角 B．小于90°的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限角 D．第一象限角一定是銳角6．（2023·河南項城市第三高級中學高一月考）已知是第二象限角，且，則（）A． B． C． D．7．（2023·江西省銅鼓中學高一期末）一個扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為（）A．4 B．1 C． D．28.（2023·吉林高三月考（理））若，且，則（）A． B． C． D．9.（2023·天津高考模擬）已知，則的值是（）A．B．C．D．10.（2023·永州市第四中學高一月考）已知是第四象限角，.（1）化簡.（2）若，求的值.專題7.1任意角的三角函數(shù)（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1．將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合方程、基本不等式、二次函數(shù)的最值及弧度制的應用考查弧長公式、面積公式及最值問題，凸顯直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)符號的判斷綜合考查，凸顯數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．4.利用同角三角函數(shù)基本關系式解決條件求值問題，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．5．把誘導公式與同角三角函數(shù)基本關系綜合考查，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能進行弧度與角度的互化.2.三角函數(shù)（1）理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.（2）理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.（3）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式,三、主干知識梳理（一）象限角及終邊相同的角（1）任意角、角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．（二）弧度制、扇形的弧長及面積公式（1）弧度制：①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關．（2）弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此時α為弧度．扇形面積公式，扇形中弦長公式，扇形弧長公式在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr,180)，扇形面積S＝eq\f(nπr2,360)，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系．（三）任意角的三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)定義：設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么（1）點P的縱坐標叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；（2）點P的橫坐標叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；（3）點P的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．2.三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦（四）同角三角函數(shù)1.同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.三角函數(shù)求值與化簡必會的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,等類型可進行弦化切.(2)“1”的靈活代換法:等.(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用的關系進行變形、轉(zhuǎn)化.（五）誘導公式六組誘導公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當α為銳角時，原函數(shù)值的符號”一、命題規(guī)律1.客觀題主要考查三角函數(shù)的定義，圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)關系，誘導公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知識.2.解答題涉及知識點較為綜合．涉及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形知識較為常見.二、真題展示1．（2023·湖南·高考真題）已知，且為第四象限角，則____________答案：分析：首先求的值，再求.【詳解】，且為第四象限角，，.故答案為：2.（2023·江蘇·高考真題）已知，且，則的值是_________.答案：分析：先用誘導公式化簡，再通過同角三角函數(shù)的基本關系求得.【詳解】，因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.考點01象限角及終邊相同的角【典例1】（2023·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）A． B．C． D．答案：A分析：利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A【方法技巧】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．【典例2】若是第三象限的角,則是（）A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角答案：B【解析】是第三象限角，，，，故當為偶數(shù)時，是第一象限角；故當為奇數(shù)時，是第三象限角，故選B.【總結(jié)提升】象限角與軸線角(終邊在坐標軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}考點02弧度制、扇形的弧長及面積公式【典例3】（2023·江蘇·高一課時練習）一扇形的周長為20cm，當扇形的半徑和圓心角各取何值時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．答案：當扇形的半徑為5cm和圓心角為2rad時，扇形的面積最大，最大值為25cm2．分析：設扇形的半徑為r，弧長為l，可得，然后可求出答案.【詳解】設扇形的半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝20，即l＝20－2r，從而可得0<r<10．又當r＝5時，S有最大值25，此時l＝20－2×5＝10，圓心角．答：當扇形的半徑為5cm和圓心角為2rad時，扇形的面積最大，最大值為25cm2．【總結(jié)提升】應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決；(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．考點03三角函數(shù)的定義【典例4】（全國高考真題））若，且，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C【解析】，則的終邊在三、四象限；則的終邊在三、一象限，，，同時滿足，則的終邊在三象限.【典例5】已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]答案：A【解析】∵，∴角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴∴.故選A.【典例6】（江西高考真題）已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_______.答案：-8【解析】根據(jù)正弦值為負數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標為正，斷定該角為第四象限角.=【典例7】（2023·江蘇·高一課時練習）設角的終邊經(jīng)過點（），求和的值.答案：當時，；當時，分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得；【詳解】解：因為角的終邊經(jīng)過點（），所以，當時，，所以，當時，，所以.【總結(jié)提升】1.已知角終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．2.已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值．考點04同角三角函數(shù)的基本關系式

【典例8】（2023·金華市江南中學高一月考）已知=2，則tanx=____，sinxcosx=____.答案：3【解析】分析：將=2左端分子分母同除以，得，解得，.故答案為：；【典例9】（2023·江蘇·高一課時練習）已知tanα＝2，求sinα和cosα的值．答案：當α是第一象限角，則cosα＝，sinα＝；當α是第三象限角，則cosα＝－，sinα＝－.分析：利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】解由＝tanα＝2，可得sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝.又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角．當α是第一象限角，則cosα＝，sinα＝；當α是第三象限角，則cosα＝－，sinα＝－.【規(guī)律方法】1.同角三角函數(shù)關系式的三種應用方法--“弦切互化法”、““1”的靈活代換法”、“和積轉(zhuǎn)換法”(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，注意等；(2)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用“平方關系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論．2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．（1）若已知tanα＝m，求形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)(或eq\f(asin2α＋bcos2α,csin2α＋dcos2α))的值，其方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α)轉(zhuǎn)化為tanα的代數(shù)式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么運算量會很大，問題的解決就會變得繁瑣．（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代換，分子、分母同除以cos2α再求解．考點05sinαcosα與sinαcosα的關系及應用【典例10】（2023·江蘇·高一課時練習）已知，若是第二象限角，則的值為__________.答案：分析：利用完全平方和平方關系求解.【詳解】，所以，所以，所以.又因為是第二象限角，所以，，所以.故答案為：.【典例11】（2023·永州市第四中學高一月考）已知.試用k表示的值.答案：詳見解析【解析】，,當時，，此時，當時，，此時.【總結(jié)提升】(1)應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考點06誘導公式及其應用【典例12】(2023·全國高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=.答案：【解析】∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．則tan（θ）＝﹣tan（）．故答案為：．【典例13】（2023·永州市第四中學高一月考）已知是第四象限角，.（1）化簡.（2）若，求的值.答案：（1）；（2）【解析】（1）．．（2）因為，所以．因為是第四象限角，所以，所以．【總結(jié)提升】1.用誘導公式求值時,要善于觀察所給角之間的關系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有-α與+α,+α與-α,+α與-α等,常見的互補關系有-θ與+θ,+θ與-θ,+θ與-θ等.2.利用誘導公式化簡求值的步驟:(1)負化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.考點07同角公式、誘導公式的綜合應用【典例14】（2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學高三月考（理））已知，則＝（）A．-7 B． C． D．5答案：D分析：先通過誘導公式對等式進行化簡，進而弦化切求出正切值，然后對所求式子進行弦化切，最后得到答案.【詳解】由題意，，則.故選：D.【典例15】（2023·山東諸城?高一期中）已知，且是第________象限角.從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：（1）求的值；（2）化簡求值：.答案：（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】（1）因為，所以為第三象限或第四象限角；若選③，；若選④，；（2）原式.【規(guī)律方法】1.利用誘導公式化簡三角函數(shù)的基本思路:(1)分析結(jié)構特點,選擇恰當公式;(2)利用公式化成單角三角函數(shù);(3)整理得最簡形式.2.化簡要求:(1