蘇科版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(二)全等三角形的常見模型課件

全等三角形的常見模型專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(二)模型一角平分線模型1.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=40°,BD是∠ABC

的平分線,延長BD至E,使DE=AD,連接EC.求證:BC=AB+EC.證明在BC上截取BF=AB,連接DF,

∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠FBD,∴△ABD≌△FBD(SAS),∴DF=DA=DE.∵∠ACB=∠ABC=40°,∴∠A=100°,∴∠DFC=180°-∠A=80°,∴∠FDC=60°,∴∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20

°-100°=60°,∴△DCE≌△DCF(SAS),∴CE=CF,∴BC=BF+

FC=AB+EC.2.(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF=

∠BAD.求證:EF=BE+FD.(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分

別是邊BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF=

∠BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請寫出線段EF、BE、

FD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.模型二半角模型解析(1)證明:如圖1,延長EB到G,使BG=DF,連接AG.在△ABG與△ADF中,

,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴AG=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3=

∠BAD=∠EAF,∴∠GAE=∠EAF.易證△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF.∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD.(2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立.證明:如圖2,延長CB至M,使BM=DF.∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠D.在△ABM與△ADF中,

∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠2=∠3.∵∠EAF=

∠BAD,∴∠2+∠4=

∠BAD=∠EAF.∴∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF.在△AME與△AFE中,

,∴△AME≌△AFE(SAS),∴EF=ME,∵M(jìn)E=BE+BM,∴EF=BE+DF.3.如圖,已知A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上,∠ACD=∠BCE,AC=

CD,BC=CE,AE,BD相交于F.求證:(1)AE=BD.(2)∠ACD=∠BFE.模型三手拉手模型證明(1)∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠

DCE,∴∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中,

,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD.(2)由(1)可知△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB.∴∠BFE=∠

CAE+∠ABD=∠CDB+∠ABD=∠ACD.即∠ACD=∠BFE.4.點(diǎn)C為BD上一點(diǎn),△ABC≌△CDE,AB=1,DE=2,∠B=110°.(1)求BD的長.(2)求∠ACE的度數(shù).模型四一線三等角模型解析(1)∵△ABC≌△CDE,∴BC=DE,AB=CD.∵DE=2,AB=1,∴BC=2,CD=1,∴BD=BC+CD=2+1=3.(2)∵△ABC≌△CDE,∴∠A=∠DCE.∵∠B=110°,∴∠A+∠ACB=180°-110°=70°,∴∠DCE+∠ACB=70°,∴∠ACE=180°-70°=110°.5.如圖,B、C、D三點(diǎn)在同一直線上,∠ABC=∠CDE=90°,且

AC⊥EC,BC=DE.(1)求證:△ABC≌△CDE.(2)若∠BAC=28°,求∠CED的度數(shù).解析(1)證明:∵∠ABC=∠CDE=90°,且AC⊥EC,∴∠A+∠

ACB=∠ACB+∠ECD=90°,∴∠A=∠ECD.在△ABC與△CDE中,

,∴△ABC≌△CDE(AAS).(2)∵△ABC≌△CDE,∴∠ECD=∠A=28°,∴∠CED=62°.6.如圖,四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠BCD=150°,CB=

CD,M,N為AB、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠MCN=75°.求證:MN=

BM+DN.模型五對(duì)角互補(bǔ)模型

∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CBE=∠CDN.在△CBE和△CDN中,

,證明如圖,延長AB至點(diǎn)E,使得BE=DN,連接CE.∴△CBE≌△CDN(SAS),∴∠BCE=∠DCN,CN=CE.∵∠BCD=150°,∠MCN=75°,∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠

MCB+∠DCN=75°,∴∠MCN=∠MCE.在△NCM和△ECM中,

∴△NCM≌△ECM(SAS),∴MN=ME=BM+BE=BM+DN.7.已知:如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的平分線CD

交AB于點(diǎn)E,∠BDC=90°.求證:CE=2BD.模型六雨傘模型∵∠BAC=90°,∴∠BAF=∠BAC=90°,∠ACE+∠AEC=90°.∵

∠BDC=90°,∴∠FDC=90°,∠ABF+∠BED=90°.證明如圖,延長BD交CA的延長線于F.∵∠AEC=∠BED,∴∠ACE=∠ABF.∵AB=AC,∴△ACE≌△ABF(ASA),∴CE=BF.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.∵CD=CD,∴△CBD≌△CFD(ASA),∴BD=FD=

BF,∴BD=

CE,∴CE=2BD.8.如圖,在四邊形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD+∠C=180°.

求證:AD=CD.模型七胖瘦模型

∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠EBD.在△ABD和△EBD中,證明如圖,在BC上截取BE=BA,連接DE.∴△ABD≌△EBD(SAS),∴AD=DE,∠A=∠BED.∵∠BED+∠CED=180°,∴∠CED=∠C,過點(diǎn)D作DF⊥BC于F,則∠DFE=∠DFC=90°.在△DFE與△DFC中,

∴△DFE≌△DFC(AAS),∴DE=CD,∴AD=CD.9.在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD這兩個(gè)條件中,選擇其中一

個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中,并完成解答.問題:如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在邊AB上(不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合),點(diǎn)E在邊AC上(不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合),連接BE,CD,BE與CD相交于點(diǎn)F.若

(填序號(hào)即可),則BE=CD,并證明.模型八軸對(duì)稱模型解析選擇條件①的證明:在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD.選擇條件②的證明:在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(ASA),∴BE=CD.10.(2024江蘇鹽城鹽都期中)如圖,點(diǎn)A、B、C、D在一條直

線上,且EA∥FB,EC∥FD,EA=FB.求證:(1