2022-2023學(xué)年廣東省深圳某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年廣東省深圳高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

1.復(fù)數(shù)f-（i是虛數(shù)單位）的虛部是（）

1—1

A.1B.iC.D.i

2.直線低+1=0的傾斜角為（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

3.已知某圓錐的底面圓半徑為5,它的高與母線長(zhǎng)的和為25,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.157rB.207rC.607rD.657r

4.己知五花為不共線的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,則（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B、力三點(diǎn)共線C.B,C,。三點(diǎn)共線

D.A,C,力三點(diǎn)共線

5.已知：空間四邊形ABC。如圖所示，E、尸分別是48、4。的中點(diǎn)，G、，分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且CG=4BC,CH=^DC,則直線FH與直線EG（）

6.記△力BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=[c=6於，且△ABC有兩解，

o

則b的值可能是（）

A.3V3B.4V3C.6V3D.7V3

7.如圖，在正方體力BCD-ABiGDi中，E是棱CCi的中點(diǎn)，F(xiàn)是

側(cè)面BCCiBi內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且4/與平面ZME的垂線垂直，則下列說,

法不正確的是（）

A.aF與DiE不可能平行

B.&F與BE是異面直線

C.點(diǎn)F的軌跡是一條線段A

D.三棱錐F-ABDI的體積為定值

8.若對(duì)圓0—1）2+（y—1）2=1上任意一點(diǎn)P（x,y）,|3x-4y+a|+|3x-4y—9|的取值與

x,y無關(guān)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.—4<a<6C.a<-4或a>6D.a>6

9.已知橢圓C：16x24-4y2=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為:B.焦距為f

24

C.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,士苧）D.離心率為苧

10.已知方程產(chǎn)+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,則下列選項(xiàng)中a的值能滿足方程表示圓

的有（）

A.-1B.0C.~D.-2

11.衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國(guó)十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的p

研學(xué)基地，村口的大水車，是一道獨(dú)特的風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4//

米（如圖所示），水輪中心。距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針/0/\

轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果水輪上點(diǎn)尸從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中P。）開始計(jì)時(shí)，則（）-----

A.點(diǎn)尸第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米

C.在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)P距水面超過2米

D.點(diǎn)尸距離水面的高度八（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為九=4sin（象-朗+2

12.已知正四棱柱4BC0-48=2,=a,點(diǎn)M為CQ點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上底

面4&GD1上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的為（）

A.當(dāng)a=6且點(diǎn)P位于上底面的中心時(shí)，四棱柱P-4BCD外接球的表面積為竽

B.當(dāng)a=2時(shí)，存在點(diǎn)P滿足PA+PM=4

C.當(dāng)a=2時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P滿足乙4PM=90。

D.當(dāng)a=2時(shí)，滿足BPJ.4M的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為近

13.已知|五|=4,|石|=3,a-b=-6,貝腺與方所成的夾角大小是.

14.空間向量句=（1,1,1）,K=（l,o,l）.c=（1,2,zn）,若三個(gè)向量蒼,b,玦面,則實(shí)數(shù)〃?的

值為.

15.在四面體P-ABC中，PC1平面A8C,P4=PB=5,PC=4,48=3或，則四面體P-ABC

外接球的表面積為.

16.&、尸2是桶圓氏，+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x

軸上，滿足NFIMN=4F2MN=60°,若3麗+5為弓=AMN,則橢圓E的離心率為.

17.求經(jīng)過點(diǎn)4（-2,b）和點(diǎn)8（1,2遮）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.已知圓C：x2+（y—I）2=5,直線/：mx—y+1—m=0.

（1）求證：對(duì)me/?,直線/與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)直線/與圓C交于A、2兩點(diǎn)，若|48|=g,求m的值.

19.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCO為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O,

Z.DAB=60°,POABCD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).

⑴求證：AP〃平面BQE；

(2)若三棱錐P-BOE的體積為次，求0P的長(zhǎng).

r2_n2

20.△4BC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A為銳角，sinB-cosC=

lab

(1)求A；

(2)若6=(，且BC邊上的高為2次，求△ABC的面積.

21.如圖，半圓所在的平面與矩形所在平面ABCO垂直，P是半圓弧上一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，AD

是半圓的直徑，AB=1,AD=2.

(1)求證：平面P4B_L平面PAC；(2)是否存在P點(diǎn)，使得二面角B-PC-D的正弦值為苧？

若存在，求四棱錐P-ABCD的體積；若不存在，說明理由.

1

22.曲線r上動(dòng)點(diǎn)M到4(一2,0)和到B(2,0)的斜率之積為-".

(1)求曲線r的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)p(&,yo)(yo,。)為直線％=4上任意一點(diǎn)，PA,PB交橢圓r于c,。兩點(diǎn)，求四邊形

ACBO面積的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解「.吉=君島="3，

.??復(fù)數(shù)4（i是虛數(shù)單位）的虛部是:.

故選：C.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后得答案.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：直線乃》+\[2y—1=0整理得y=-y/3x+圣

故tan9=-V3,

由于。G[0,180"）.

故。=120°.

故選：C.

直接利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系求出直線的夾角.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程之間的轉(zhuǎn)換，直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：設(shè)圓錐的高為九母線長(zhǎng)為/,

由題意得出？2,解得，=13.

.??圓錐的側(cè)面積為S=兀X5x13=657r.

故選：D.

設(shè)圓錐的高為人，母線長(zhǎng)為/,由題意列方程組求解/,再由圓錐側(cè)面積公式求解.

本題考查圓錐側(cè)面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：■■-AB=a+5b,BC=-2a+8b,

.?.不存在九使荏=4就，

故A,B,C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

BD-BC+CD=a+5b,

AB=BD,

.■.A,B、。三點(diǎn)共線，

故選項(xiàng)B正確；

"JC=-2a+8b,CD=3a-3b,

.??不存在九使而=2萬(wàn)，

故8,C,。三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

"AC=AB+BC=-a+13b,CD=3a-3b,

.??不存在九使旅=2萬(wàn)，

故A,D,C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

故選：B.

利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.

本題考查了向量共線定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)已知條件，判斷出E尸〃HG且EFKHG,是解答本題的

關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題，

由己知EF為三角形A8。的中位線，從而且EF=劭0,由CG=^BC,CH=^DC,得在

四邊形E/7/G中，EF//HG,即E,F,G,//四點(diǎn)共面，且EFrHG,由此能得出結(jié)論.

【解答】

解：???四邊形A2C。是空間四邊形，E、P分別是A&AO的中點(diǎn)，

???EF為三角形ABO的中位線，

EF//BDS.EF=^BD,

又,??CG=^1BC,1CH=：DC,

???△CDB,S.HG//BD,HG=^BD,

.?.在四邊形E77/G中，EF//HG,

即E,F,G,”四點(diǎn)共面，且EFKHG,

.,?四邊形EFG//是梯形，

直線尸”與直線EG相交,

故選B.

6.【答案】B

【解析】解：過4點(diǎn)作401BC,垂足為。，如圖所示:

因?yàn)閏=6g,B=g且使得角C有兩個(gè)解，

所以4。<b<AB,即csinB<b<c,

所以3遮<b<6V3.

故選：B.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合題意求出6的取值范圍，即可得出正確的選項(xiàng).

本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)平面。14E與直線8c交于G,連接AG,EG,

則G為8c的中點(diǎn)，分別取BiB,&G的中點(diǎn)M,N,

連接&M,MN,ArN,

如圖，r&AV/DiE,&MC平面M4E,u平面Dp4E,

.??&M〃平面DiAE,同理可得MN〃平面DiAE,

又4M、MN是平面4MN內(nèi)的兩條相交直線，

二平面4MN〃平面DiAE,而4/7/平面DME,二A/u平面&MN,

得點(diǎn)F的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當(dāng)尸與M重合時(shí)，4/與D】E平行，故A錯(cuò)誤；

???平面&MN〃平面Di4E,BE和平面相交，???&F與BE是異面直線，故B正確；

?-?MN//EG,則點(diǎn)F到平面Dp4E的距離為定值，.?.三棱錐F—ABDi的體積為定值，故。正確.

故選：A.

設(shè)平面OME與直線BC交于G,連接AG,EG,則G為BC的中點(diǎn)，分別取&B,當(dāng)酊的中點(diǎn)M,

M連接&M,MN,A/,證明平面4MN〃平面。通心即可分析選項(xiàng)A8C的正誤；再由MN〃EG,

得點(diǎn)F到平面。送E的距離為定值，可得三棱錐F-4BD1的體積為定值判斷D.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力與思維能力，考查推理

論證能力，是中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：設(shè)z=|3x-4y+可+|3x-4y-

QI_匚/3x_4y+a|,|311-9卜

j32+42^32+42

故|3x-4y+a\+\3x-4y-9|可以看作點(diǎn)

P(x,y)到直線

m：3x—4y+a=0與直線/：3x—4y—9=0距

離之和的5倍，

：|3x—4y+可+|3x-4y-9］的取值與x,y無

關(guān)，

這個(gè)距離之和與點(diǎn)P在圓上的位置無關(guān),

如圖所示：可知直線，”平移時(shí)，

P點(diǎn)與直線機(jī)，/的距離之和均為相，/的距離,

即此時(shí)圓在兩直線內(nèi)部，

當(dāng)直線加與圓相切時(shí)，當(dāng)f+a]=1,

j32+42

化簡(jiǎn)得|a-l|=5,

解得a=6或a=-4（舍去），

a>6.

故選：D.

由題意可得故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作點(diǎn)P到直線〃?：3x-4y+a=0與直線/：3x-

4y-9=0距離之和的5倍，進(jìn)一步分析說明圓位于兩直線內(nèi)部，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解

直線3x-4y+a=0與圓相切時(shí)的4值，則答案可求.

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于難題.

9.【答案】CD

【解析】解：橢圓G：16合+4丫2=1,則標(biāo)準(zhǔn)方程為：竿+牛=1,

164

可得焦點(diǎn)在y軸上，且。2=；,c2=a2-b2=可得c=手

所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2x：=1,故4不正確；

焦距2c=2x苧=條所以B不正確；

焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,士《）,所以C正確；

離心率6=（=等=與，所以。正確；

故選：CD.

將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得焦點(diǎn)所在的軸及“，匕的值，再由“，h,C之間的關(guān)系求出C的

值，進(jìn)而可判斷所給命題的真假.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：方程/+產(chǎn)一+2ay+2a2+a-1=0,表示圓,

可得a?+4a2—4（2ci2+a-1）>0,解得a€（-2,§,

故選：ABC.

化簡(jiǎn)圓的一般方程，求解半徑，即可得到選項(xiàng).

本題考查圓的一般方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查y=Asin3x+g）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

由題意設(shè)出函數(shù)解析式/i=4sin（3t+0）+8,由最大值與最小值列式求得A與3的值，由周期

求得3,再由t=0時(shí)，h=0求解仍得到函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)解析式即可求解.

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度為無（米）和t（秒）的函數(shù)解析式為h=Asin（3t+3）+B（A>0,3>

0，1刎V9

由題意，"max=6，/imin=一2,

?53,解得｛*,

?-,T=—=60,???儂=冬=器則九-4sin忌t+口）+2?

a）T30、30丁/

當(dāng)￡=0時(shí)，九=0,???4sin@+2=0,則sin（p=一標(biāo)

又?,?>=/

九=4sin篇t一卷）+2,故。正確；

令/i=4sin（養(yǎng)七一強(qiáng)+2=6,0<t<60,

,.sin篇"》=1，得”20秒,故A正確;

當(dāng)t=155秒時(shí)，h=4sin（^x155-^）+2=4sin57r4-2=2,故8正確；

4sin（^-xt—g）+2>2,令0V^xt-g<7r,解得5<t<35,

DUo3Uo

故有30秒的時(shí)間，點(diǎn)尸距水面超過2米，故C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，設(shè)正方形ABC。的中心為H,。為球心，。在P”線段上,

因?yàn)?B=2,所以，BH=V2,且PH=a=g,

設(shè)外接球半徑為R,則OP=OB=R,

在RtABOH中，可得R2一（收一/?）2=2,解得R2=1|,

所以，四棱柱P-ABCD外接球的表面積為4兀/?2=等，A正確；

當(dāng)a=2時(shí)，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB1，&D1，4送所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

所以4(0,0,2),M(2,2,l),B(2,0,2),

因?yàn)镻為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(m,科0),且0W7HW2,0<n<2,

對(duì)于&點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為M'(2,2,-1),4M'=V22+22+32=g>4,

所以不存在點(diǎn)尸滿足PA+PM=4,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,AP—(m,n,—2),MP=(m-2,n—2,—1),

因?yàn)槎鯩P=m2—2m+n2—2n+2=(m—I)2+(n—I)2,

當(dāng)且僅當(dāng)m=l,n=l時(shí)，AP-MP=0,所以AP1MP,

故當(dāng)a=2時(shí)，存在唯一的點(diǎn)尸滿足44PM=90。，C正確；

對(duì)于。，BP=(rn-2,n,-2),AM=(2,2,-1),

若BPIAM,則有而?加=2m-4+2。+2=2m+2?1-2=0,即?n+n=l,

又因?yàn)?4THW2,0<n<2,所以，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為-F+/=或,。正確；

故選：ACD.

設(shè)外接球半徑為凡在直角三角形中利用勾股定理建立方程，求解可判斷4

建空間直角坐標(biāo)系，得到力(0,0,2),M(2,2,l),B(2,0,2),P為上底面為B1CW1上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)

P(m,n,0),且0<m<2,0<n<2,進(jìn)而對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，即可判斷并得到答案.

本題考查了立體幾何的綜合計(jì)算問題，屬于中檔題.

13.【答案】y

【解析】解：設(shè)為與方所成的夾角大小是6,。6[0,初,

v|a|=4,|b|=3,a-b=-6,

而_-6___1

???COS0=

|a||E|"4x3"~2f

27r

故答案為：—.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解.

本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：若五=(1,1,1),b=(1,0,1),1=(l,2,m)共面,

則存在實(shí)數(shù)九〃使得=Aa.+fib=(2+〃,〃,/1+〃)，

故此

所以m=1.

故答案為：1.

由已知結(jié)合向量共面的條件即可求解.

本題主要考查了向量共面的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】347r

【解析】解：如圖所示,

PCABC,PA=PB=5,PC=4,由勾股定理得，AC=BC=3,

又AB=3V2,得4c2+BC2=AB2t則41BC,

設(shè)外接球的半徑為R,則(2R)2=PC2+AC2+BC2=34,解得R=等，

所以外接球的表面積為S=4TTR2=34兀，

故答案為：347r.

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出半徑，再利

用球的表面積公式即可求解.

本題主要考查棱錐的外接球表面積，屬于中檔題.

16.【答案】\

O

【解析】解:由題意可設(shè)F1(-C,O),尸2(60)，MQoJo)，W(%1，O)(-C<Xi<c)；

_

則：3MF；+5MF；=(-3c-3x0,-3y0)+(5c-5x0/5y0)=(2c-8x0,-8y0)，

AMN=(Axx—Ax0,-Ay0),

由3福+5麗=4麗可得：吃-產(chǎn)1-啊解得，二%即Ng。)；

(一即。=_Qo-44

由NF1MN=乙F2MN=60°,可知MV是NF1MF2的角平分線，

可得M=M=b=

IF2MIF2Ml33'

4

又|&M|+|F2MI=2a,則16Ml=為，|F2M|=*a；

在40MF2中：C0S4&MF2=印)+浮J—=cosi20。=-1,解得：-=1

2X沁制2a8

故答案為：7

O

先由3研+5研=AWV,可解得N(J,O),然后利用角平分線的性質(zhì)可求得|BM|=Ja,|F2Ml=

在^&MF2中利用余弦定理即可求出離心率?的值.

本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是中檔題.

17.【答案】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：5+9=1，皿>°，"°，

該橢圓經(jīng)過點(diǎn)/(-2,百)和8(1,2次)，

生+三=1(-=-

可得:、仁「叱二5，

所以橢圓方程為：［+1=1,

即所求橢圓方程為：f1+y=l.

故答案為：4+1=1.

【解析】設(shè)出橢圓方程，利用已知條件，列出方程組求解即可.

本題考查橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題.

18.【答窠】解：⑴???直線/：y-1=m(x-1)過定點(diǎn)P(l,l),

且|PC|=V(i-o)2+(i-i)2=1<V5,即P點(diǎn)在圓C內(nèi)，

???直線/與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

⑵???圓半徑r=V5,\AB\=V17,

二圓心(0,1)到/的距離d=卜_(鳴2=M，即"L=暫，

NZzVmz+1乙

解得：m=±V3.

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，

垂徑定理，勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.

(1)直線/解析式變形后得到直線/恒過(1,1)點(diǎn)，而(1,1)點(diǎn)在圓C內(nèi)，即可確定出直線/與圓C總

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)由圓的半徑及弦長(zhǎng).利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線的距離d,利用點(diǎn)到直線的距離

公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值.

19.【答案】（1）證明：連接。E,

???。是AC的中點(diǎn)，￡是PC的中點(diǎn)，

OE//AP,

又AP仁平面BDE,OEu平面BDE,

4P〃平面BDE-,

(2)解：???點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，

1

???^E-PBD=2^C-PBD，

乂4-PBD=^P-BDE=V3,

???^C-PBD=2>/3=Vp-BCD'

???底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形且乙ZMB=60°,

**,SABCD=5x2x2x—=V3,

又PO，底面ABC。，

???VP-BCD=xV3xPO=2?,

???PO=6.

【解析】（1）連接OE,根據(jù)。是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，得到0E〃4P,即可得證；

（2）根據(jù)點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，得到/_PHO=3%.P80,又%-PBD=2V3=Vp_BCD，P°，底面48。,

代入棱錐體積公式即可求解.

本題考查了線面平行的證明和三棱錐體枳的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)因?yàn)閟inB-cosC=}j,所以2absinB=c2-a2+2abeosC,

2222

由余弦定理得，c=a+b-2abeosC,所以2absinB=b9即2asin8=b,

由正弦定理得，-7=」^，所以2sinAsinB=sinB,

因?yàn)?為三角形ABC內(nèi)角，所以sinB>0,故sin力=9，由A為銳角，A=1

L6

(2)由題意得，S=-2V3=^besinA=爭(zhēng)所以be=4V3a,

因?yàn)閎=*,所以c2=16a,b2=^=3a,

由余弦定理得，cos4=的薩=嘿等=第=亭解得a=7，

所以S=V3a=7A/3.

【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，考查三角形面積公式.屬于基礎(chǔ)題.

(1)由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求sin4進(jìn)而可求4；

(2)由已知結(jié)合三角形面積公式可得a,b,c之間關(guān)系，然后結(jié)合余弦定理可求”，再由三角形面

積公式可求.

21.【答案】解：(1)證明：?.?半圓所在的平面與矩形所在平面

A8C。垂直，

又DC14D,又半圓所在的平面與矩形所在平面A8C。的交

線為AD,

S.DCu面ABCD,

DC垂直半圓所在的平面，又PA在半圓所在的平面內(nèi)，

■.DCLPA,又P是半圓弧上一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，AD是半圓的直徑,

PAA.PD,且DCnPD=D,

???PA，平面PDC,又P4u平面PAB,

平面PAB，平面PDC-,

(2)建系如圖，根據(jù)題意可得：

4(1,0,0),5(1,1,0),€(-1,1,0),設(shè)P(cos8,0,sin。)，9G(0,7r),

由(1)知平面EDC的法向量元=AP=(cos0-1,0,sin。)，

又正=(一1-cosO,l,-sinJ),CB=(2,0,0),

設(shè)平面尸BC的法向量為訪=(x,y,z),

則行.PC=(-l-cos0)x+y-zsin。=0,取沅=9通仇1),

Im-CF=2%=0

若二面角B-PC-。的正弦值為冬則二面角B-PC-。的余弦值的絕對(duì)值為卷

|cos<mfn>I=I:"6==

Jsin20+lxJ(cos-l)2+sin20

Vl-cos201

■■■———=—,

V2—cos20xV2—2cos02

Vl+cos^