初中數(shù)學(xué)：19類最值問(wèn)題超全解析

初中數(shù)學(xué)：19類最值問(wèn)題，超全解析

最經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

?8

A

Af

\AP+BP\

一本移動(dòng)的多媒體教材d

如圖，在△ABC中，AC=BC=

2,乙4c8=9(T,。是BC邊的中作C關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)C'

點(diǎn)，E是4B邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+當(dāng)D、E、C'三點(diǎn)共時(shí)，取到等號(hào)，如圖②

ED的最小值是.所以CE+DE最小值為DC'

vLCBA=JLABC=45°???Z.DBC'=90°

在AD8CT，

DC=y/DB2+C'B2=71?+2?=V5

CE+DE最小值為遙

利用三角形兩邊差求最值

?8

A

P

\AP-BP\

如圖，作點(diǎn)H關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)國(guó),連接48'并延長(zhǎng)與X軸的交點(diǎn),

即為所求的M點(diǎn).此時(shí)4M-BM=AM-B'M=AB'.

(2014沙洋一模)已知點(diǎn)4(1,5),8(3,-1).不妨在x軸上任取一個(gè)另一點(diǎn)M',連接M'8、M%',則

點(diǎn)M在x軸上.當(dāng)最大時(shí).點(diǎn)M的坐M'A-M'B=MrA-M'B'<AB1

標(biāo)為.AM-BM,此時(shí)XM-BM取得最大值

???8'貼8(3,-1)關(guān)fx軸的對(duì)稱點(diǎn)?-B,(3,1)

設(shè)直線4所解析式為y=kx+b

k=-2

k+b=5,解得:

3k+b=Ib=7

二九線4B'解析式為y=-2x+7

令y=0,解得x=g

???M(p0)

手拉手全等取最值

一本移動(dòng)的多媒體教材

取48中點(diǎn)0,連接0。'

如圖，△A8C和△ADE都是等腰直角二角：CDA0'=90°-乙DAC

形.Z.BAC=LDAE=90°,AB=AC=2.0Z.EA0=90°-/.DAC:.￡DA0'=LEA0

為4c中點(diǎn)，若點(diǎn)。在在直線8c上運(yùn)動(dòng),連又,:。和。'分別是4c和48中點(diǎn)

???AO'=A0

接0￡,則在點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段0E的最

在A4。。'和AEA0中

小值.

AC=AD

Z.DA01=/.EA0

{A0f=A0

???△40。'=AEA0(SAS)DO1=E0

當(dāng)O'DIBC時(shí),O'D最小

A8。。'是等腰口角三角形

,V2,,11

.??O'D=—BO1,BO'=-AB=-x2=1

0*0=yEO散小但為當(dāng)

4手拉手相似取最值

一本移動(dòng)的多媒體教材d

如圖，連接CE

如圖，4ABCMADE,ABAC=/.DAE=??△ABC-AADE

90°,AB=6,AC=8,F為DE中點(diǎn),若???Z-ACD=乙AEG

點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接CF,則在點(diǎn)。乂?:乙AGE=乙DGC

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CF的最小值是.???△AGEDGC

AGEG

??—，

DGCG

又???LAGD=LEGC

???△AGDEGC

???Z.ADG=乙ECG

一本移動(dòng)的多媒體教材

又??,RtZi/WE中，乙4DG+乙4EG=90°

如圖.4ABCMADE,Z.BAC=Z.DAE=???乙ECG+LACD=90°,即/DCE=90°

90°,AB=6,AC=8,F為DE中點(diǎn)，若

?；F是DE的中點(diǎn)，CF=|DE,

點(diǎn)。在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接CF,則在點(diǎn)。

-?■△ABCMADE,

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CF的最小值是.

??.當(dāng)4。18(?時(shí)，4D最短，此時(shí)DE最短，

當(dāng)AD1BC時(shí)，AD=AB^(：=4.8,B

ADABHn4.86

,-'DE=BC'即而=7?

???DE=8,二CF=4x8=4.

平移構(gòu)造平行四邊形求最小

M'

AC+CD+DB

一本移動(dòng)的多媒體教材a

如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交丁

點(diǎn)48,點(diǎn)。在動(dòng)點(diǎn)Q右側(cè)的x軸上,且始

終滿足QD=1,點(diǎn)MdWi線4B上，其橫坐

標(biāo)為-3,何當(dāng)C為何值時(shí)，四邊形MQ08的

周長(zhǎng)最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

19

MQ+Q。+DB+MB=彳+MQ+DB

過(guò)8作8N〃。4使得BN=QD=1,連接NQ

???NB//DQ且NB=DQ四邊形Q0BN為平行四邊形

???NQ=BD?,?MQ+80=MQ+NQ

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖，立線y=：萬(wàn)+3與北軸、y軸分別交了

過(guò)M作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)M'連接NM，

點(diǎn)、A、8,點(diǎn)。在動(dòng)點(diǎn)Q右側(cè)的x軸匕且始

終滿足QD=1，點(diǎn)M4：食線4B上，其橫坐

標(biāo)為一3,問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MQ08的

周長(zhǎng)最?。孔钚≠嵌嗌?？

4--=9.

兩點(diǎn)對(duì)稱勺子型連兩端求最小

PQ+QR+PR

一本移動(dòng)的多媒體教材

過(guò)P點(diǎn)分別作射線。4、的對(duì)稱點(diǎn)Pi』?

如圖，乙408=45’，角內(nèi)行點(diǎn)P,P0=

達(dá)接0Pi，0Pz，P島QPiM

10.在角的兩邊上有兩點(diǎn)QR（均不同

QP=QPlfRP=RP2

于。點(diǎn)），則△PQR的周長(zhǎng)的最小值

AQPR的周長(zhǎng)為QP+RP+QR

vQP=QP「RP=RP2

AQP+RP+QR=QP、+RP2+QR

當(dāng)外,Q,R,P2四點(diǎn)共線時(shí)

QPi+RP2+QR坡小為PS?

根據(jù)對(duì)稱性

LAOP=50P\乙BOP=LB0P2

OP=OPt=0P2=10

ihl^AOP+LBOP=45°AMOP?=90°

APtP2=J8/+叱=io&

???APQR用長(zhǎng)最小值為10立

7兩點(diǎn)對(duì)稱折線型連兩端求最小

B'

■

4C+CD+DB

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖，乙408=30。，點(diǎn)M、N分別在

邊04、OBI.,且0M=l,ON=3,作M關(guān)「08的對(duì)稱點(diǎn)M',

作N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)NI

點(diǎn)P、Q分別在邊08、0A上，則MP+

連接MWL即為MP+PQ+QN的坡小值.

PQ+QN的最小值是.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：

△N'OQ=乙M'OB=30°,CONN'

ON”為等邊二角形，

△0MM'為等邊三角形.

:?乙N'OM'=90°

??.M'N'=&+I2=y/lQ

時(shí)鐘模型，中點(diǎn)商定邊求最小值

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖，E.F是正方形A8CD的邊AD上兩個(gè)

TFZLIOE和ADCF中

動(dòng)點(diǎn).滿足=連接CF交8。7點(diǎn)G.

連接交AG1點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,AB=DC

々BAD=Z.CDF=90°

則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.{AE=DF

???HABE三ADCNSAS)

???LBEA=Z.CFD

在&4DG和ACOG中

AD=DC

LADG=LCDG=45°???t^ADGmACDG0AS)

DG=DG

B在ACDF中，乙CFD+4DCF=90°

?XEA4HE中乙“EA+LHAE=90°LAHE=90°

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖，E,廣是正方形4BCD的邊XD上兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，滿足=連接CF交BD于點(diǎn)G.取4B中點(diǎn)。，構(gòu)造兩定邊

連接交卜點(diǎn)若正方形的邊長(zhǎng)為

BEAGH.2,vLAHB=900

則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.

1

???OH=-x2=1

DO=>JAO24-AD2=V5

在A〃OD中

HD>OD-0//=V5-1

'L}O.H.D?.點(diǎn)共線時(shí)，取到等號(hào)

???”。城小值為西-1

時(shí)鐘模型，相似商定邊求最小值

一本移動(dòng)的多媒體教材4

如圖所示，線段4口為。。的直徑,點(diǎn)C

過(guò)0C作60、的宣角-角形OCE

在A8的延長(zhǎng)線卜.，A8=4,BC=2,點(diǎn)

連接

P是0。上一動(dòng)點(diǎn).連接CP,以CP為斜

易證明△PCOszXDCE

邊｛\PC的上方作Rt△PCD,11.使

ECDCED1

:.，=——>'=—

乙DCP=60。,連接0。，則。。長(zhǎng)的最大OCPCPO2

值為_(kāi)____.ED==1

???OE=OCcos30°=2V3

在△EOD中,ODWED+EO

一點(diǎn)共線取等號(hào)，。。最大值為26十1

10轉(zhuǎn)化構(gòu)造兩定邊求最值

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖，在矩形48CD中，AB=延長(zhǎng)￡。交48于M

6,BC=8,4(?丐8。相交于。,￡為。。易證明A0M8三WED

DE=BM

的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。F_L0E交8c于F,

連接MF

d=JDE2+BF2=QBM?+BF2=MF

而易證，MOF=90°

，MF=yjOM2+OF2

取MF中點(diǎn)”

連接BN、ONBN=1MFON=^MF

MF=BN+ON

在△BON中BN+ON>OB

三點(diǎn)共線取等號(hào)「.d的最小值為5

11面積轉(zhuǎn)化法求最值

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖所示,正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為連接4C,DP

8C上任意?點(diǎn)（可以與8點(diǎn)或C或合），分?.?四邊形力8co是正方形，止方形48co的邊氏為1

別過(guò)8,C,。作射線4P的垂線，垂足分別是

???/1B=CD.S正方形488=1

Br,C\D\則88'+CC+DD'的坡大值與最

11

小值的和為—..SAADP_2s正方形.sc/)-2

S4ABP+S?ACP=5△4BC=2s止方形a"電

S△人BP+S3cp+SfDP-1

二+g”?CC+^AP?DDf

=￡2?(.BB^CC+DD1)=1

2

則H8'+CC'+DD'=24P

一本移動(dòng)的多媒體教材

如圖所示,正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為

BC上仔藏?點(diǎn)（可以與B點(diǎn)或C項(xiàng)合）.分

別過(guò)B,C,D作射線4P的垂線，垂足分別是

B'.C.D',則BB'+CC'+DD'的最大值與最

小值的和為一.

1W4PW2&當(dāng)P與B重合時(shí),有最大值2：

當(dāng)尸與C重合時(shí)，有最小值企

■■>/2^BB'+CC'+DD'^2

...BB'+CC+DD'的最大值與最小值的和為0+2.

AB

相似轉(zhuǎn)化法求最值

一本移動(dòng)的多媒體教材［:A

如圖，48是00的直役，點(diǎn)C在0。上，。是

。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且C、D兩點(diǎn)位于直徑4B

當(dāng)CD是直徑時(shí)，DE最長(zhǎng)

的兩側(cè).連接CD,過(guò)心;C作CE工CD交DB的

延長(zhǎng)線了點(diǎn)E.若AC=2,BC=4,則線段；48是直徑

DE長(zhǎng)的最大值是______「Z.4CS=90°

..AB=7AC?+BC?=2V5

■：eA=ZD,eACB=Z.DCE=90

,?,△/ISC-△DEC

.ABACBn2\/52

DECDDE2遙

???DE=10

13相似系數(shù)化一法求最值

連接。E,在。BI:取。F=g

已知4點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)、B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).。。=

EOF-fDABOE中

2,E為園上動(dòng)點(diǎn),則1B￡+AE的最小值

乙BOE=Z.EOF

為_(kāi)_______u

—OE=—OF=—2

OBOE3

???△EOFs△BOE

EF22

???-T77=-???EF=-BE

BE33

24V10

???-BE+AE=EF+AE>AF=一^—

—本移動(dòng)的多媒體教材：\

14三角函數(shù)系數(shù)化一求最值

如圖所示.?條堂口的公路］穿過(guò)戰(zhàn)原,公路邊有

由已知巧.沒(méi)消防。從公路上出。進(jìn)入草地衍政

?消防站4距離公路5千米的地方仃?居民點(diǎn)8，

A、8的直線即離是13「米天，居民點(diǎn)8若火.啪間「嗡+整焉（如+仍）

消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最

7M間i最小.H求（，4+。歷）的品小他

快速度是80千米小時(shí).而在草地.卜?的法快速度是40

「米/小時(shí),則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過(guò)_____小時(shí)

過(guò)白A作射線4￡?使咫4乂￡=30。?1AEJM.

可到達(dá)居優(yōu)點(diǎn)8.（友情捉梅消防車可從公路的任

.'.1DX+Dfl-DM+DB.iB.D.M點(diǎn)火找時(shí)N取最小.血*1小里山《戰(zhàn)投般小

意位置進(jìn)入草地行駛.）

HAM11，必DJD'.AtffrHCItfC

WJzCtfD,-ZF4D-30°.tfC-S

B

543510^35V3

13*■1"CD'~5tan308—-y-■BD*―3加―--~??,'AD'AC-CD'-12—-^―

.1?DT=40*sin300=6--

6

A

??.BF?■BD'+/TF=6+歲,t的最小俏為金x（6+竽）*產(chǎn)小時(shí)

一本移動(dòng)的多媒體教材

15軌跡最值

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)

4的坐標(biāo)為(3,4),N點(diǎn)是以點(diǎn)力為圓心，

半徑為3的I員I上的任意動(dòng)點(diǎn)，以。N為直角

邊作等腰直角陰形OMN,FL只點(diǎn)在第二

象限內(nèi)，求4M的最小值及最大值.易得點(diǎn)M是回心為(-4,3)泮徑為3的圓上面的點(diǎn)

一本移動(dòng)的多媒體教材：4

16三動(dòng)點(diǎn)的垂直三角形

過(guò)點(diǎn)P作4B對(duì)稱點(diǎn)M

如圖，在等邊V角形4BC中，AB=4.P

過(guò)點(diǎn)P作4c對(duì)稱點(diǎn)N

是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，Q是84邊卜.的動(dòng)點(diǎn)，

貝I],QP=QM,HP=HN

H是4c邊卜.的動(dòng)點(diǎn)，則△PQH的周長(zhǎng)的

△的周長(zhǎng)為

最小但為.PQH

QP+PH+QH=QM+QH+HM

連接MN

△PQH的周氏的最小值為MN

當(dāng)點(diǎn)