初中數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)之相似性及應(yīng)用7

初中數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)之相似性及應(yīng)用7

解答題

14.AO是△ABC的中線，將8C邊所在直線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角，交邊

于點(diǎn)M,交射線AC于點(diǎn)N,設(shè)=AN-yAC(x,y#O).

(1)如圖1,當(dāng)△ABC為等邊三角形且a=30°時(shí)證明：XAMNs”

DMA；

(2)如圖2,證明：-+-=2；

%y

(3)如圖3,當(dāng)G是AO上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)G不與A重合)，過點(diǎn)G的直線

交邊A3于交射線AC于點(diǎn)N',設(shè)AG=nAZ),AM'=x'AB,

112

AN'^y'AC(x',y'^Q),猜想：二+==4是否成立？并說明理由.

xyn

【答案】解：(1)證明：在△40。中，ZMAD=30°,ZADM=60°

：.ZAMD=90°

在△AMN中，ZAMN=90°,AMAN=60°

/.^AMNs△￡)M4.....................(3分)

(2)證明：如圖甲，作CF〃A3交MN于點(diǎn)尸，則

△CFNs4AMN

.NCCF

又MFDmABMD

：.BM=CF

.AN—AC_BMAB-AM

「AN~~~\M~-AM

.yAC-AC_AB-xAB

yACxAB

即，+，=2(3分)

%y

(3)①如圖乙，過。作交A3于M,交AC的延長線

②如圖丙，當(dāng)過點(diǎn)。作交AB的延長線于,交

]1?

AC1于N1,則同理可得

xyn

(3分)

15.如圖，18是。。的直徑，過點(diǎn)/作。。的切線并在其上取一點(diǎn)C,連結(jié)"交

。。于點(diǎn)〃，放的延長線交a1于6,連結(jié)力〃

(1)求證：△儂s△。以(5分)

(2)若/慶2,4>2近，求力￡的長.(4分)

【答案】解：(1)因?yàn)槭?。。的直徑，所?/應(yīng)=90°,所以N/8次/用”=90°.

又/。是。。的切線，則力即N物090°,

所以N。次/胡氏90°,所以/力妙N。。.

因?yàn)?ABD=/BD8/CDE,所以/d〃=ACDE,又/作NG所以ACDEs乙CAD；

(2)在Rt△/〃中，/的小90°,所以O(shè)#+A〃=OU,即「+(271)2=0巴所以0(=3,

則上2.又由得出=8,即2=逑，所以上&,所以

CECDCE2

AE=ALCE=2垃-殍丘.

16「如圖，PQ為圓0的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長線上，0Q=QB=l,動(dòng)點(diǎn)A在圓0的

上車圓運(yùn)動(dòng)(含P、Q兩點(diǎn))，以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC.

(1)當(dāng)線段AB所在的直線與圓0相切時(shí)，求AABC的面積(圖1)；

（2）設(shè)NAOB=a,當(dāng)線段AB與圓0只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求a的范圍

（圖2,直接寫出答案）；

（3）當(dāng)線段AB與圓0有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AOLPM于點(diǎn)N.

求CM的長度（圖3）.

【答案】解：（1）當(dāng)AB與圓0相切時(shí)，連結(jié)A0,過點(diǎn)C作CDJLAB于D（圖4）

VOQ=QB=1

.*.OA=OQ=1;OB=2

.*.AB=V3

???△ABC是等邊三角形

.\AD=—;CD=-

22

I□/o

/.S.ABC=—xABxCD=\

(2)0°<a<60°

(3)連結(jié)MQ(圖5)

??,PQ是圓0直徑

ZPMQ=90°

又TAOLPM

工ZANM=90°

NANM=NPMQ

；.AO〃MQ

.BQBMMQ

VBQ=QO=1

為AB中點(diǎn)；A0=l；MQ=O.5；N0=0.25

.\AN=O.75；PM=叵;

2

AAM=^

2

VAABC是等邊三角形

.,.CM1AB

???CM專

17.如圖1,點(diǎn)。在線段AB上，AO=2,OB=1,OC為射線，且

ZBOC=60。，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線0c做勻

速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)當(dāng)t秒時(shí)，則。2=,S“BP=;

(2)當(dāng)AABP是直角三角形時(shí)，求f的值；

(3)如圖2,當(dāng)=時(shí)，過點(diǎn)A作AQ//8P,并使得NQOP=N8.

求證：AQBP=3.

圖1備用圖圖2

【答案】解:

(1)當(dāng)，=；秒時(shí)，則。P=1,Sfp=￥

(2)當(dāng)是直角三角形時(shí),

①：ZA<ZBOC=60°,

??.N4不可能是直角.

②若ZABP=90。，如圖

在以△。陽中，ZBOC=60°,OB=1

Vcos60°=—

OP

：.OP=―—=2

cos60°

?..t=OP=—2=[.

22

③若ZAPB=90。，如圖，作外，仍于點(diǎn)〃

由題意知：OP=2t

在RtXPOD中,4POD=60°,

..“、。ODOD

.cos60=----=-----

OP2t

：.OD=t,則=

?一

??tan6g0_=P-D---=--P--D-

ODt

PD=t-tan60°=百f

在R3AP中,

■:PD1AB

:.XAPD^XPBD

—：.PDr=ADBD

PDBD

...(而)2=(2+f).(l-f)解得：f=T±屈

8

Vr>0

-1+V33

t=-------------

8

.?.當(dāng)人鉆尸是直角三角形時(shí)，r的值為1或二1y

(3)解法一:

'：AP^AB,

，4APB=/B.

作.OEHAP,交融于點(diǎn)反

：.AOEB=AAPB=AB.

'：AQ//BP,

.?.//屏/層180。.

又?.?N3+N施法180°,

：.43=NQAB.

又?:N/OdN2+N層N1+N0華，

已知N層N0OR

，N1=N2.

:ZAO^XOEP.

：AQ=AO9gpAQ.EP=E().AOt

EOEP

*.*OE//AP,

：ZBES/\ABP.

?OEBEBOI

??而一而一瓦一屋

13

：.O^-AP=\,BP=-EP.

32

333

JAQBP=AQ-EP=-AOOE=-x2x1=3.

解法二：連接倒，設(shè)"與。。相交于點(diǎn)￡

'：AQ//BP,

:./QAP^/APB.

'：AP=AB,

：.AQAP=AB.

又,：乙QO%4B,

:、/QAP=/QOP.

Y4QFh/PF0,

，△煙s△所〃

..型上，即包上

"FP~FO'FA~FO'

又*：4PFg/0FA,

：./XPFQ^/\OFA.

.?.N3=N1.

,/4AOC=/2+4B=/1+4QOP,

已知N層N。0,

.?.Z1=Z2.

，N2=N3.

△仍"△皮R

?AQAP

:.AQBP=APBO=3x1=3.

18.已知，如圖，正方形4?徵，BM,ZW分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足心A'

=45°,連結(jié)ME

(1)若正方形的邊長為“，求BM-例’的值；

(2)若BM,ZW,助V為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的

結(jié)論.

【答案】解：(1)?.?四邊形儂^是正方形，BM平令NPBC,DN平分4CDQ,

.?./也出=/血麻=135°.

：.ZBMA+^BAM=^a.

'：ZMAN=45°,ZBAD=9Q°,

：.ABAM+^NAD=A5°.

:./BMA=NNAD.

：.t\AB的XNDA.

.BM_AB

''~DA'ND'

又"；AB=AD=a,

:.BM?ND=AD*AB=a2.

(2)歡BM、MN、為三邊圍成的三角形是直角三角形.

證明：如圖，將△胸繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到44出的位置，則/￡=幽

BM=DE,DAE=/BAM,NADE=NABh135°.

：.Z.NAE=ZNAD+ADAE=Z7W4ZH-Z￡AJfi=90°-ZMAJV=9Q°-45°=45°.

^NAE=^MAN.

又,：AM=AE,AN=AN,

:.XAM^XAEN.

:.NE=MN.

VZ?=360°一/物一/曲=360°-135°-135°=90°,

：.N0^DS=NS.

.,.初+加=麻.

:,以BM、MN.ZW為三邊圍成的三角形是直角三角形.

19.如圖，四邊形/頗內(nèi)接于。。，是。。直徑，47和劭相交于點(diǎn)E,且

DC2=CECA.

(1)求證：BC=CD；

⑵分別延長AaDC交于點(diǎn)、尸，過/點(diǎn)作AFL切交切的延長線于點(diǎn)F.若PB=OB,

CD=2夜，求必的長.

【答案】解：⑴

.DCCE

''~AC~~CD'

又,：4DCE=4ACD,

：.XDCEsMACD,

：./CDE=/CAD,

：.BC=CD.

(2)連接和，作仇;_LC〃于點(diǎn)G,

?：OGLCD,AFLCD,

：.OG//AF,

?FGOA

"'~PG~~OP'

'：BC=CD,

：.OCLBD.

?.36是。。直徑，

：.ZADB=90°,

J.ADLBD.

：.0C//AD,

.DCOA

??而一而

又,：PB=OB=OA,CD=2yf2,

.2A/2_OA

"~CP~20A.

:.dC.

.DF+42OA1

"V2+4V2-2(M-2

：.DF=-y/2.

2

20.提出問題：(1)如圖1,在正方形465中，點(diǎn)〃分別在6GAB1..若

AE_LDH于點(diǎn)、0,求證：AE=DH.

類比探究：

(2)如圖2,在正方形力靦中，點(diǎn)"E,G,少分別在48,BC,CD,加上.若

EFLHG于點(diǎn)、0,探究線段跖與〃G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

綜合運(yùn)用：

(3)在⑵問條件下，HF//GE,如圖3所示.已知應(yīng)'。右2,0^2OF,求圖中陰

影部分的面積.

圖1圖2圖3

【答案】解:

(1)證明：如圖，在正方形4次刀中，AD=AB,Z5=90°.,.Zl+Z3=90°

,：AELDH,/.Zl+Z2=90°

Z2=Z3

:AAD厘△BAE“g

(2)作ZW'//GH,AE'〃"分別交46,勿于〃、E'.

,：AF//EE',四邊形4?/廝是平行四邊形，:.E氏AE'

同理，HG=DF.四邊形0做7為平行四邊形

又‘：EF1HG,；.四邊形ORST為矩形，...N7?SZ9O°

由(1)可知，DH'=AE'

：.EF=GH

(3)延長加，CB交于■點(diǎn)、P

'：AD//BC,:.乙AF件乙P

'：HF//GE

：.AGEC=AP

又?:N2=N△90°

：./\AFH^/\CEG

.AFHFOFOF1

CEEGOE2OF2

'：BE=E(=2,

.?.仍1,

'.BQ=AF=\,QB^\

設(shè)幅x

'：HF//GE

.OHOF1.

..-----=-----=-，v乂.HG=EF

OGOE2

/.OH=OF=x,0G=0后2x

在RtZXEFQ中,

QF2+QE2=EF2

42+l2=(3x)2

解得，方=姮

3

S陰影=gf+；(2x)-85

Ti

21.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,AC與BD交于點(diǎn)E,ZADB=ZACB.

十汽ABAC

(1)求證：——=——

AEAD

(2)若AB_LAC,AE：EC=1：2,F是BC中點(diǎn)，求證：四邊形ABFD是菱形。

【答案】解:(1)iiE^：VAB=AD

/.ZADB=ZABE

又；ZADB=ZACB

/.ZABE=ZACB

又?.?/BAE=NCAB

/.△ABE^AACB

.ABAC

AEAB

XVAB=AD,

?ABAC

''~AE~~AD

(2)證明：設(shè)AE=x

VAE:EC=1:2

，EC=2x

由(1)得AB2=AE?AC

.?.AB=gx

XVBA±AC

.?.BC=26x

ZACB=30°

又TF是BC的中點(diǎn)

...BF=gx

，BF=AB=AD

XVZADB=ZACB=ZABD

...ZADB=ZCBD=30°

；.AD〃BF

四邊形ABFD是平行四邊形

又AD=AB

...四邊形ABDF是菱形

22一如圖11,已知AABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直經(jīng)的。0交BC于

點(diǎn)D,過D作MNLAC于點(diǎn)M,交AB的延長線于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BG1.MN于G.

(1)求證：△BGDSADMA；(5分)

(2)求證：直線MN是。。的切線.(5分)

A

圖11

【答案】解：（1）?.?MN_LAC于點(diǎn)M,BG_LMN于G.

二ZBGD=ZAMD=90°

,ZDAM+ZADM=90°

?..AB為。0的直經(jīng)

...ZADB=90°

/.ZBDG+ZADM=90o

.*.ZBDG=ZDAM

.,.△BGD^ADMA

⑵連接OD

YAD是BC邊上的中線,且NADB=90°

/.Z1=Z3

又?.?OA=OD

/.Z1=Z2

...OD〃AC

/.Z0DN=ZAMD=90°

AODIMN

直線MN是。0的切線.

A

\2M

B,DC

N-G

23.如圖14,在N/8C中，〃是a'邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)反C重合），連結(jié)/〃

問題引人：

⑴如圖14①，當(dāng)點(diǎn)〃是寬邊上的中點(diǎn)時(shí)，S&幽：S△般=；當(dāng)點(diǎn)

〃是比'邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S△儂:S4Mc=（用圖中已有線段表示）.

探索研究：

⑵如圖14②，在△力阿中，。是線段/〃上一點(diǎn)（不與點(diǎn)力、〃重合），連結(jié)80、

CO,試猜想?yún)哺c必械之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由.

拓展應(yīng)用：

（3）如圖14③.。是線段49上一點(diǎn)（不與點(diǎn)4、〃重合），連接6。并延長交

于點(diǎn)E連接。。并延長交46于點(diǎn)日試猜想空+更+”的值，并說明理由.

①②③

圖14

【答案】解：⑴1：2；BO-.BC

⑵猜想五府與見松之比應(yīng)該等于切：AD

證明：分別過。、/做6。的垂線在；力/垂足為樂F.

：.OE//AF

所以0D-.AD=OE'.AF

??S^eoc~—BC-OES^ABC~~—BC,AF

22

=

**?S^BOC?S4ABC=—,BC?OE?—?BC?AF=OE.AFOD.AD

22

(3)猜想型+絲+竺的值是1.

ADCEBF

從⑵可知.°D+°E+°F_S4B0c+S&BOA+S&OC_S4BOC+S2BOA+0c_1

ADCEBFS^ABC$&阪^^ABCS?BC^AABC

24.某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行探究，已知AB=8.

問題思考

如圖1.點(diǎn)尸為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC,

BPEF

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是求出，若不是,

求出這兩個(gè)面積之和的最小值.

(2)分別連接被DF、AF,"'交"與點(diǎn)《當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△2年