(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))重難點(diǎn)題型精講專題3.9直線與雙曲線的位置關(guān)系(原卷版+解析)

專題3.9直線與雙曲線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

①代入②得.

當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).

當(dāng)0，即時(shí)，=.

???????>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；

=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；

<0直線與雙曲線沒有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件>0x1+x2<0x2．弦長(zhǎng)問題①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.

②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.3．“中點(diǎn)弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.4．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.5．雙曲線與其他知識(shí)交匯問題雙曲線通常與圓、橢圓、拋物線或向量、不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系綜合考查，應(yīng)用中應(yīng)注意對(duì)知識(shí)的綜合及分析.

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及一些基本量，樹立基本量思想對(duì)于確定雙曲線方程和認(rèn)識(shí)其幾何性質(zhì)有很大幫助.例如，“”可以通過來(lái)證明，也可以通過來(lái)證明，證明解析幾何問題的方法具有多樣性.6．雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題(1)解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，除了要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念，同時(shí)還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與雙曲線的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.【例1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【變式1-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線y=32x+2A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定【變式1-2】(2023·福建·高二期末）直線y=kx+2與雙曲線x2?yA．k=±1 B．k=±3或k=±2 C．k=±1或k=±3【變式1-3】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)P（4，4）且與雙曲線x216?A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【題型2弦長(zhǎng)問題】【方法點(diǎn)撥】①解決弦長(zhǎng)問題，一般運(yùn)用弦長(zhǎng)公式.而用弦長(zhǎng)公式時(shí)，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.②涉及弦長(zhǎng)問題，應(yīng)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到(或)，代入到弦長(zhǎng)公式即可.【例2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線x?y=0與雙曲線2x2?y2=2有兩個(gè)交點(diǎn)為A，A．2 B．22 C．4 D．【變式2-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線2x+y=0交于A，B兩點(diǎn)，若AB=215，則該雙曲線的方程為（A．y2?x2=25 B．y2【變式2-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點(diǎn)F?A．25 B．45 C．10 【變式2-3】(2023·云南德宏·高二期末）經(jīng)過雙曲線y2A．4103 B．2023 C．【題型3雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】【方法點(diǎn)撥】解決“中點(diǎn)弦”問題常用點(diǎn)差法，點(diǎn)差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可以用于解決對(duì)稱問題，因?yàn)檫@類問題也與弦中點(diǎn)和斜率有關(guān).與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題有平行弦的中點(diǎn)軌跡、過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程等.在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.【例3】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:2x2?y2=2，過點(diǎn)P(1,2)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段A．423 B．334 C．【變式3-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線x2?y2=4上，線段AB的中點(diǎn)MA．2 B．22 C．5 D．【變式3-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:x2?y2=2，過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若A．32 B．42 C．6 【變式3-3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：x22－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（A．22 B．23C．33 D．43【題型4雙曲線中的面積問題】【方法點(diǎn)撥】雙曲線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與雙曲線方程，求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個(gè)三角形面積來(lái)求解.【例4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；(2)已知斜率為?12的直線l與雙曲線C交于x軸上方的A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為?1【變式4-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l：y=?12x+tt>0與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為?【變式4-2】(2023·高二階段練習(xí)）已知雙曲線E:x2m?y25=1的離心率為(1)若雙曲線E的離心率e∈62,(2)當(dāng)e=2時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求△OAM的面積S【變式4-3】（2023·吉林高三開學(xué)考試（理））已知過點(diǎn)?2,1的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是（1）求雙曲線C的方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx?1與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)分別是A，B，△AOB的面積為2，求實(shí)數(shù)k的值.【題型5雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】【例5】(2023·廣東·高三開學(xué)考試）設(shè)直線x=m與雙曲線C：x2?y23=m(m>0)的兩條漸近線分別交于A，(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若M'，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過【變式5-1】(2023·遼寧朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的方程；(2)點(diǎn)A，B在雙曲線C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，PQ⊥AB，證明：存在定點(diǎn)R，使得QR為定值.【變式5-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若雙曲線C的兩頂點(diǎn)分別為A1?a,0,A2a,0，過點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C交于M，N【變式5-3】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，且FA=2+5，F(xiàn)到C的漸近線的距離為1，過點(diǎn)B4,0的直線l與雙曲線C的右支交于P(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線MB，NB的斜率分別為k1，k2，判斷【題型6雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；②求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；③根據(jù)雙曲線的方程及定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問題.【例6】(2023·江蘇南通·高三階段練習(xí)）鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.（1）已知A，B是在直線l兩側(cè)且到直線l距離不相等的兩點(diǎn)，P為直線l上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)P的位置滿足什么條件時(shí)，|PA?PB|取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對(duì)稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).【變式6-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為捍衛(wèi)釣魚島及其附屬島嶼的領(lǐng)土主權(quán)，中國(guó)派出艦船“唐山號(hào)”、“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”在釣魚島領(lǐng)海巡航.某日，正巡邏在A處的“唐山號(hào)”突然發(fā)現(xiàn)來(lái)自P處的疑似敵艦的某信號(hào)，發(fā)現(xiàn)信號(hào)時(shí)“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”正分別位于如圖所示的B、C兩處，其中A在B的正東方向相距6海里處，C在B的北偏西30°方向相距4海里處.由于B、C比A距P更遠(yuǎn)，因此，4秒后B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為每秒1海里），試確定疑似敵艦相對(duì)于A點(diǎn)“唐山號(hào)”的位置.【變式6-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P為航天員的著陸點(diǎn)．某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4s后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)．已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角．【變式6-3】（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，某野生保護(hù)區(qū)監(jiān)測(cè)中心設(shè)置在點(diǎn)O處，正西、正東、正北處有三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A、B、C，且OA=OB=OC=30km，一名野生動(dòng)物觀察員在保護(hù)區(qū)遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)均收到求救信號(hào)，A點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比B（1）以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；（2）若已知C點(diǎn)與A點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間相同，求觀察員遇險(xiǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)，以及與檢測(cè)中心O的距離；（3）若C點(diǎn)監(jiān)測(cè)點(diǎn)信號(hào)失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測(cè)點(diǎn)C為圓心進(jìn)行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少公里？專題3.9直線與雙曲線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

①代入②得.

當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).

當(dāng)0，即時(shí)，=.

???????>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；

=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；

<0直線與雙曲線沒有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件>0x1+x2<0x2．弦長(zhǎng)問題①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.

②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.3．“中點(diǎn)弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.4．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.5．雙曲線與其他知識(shí)交匯問題雙曲線通常與圓、橢圓、拋物線或向量、不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系綜合考查，應(yīng)用中應(yīng)注意對(duì)知識(shí)的綜合及分析.

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及一些基本量，樹立基本量思想對(duì)于確定雙曲線方程和認(rèn)識(shí)其幾何性質(zhì)有很大幫助.例如，“”可以通過來(lái)證明，也可以通過來(lái)證明，證明解析幾何問題的方法具有多樣性.6．雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題(1)解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，除了要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念，同時(shí)還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與雙曲線的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.【例1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【解題思路】利用定義法，分充分性和必要性分類討論即可.【解答過程】充分性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”，所以直線與雙曲線相切或直線與進(jìn)行平行.故充分性不滿足；必要性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”.故必要性滿足.所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件.故選：B.【變式1-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線y=32x+2A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定【解題思路】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x=?13【解答過程】由y=32x+2x24所以x=?13又雙曲線x24y=3所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．故選：B.【變式1-2】(2023·福建·高二期末）直線y=kx+2與雙曲線x2?yA．k=±1 B．k=±3或k=±2 C．k=±1或k=±3【解題思路】直接聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0分析，二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)需要得到的二次方程的判別式等于0．【解答過程】聯(lián)立y=kx+2x2?y當(dāng)1?k2=0，即k=±1時(shí)，方程①化為一次方程，直線y=kx+2當(dāng)1?k2≠0，即k≠±1時(shí)，要使直線y=kx+2與雙曲線x2?y2綜上，使直線y=kx+2與雙曲線x2?y2=2有且只有一個(gè)交點(diǎn)的實(shí)數(shù)k故選C.【變式1-3】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)P（4，4）且與雙曲線x216?A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解題思路】把直線與雙曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，借助判別式求解，注意分類討論．【解答過程】解；雙曲線方程為：x2當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x＝4，與x216?y當(dāng)k存在時(shí)，直線為：y＝k（x﹣4）+4，代入雙曲線的方程可得：9?16k（1）若9?16k2＝0，k=±34時(shí)，y＝±34（x﹣4）所以與雙曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)，（2）k≠±34時(shí)，即k=2532，此時(shí)直線y=2532（x﹣4）綜上過點(diǎn)P（4，4）且與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線4條．故選：D.【題型2弦長(zhǎng)問題】【方法點(diǎn)撥】①解決弦長(zhǎng)問題，一般運(yùn)用弦長(zhǎng)公式.而用弦長(zhǎng)公式時(shí)，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.②涉及弦長(zhǎng)問題，應(yīng)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到(或)，代入到弦長(zhǎng)公式即可.【例2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線x?y=0與雙曲線2x2?y2=2有兩個(gè)交點(diǎn)為A，A．2 B．22 C．4 D．【解題思路】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，直接解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算兩點(diǎn)間距離．【解答過程】由2x2?y2∴AB=故選：C．【變式2-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線2x+y=0交于A，B兩點(diǎn)，若AB=215，則該雙曲線的方程為（A．y2?x2=25 B．y2【解題思路】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解【解答過程】由題意可設(shè)雙曲線方程為y2?x由y2?x2=m2x+y=0得不妨假設(shè)xA=m由圖象的對(duì)稱性可知，AB=215可化為即m3+4×m故雙曲線方程為：y2故選：C.【變式2-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點(diǎn)F?A．25 B．45 C．10 【解題思路】根據(jù)漸進(jìn)線方程得出ba=2,再根據(jù)焦點(diǎn)得出c=3,結(jié)合c2=a2+【解答過程】∵雙曲線C：x2a2∴ba=2，即b=2a，∵∴c2=a2+b∴雙曲線方程為x2?y22設(shè)Ax1,y1消y可得x2+43x+7=0，∴∴AB=故選:C.【變式2-3】(2023·云南德宏·高二期末）經(jīng)過雙曲線y2A．4103 B．2023 C．【解題思路】設(shè)出直線方程代入x2?y【解答過程】由y2?x所以雙曲線x2?y經(jīng)過雙曲線x2?y代入x2?y設(shè)交點(diǎn)Ax1,y1,Bx故選：B.【題型3雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】【方法點(diǎn)撥】解決“中點(diǎn)弦”問題常用點(diǎn)差法，點(diǎn)差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可以用于解決對(duì)稱問題，因?yàn)檫@類問題也與弦中點(diǎn)和斜率有關(guān).與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題有平行弦的中點(diǎn)軌跡、過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程等.在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.【例3】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:2x2?y2=2，過點(diǎn)P(1,2)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段A．423 B．334 C．【解題思路】設(shè)直線MN為y?2=k(x?1)，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求k值，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.【解答過程】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過P(1,2)的直線MN為y?2=k(x?1)，聯(lián)立雙曲線：(2?設(shè)M(x1,y1),N(x則x1+x弦長(zhǎng)|MN|=1+故選：D.【變式3-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線x2?y2=4上，線段AB的中點(diǎn)MA．2 B．22 C．5 D．【解題思路】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線AB的斜率，然后求出直線AB的方程，聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求解AB的長(zhǎng).【解答過程】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則可得方程組：x12?y12=4x22?y22=4，兩式相減得：x1+x故選：D.【變式3-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:x2?y2=2，過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若A．32 B．42 C．6 【解題思路】設(shè)出直線y=k(x?2)，與C:x2?y2=2聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可求出【解答過程】解：雙曲線C:x22?y根據(jù)題意易得過F的直線斜率存在，設(shè)為y=k(x?2)，A(聯(lián)立y=k(x?2)x化簡(jiǎn)得1?k所以xA因?yàn)锳,B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，所以xA解得k2=2，所以則xA則|AB|=1+故選D．【變式3-3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：x22－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（A．22 B．23C．33 D．43【解題思路】解法一，設(shè)直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的斜率，并代入弦長(zhǎng)公式求AB；解法二，利用點(diǎn)差法，求直線的斜率，再代入弦長(zhǎng)公式.【解答過程】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由y=k(x?4)+2,x22?y2=1消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋所以x1x2＝?32k所以|AB|＝1+k2·(x故選:D.解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x12x22①－②得12(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，所以直線AB的斜率k＝y(tǒng)1?y2x1?由y=x?2,x22?y2=1消去所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝1+k2·(x故選：D.【題型4雙曲線中的面積問題】【方法點(diǎn)撥】雙曲線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與雙曲線方程，求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個(gè)三角形面積來(lái)求解.【例4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；(2)已知斜率為?12的直線l與雙曲線C交于x軸上方的A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為?1【解題思路】（1）依題意用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得c，然后由漸近線斜率和幾何量關(guān)系列方程組可解；（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達(dá)定理表示出直線OA，OB的斜率可得直線l的方程，數(shù)形結(jié)合可解.【解答過程】（1）由題意知焦點(diǎn)c,0到漸近線x?2y=0的距離為則c=因?yàn)橐粭l漸近線方程為x?2y=0，所以又a2+b2=3所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2離心率為e=c（2）設(shè)直線l：y=?12x+tt>0，聯(lián)立y=?1則Δ=16所以x1+由k=1解得t=1或?1（舍去），所以x1+l：y=?12x+1，令x=0x1所以△OAB的面積為S=1【變式4-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l：y=?12x+tt>0與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為?【解題思路】（1）由已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求得b，再由離心率即可求出；（2）雙曲線C和直線l的方程聯(lián)立，求出原點(diǎn)O到直線l的距離，和AB，即可得出△OAB的面積【解答過程】（1）雙曲線C：x2a2?y所以焦點(diǎn)到其漸近線的距離為bca因?yàn)殡p曲線C的離心率為62所以e=ca=所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)Ax1,聯(lián)立y=?12x+tx2所以x1+x由kOA解得t＝1（負(fù)值舍去），所以x1+x直線l：y=?12x+1，所以原點(diǎn)O到直線lAB=所以△OAB的面積為12【變式4-2】(2023·高二階段練習(xí)）已知雙曲線E:x2m?y25=1的離心率為(1)若雙曲線E的離心率e∈62,(2)當(dāng)e=2時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求△OAM的面積S【解題思路】（1）由離心率公式得出32≤1+5（2）先得出雙曲線E的方程，再聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得出S△OAM=2kk2【解答過程】(1)a=m,b=5∵e∈62,2，(2)由（1）可知，1+5m=2,m=5設(shè)Px1,y1由x2?yx1+x由?91?k2S△OAM故S△OAM【變式4-3】（2023·吉林高三開學(xué)考試（理））已知過點(diǎn)?2,1的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是（1）求雙曲線C的方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx?1與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)分別是A，B，△AOB的面積為2，求實(shí)數(shù)k的值.【解題思路】（1）由漸近線方程可設(shè)雙曲線C的方程是x2?y（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2，x1【解答過程】（1）因?yàn)殡p曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是x+y=0，所以可設(shè)雙曲線C的方程是x2?y2=λ所以雙曲線C的方程是x2（2）由x2?y2=1,由題意知1?k2≠0,Δ=4k設(shè)Ax1,x1+x因?yàn)閘與雙曲線的交點(diǎn)分別在左?右兩支上，所以x1所以1?k2>0則S△OAB所以x1即?2k解得k=0或k=±62，又所以k=0.【題型5雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】【例5】(2023·廣東·高三開學(xué)考試）設(shè)直線x=m與雙曲線C：x2?y23=m(m>0)的兩條漸近線分別交于A，(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若M'，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過【解題思路】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形OAB的面積為3m2，列出方程，求出（2）設(shè)出直線方程y=kx?pk≠0，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出【解答過程】（1）雙曲線C：x2?y不妨設(shè)Am,3因?yàn)槿切蜲AB的面積為3，所以12所以3m2=3，又（2）雙曲線C的方程為C：x2?y23若直線l與x軸交于點(diǎn)p,0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx?p設(shè)Mx1,y1聯(lián)立y=k(x?p)x2?3?k2≠0化簡(jiǎn)得k2≠3且所以x1+x因?yàn)橹本€MN的斜率存在，所以直線M'因?yàn)镸'，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，所以k即?y1x所以?kx因?yàn)閗≠0，所以x1所以2x所以2??化簡(jiǎn)得p=12，所以MN經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)【變式5-1】(2023·遼寧朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的方程；(2)點(diǎn)A，B在雙曲線C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，PQ⊥AB，證明：存在定點(diǎn)R，使得QR為定值.【解題思路】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得a2（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組，設(shè)A(x1,得出直線PA,PB的方程求得M(0,?1?3y1+3x1?3)和N(0,?1?3y2【解答過程】（1）解：由題意，雙曲線C:x2a2?y2可得9a2?1b（2）解：由題意知，直線的AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組y=kx+mx2?則Δ=(?2km)2設(shè)A(x1,直線PA的方程為y+1=y令x=0，可得y=?1?3y1同理可得N(0,?1?3因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，所以(?1?3即?1?3(k可得(6k+2)x1x所以m=?8或m+3k+1=0，若m+3k+1=0，則直線方程為y=kx?3k?1，即y+1=k(x?3)，此時(shí)直線AB過點(diǎn)P3,?1若m=?8時(shí)，則直線方程為y=kx?8，恒過定點(diǎn)D(0,?8)，所以PD=又由△PQD為直角三角形，且PD為斜邊，所以當(dāng)R為PD的中點(diǎn)(32,?【變式5-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若雙曲線C的兩頂點(diǎn)分別為A1?a,0,A2a,0，過點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C交于M，N【解題思路】（1）由已知條件可得△PF1F（2）對(duì)直線l的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，寫出直線A1M和直線【解答過程】（1）由OP=OF1所以|PPF即4a2又a2故雙曲線的漸近線方程為y=±b（2）由（1）可知雙曲線的方程為x2（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M2,3,N2,?3，直線A1M的方程為y=x+1，直線A2N的方程為y=?3x+3（ii）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，易得直線l不和漸近線平行，且斜率不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx?2聯(lián)立y=kx?2x∴?>0,x∴直線A1M的方程為y=y1x聯(lián)立直線A1M與直線x+1x?1=y又Mx1,∴y=4∴x+1x?12=9,∴x=1綜上，Q在定直線上，且定直線方程為x=1【變式5-3】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，且FA=2+5，F(xiàn)到C的漸近線的距離為1，過點(diǎn)B4,0的直線l與雙曲線C的右支交于P(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線MB，NB的斜率分別為k1，k2，判斷【解題思路】（1）由題意可得FA=a+c=2+5，b=1，再結(jié)合c2（2）設(shè)直線l：x=my+4，?2<m<2，Px1,y1，Qx2,y2，將直線方程代入雙曲線方程消去x，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線AP的方程，可表示出點(diǎn)【解答過程】（1）由題意得FA=a+c=2+5，F(xiàn)(c,0)，漸近線方程為則F(c,0)到漸近線的距離為bca又因?yàn)閏2所以a=2，b=1，c=5故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)直線l：x=my+4，?2<m<2，Px1,聯(lián)立方程組x=my+4,x24所以y1+y因?yàn)橹本€AP的方程為y=y所以M的坐標(biāo)為0,2y1x1因?yàn)閗1=2所以k=12即k1k2【題型6雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；②求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；③根據(jù)雙曲線的方程及定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問題.【例6】(2023·江蘇南通·高三階段練習(xí)）鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線?反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.（1）已知A，B是在直線l兩側(cè)且到直線l距離不相等的兩點(diǎn)，P為直線l上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)P的位置滿足什么條件時(shí)，|PA?PB|取最大值；（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對(duì)稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).【解題思路】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)A'，直線A'B與x軸的交點(diǎn)即為|PA?PB|（2）設(shè)入射光線從F2出射，入射點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在（曲線在入射點(diǎn)處的）切線上，先證明Q是切線上唯一使得|QF1?QF【解答過程】（1）不妨設(shè)A點(diǎn)到直線l的距離比B點(diǎn)到直線l的距離大，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'當(dāng)A'，B，P三點(diǎn)共線，即l為∠APB有PA?PB=PA當(dāng)A'，B，P三點(diǎn)不共線，即l不是∠APB的平分線時(shí)，取這樣的點(diǎn)P'，則A'，B故P'因此，當(dāng)且僅當(dāng)P的位置使得l為∠APB的平分線時(shí)，|PA?PB|取最大值.（2）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，入射光線l1從F2出射，入射點(diǎn)Q，反射光線l2，雙曲線在Q點(diǎn)處的切線l3，由光的反射定律，l1，l2關(guān)于l4對(duì)稱，故l1，要證：反射光線l2過點(diǎn)F只要證：l3是∠定義雙曲線焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的內(nèi)部，漸近線所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的外部，由雙曲線的定義，|F1Q?若|F1Q'?F2若|F1Q″?F2故：對(duì)于雙曲線內(nèi)部的任意一點(diǎn)Q'，有|對(duì)于雙曲線外部的任意一點(diǎn)Q″，有|又l3是雙曲線在Q點(diǎn)處的切線，故在l3上有且僅有一點(diǎn)Q使得l3上其他點(diǎn)Q?均有故Q是l3上唯一使得|又F1，F(xiàn)2到直線l3距離不相等，根據(jù)(1)中結(jié)論，可知l故反射光線l2過點(diǎn)F【變式6-1】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為捍衛(wèi)釣魚島及其附屬島嶼的領(lǐng)土主權(quán)，中國(guó)派出艦船“唐山號(hào)”、“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”在釣魚島領(lǐng)海巡航.某日，正巡邏在A處的“唐山號(hào)”突然發(fā)現(xiàn)來(lái)自P處的疑似敵艦的某信號(hào)，發(fā)現(xiàn)信號(hào)時(shí)“石家莊號(hào)”和“邯鄲號(hào)”正分別位于如圖所示的B、C兩處，其中A在B的正東方向相距6海里處，C在B的北偏西30°方向相距4