人教版高中數(shù)學(xué)全冊教案-09-直線、平面、簡單幾何體-13

三垂線定理（一）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（-）知識教學(xué)點(diǎn)

1.三垂線定理及其逆定理的形成和論證.

2.三垂線定理及其逆定理的簡單應(yīng)用.

（-）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.猜想和論證能力的訓(xùn)練.

2.由線面垂直證明線線垂直的方法（線面垂直法）；

3.訓(xùn)練學(xué)生分清三垂線定理及其逆定理中各條直線之間的關(guān)系；

4.善于在復(fù)雜圖形中分離出適用的直線用于解題.

（三）德育滲透點(diǎn)

通過定理的論證和練習(xí)的訓(xùn)練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）掌握三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線

的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

（2）掌握三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的

一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.

2.教學(xué)難點(diǎn)：兩個定理的證明及應(yīng)用.

3.教學(xué)疑點(diǎn)及解決方法

（1）三垂線定理及其逆定理，揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及

斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面

的一條斜線（或斜線在平面內(nèi)的射影）垂直的判定定理.

（2）本節(jié)課的兩個定理，涉及的直線較多，學(xué)生在認(rèn)識和理解上都會存在

困難，為了加深印象并說明復(fù)雜的直線位置關(guān)系，可以采用一些教具，或者讓學(xué)

生準(zhǔn)備三根竹簽，按照教師的要求擺放.在學(xué)生感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)行理性的

證明和記憶，有助于定理的掌握.

（3）三垂線定理是先有直線a垂直于射影A0的條件，然后得到a垂直于斜

線P0的結(jié)論；而其逆定理則是已知直線a垂直于斜線P0,再推出a垂直于射影

A0.在引用時容易引起混淆，解決的辦法是，構(gòu)造一個同時使用這兩個定理的問

題，引導(dǎo)學(xué)生分清.

（4）教學(xué)核心是定理的形成教學(xué)，教學(xué)的指導(dǎo)思想是：遵循由具體探究抽

象、由簡單到復(fù)雜的認(rèn)識規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生反復(fù)思考，不斷內(nèi)化成為自己的認(rèn)知結(jié)

構(gòu).

三、課時安排

本課題共安排2課時，本節(jié)課為第一課時.

四、學(xué)生活動設(shè)計(jì)

三垂線定理及其逆定理的條件和結(jié)論都比較簡單，但應(yīng)用卻很廣泛，為了培養(yǎng)學(xué)生的

能力，應(yīng)讓學(xué)生探索定理的命題形式，充分利用好手中的三根竹簽.

設(shè)計(jì)學(xué)生活動符合建構(gòu)主義的教學(xué)思想，也符合教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想;

教師根據(jù)教學(xué)要求，提出問題，創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，主動發(fā)現(xiàn)，主動發(fā)展，從

而調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

五、教學(xué)步驟

（-）溫故知新，引入課題

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面的垂直關(guān)系，學(xué)新課之前，讓我們作個簡單的回顧：

1.直線和平面垂直的定義？

2.直線和平面垂直的判定定理.

3.什么叫做平面的斜線、斜線在平面上的射影？

4.已知平面a和斜線1,如何作出1在平面a上的射影？

（板書）1Aa=A，作出1在平面a上的射影

（-）猜想推測，激發(fā)興趣

師：根據(jù)直線與平面垂直的定義我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂

直，那么，平面內(nèi)的任意?條直線是否也都和平面的?條斜線垂直呢？

（教師演示教具，用一個三角板的一條直角邊當(dāng)平面的斜線，一根包有色紙的竹竿擺

放在桌面的不同位置當(dāng)作平面內(nèi)的不同直線，學(xué)生容易看出它們不一定互相垂直.）

師：是否平面內(nèi)的任意一條直線都不和這條平面的斜線垂直呢？

（教師將三角板的另一條直角邊平放在桌面上，并提示學(xué)生注意這條直角邊與平面的

關(guān)系——在平面上，與斜線的關(guān)系——垂直.）

師：在平面上有兒條直線和這條斜線垂直？

（學(xué)生可能會回答一條，也可能回答無數(shù)條，教師應(yīng)調(diào)整桌面上的竹竿位置，使其平

行于三角板的直角邊，然后平行移動，并向?qū)W生說明，這些直線都與斜線垂直.）

師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直？

（學(xué)生的直覺判斷是要與那條和桌面接觸的直角邊平行，這是正確的，但無多大用途;

這時教師提醒學(xué)生注意斜線在平面內(nèi)的射影，并調(diào)整教具，將三角板的斜邊當(dāng)作平面的斜線,

構(gòu)成垂線、斜線和射影的立體模型；要求學(xué)生與同桌配合，擺放課前準(zhǔn)備的竹簽成教師示范

的模型；然后在教師的引導(dǎo)之下觀察、猜想，與同桌的探討中發(fā)現(xiàn)了只要與斜線的射影垂直

就和斜線垂直.）

（三）層層推進(jìn)，證明定理

師：猜測和實(shí)驗(yàn)的結(jié)論不一定正確，那么你想怎樣證明這個猜想呢？

（若用幻燈或投影儀，可以節(jié)省板書時間.）

已知：PA、P0分別是平面a的垂線、斜線，A0是P0在平面a

上的雌，auG,alAOOnSl-87）.

圖1-87

求證:a±PO.

師：這是證明兩條直線互相垂直的問題，你準(zhǔn)備怎么證明？

分析：從直線和平面垂直的定義可知，要證兩條直線互相垂直，只要證明其中一條直

線垂直于另一條直線所在的平面即可.

師：這個平面你找到了嗎？

生：是平面PAO.

師：怎樣證明a_L平面PAO呢？

生：只要證明a垂直于平面PAO內(nèi)的兩條相交直線.

證明：

PAia

PAiaai平面PAO

QAOlaQal.PO

aua°POu平面PAO

PAHA。=AJ

說明:

1.定理的證明，體現(xiàn)了“由線面垂直證明線線垂直”的方法；

2.上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三

條直線之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果

和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

3.改變定理的題設(shè)和結(jié)論，得到逆命題：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這

個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.可以用同樣的方法

證明，這就是三垂線定理的逆定理（請學(xué)生簡要說明其證明方法和步驟）.

4.定理中包含了三個垂直關(guān)系：PAIa,A0±a,POla,

PAIaPAIa]

可1娟單記憶拈上;QPOi如工:=>AOiaj從中不5t

POLaPO±a

看出三垂線定理名稱的來山.

5.從定理的條件看，關(guān)鍵的是直線和平面的相對位置關(guān)系，而與平面本身

是否水平放置無關(guān)；在平面內(nèi)的直線a與斜線或斜線的射影的位置關(guān)系關(guān)鍵在于

垂直;這樣直線a的如下四種位置關(guān)系，都是三垂線定理及其逆定理常見的情形.

圖1-88

6.從定理的結(jié)論看，三垂線定理及其逆定理是判斷直線垂直的重要命題.

（四）初步運(yùn)用，提高能力

1.（見課后練習(xí)題1.）

已知：點(diǎn)0是AABC的垂心，0P，平面ABC.

求證:PA1BC.

（學(xué)生先思考，教師作如下點(diǎn)撥）

（1）什么叫做三角形垂心？

（2）點(diǎn)0是AABC的垂心可以得到什么結(jié)論？

（3）可以考慮使用三垂線定理證明：你能找出本題中，應(yīng)用三垂線定理必

須涉及到的兒個重要元素？

圖1-89

生：首先先確定一個平面——平面ABC,斜線是PA,PA在平面ABC上的射影是

AD,TAD垂直于BC,APAIBC.

師：他的回答是否有缺漏？

生：應(yīng)該交代BC是平面ABC上的一條直線.

師：對，這個交代是必需的?。ㄒ晫W(xué)生程度作適當(dāng)補(bǔ)充，用教具演示，還可以舉反例

說明.）

證明：連接AO并延長交BC與D.

OjtAABCK^6=AO_LBC

POlTfiABC

nPAiBC

BCGTEABC

制黜備任平面ABC上的射整是AD

i

師：三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法，上面的示例反映了應(yīng)用三

垂線定理解題的一般步驟，即確定一個平面、平面的垂線、斜線和斜線在平面上的射影.同

時要注意的是平面內(nèi)的一條直線和射影垂直，有這條直線和斜線垂直（定理）；平面內(nèi)的一

條直線和斜線垂直，有這條直線和射影垂直（逆定理），同學(xué)們必須理解掌握.

2.（見課本例1）如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么

這一點(diǎn)在平面上的射影在這個角的平分線上.

Bju.MBl-90,NBA俵平面。內(nèi)，點(diǎn)PE1AB,PF

±AC,P0±a,垂足分別是E、F、0,PE=PF.

圖1-90

求證：ZBAO=ZCAO.

（學(xué)生思考，教師作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.）

（1）在平面幾何中，證明點(diǎn)在角的平分線上的常規(guī)方法是什么？

（2）PE=PF給我們提供了什么結(jié)論？

（3）所缺的垂直關(guān)系可以用三垂線定理或逆定理證明，你能列出證明所需

的條件嗎？

證明:

PE=PF

=>OE=OF

POla

PO1。?ZBAO=ZCAO

OE1AB

PE1ABQ

OF1AC

PF1AC

3.（課堂練習(xí)，師生共同完成.）

如圖1-91,點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，PA±BC,PC_LAB,

圖1-91

求證：PB1AC.

分析：證明直線與直線垂直的問題，可以考慮三垂線定理及其逆定理，圖形中缺少的

平面的垂線需要添加匕去.

證明：過P作平面ABC的垂線，垂足為0,連結(jié)AO、BO、C0.

?/PA±BC,.*.AO±BC（三垂線逆定理）.

同理可證C0LAB,二。是AABC的垂心.

V0B1AC,APBIAC（三垂線定理）.

（五）歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想

師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了三垂線定理及其逆定理，定理的證明方法是證明空間兩條直

線互相垂直的基本方法，我們稱之為線面垂直法;還通過三個練習(xí)的訓(xùn)練加深了定理的理解,

同忖得到立體幾何問題解決的一般思路.

六、布置作業(yè)

作為一般要求，完成習(xí)題四11、12、13.

提高要求，完成以下兩個補(bǔ)充練習(xí):

1.如圖1-92,PAL^ABC所在平面，AB=AC=13,BC=10,PA=5