蘇科版初中八年級數(shù)學(xué)上冊2-4線段、角的軸對稱性第二課時角的軸對稱性課件

第2章軸對稱圖形2.4線段、角的軸對稱性第二課時角的軸對稱性基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點4角平分線的性質(zhì)1.(2024江蘇無錫梁溪月考)如圖,AB∥CD,BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,AD過點P,且與AB垂直.若點P到BC的距離是4,則AD的長為

()A.8

B.6

C.4

D.2A解析過點P作PE⊥BC于E,則PE=4.∵AB∥CD,PA⊥AB,∴

PD⊥CD.∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD

=PE,∴PE=PA=PD.∵PA+PD=AD,∴AD=2PE=8.故選A.

2.(2022北京中考)如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.

若AC=2,DE=1,則S△ACD=

.

1解析過D點作DH⊥AC于H,如圖,

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,∴S△ACD=

×2×1=1.故答案為1.3.(新獨家原創(chuàng))如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以點A為圓心,適

當(dāng)長為半徑作弧,交AB于點F,交AC于點E,分別以點E,F為圓

心,大于

EF長為半徑作弧,兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點G,作射線AG交BC于點D.若AC=5,BC=12,AB=13,則CD=

.

解析如圖,過D作DH⊥AB于H.∵AD平分∠CAB,∴CD=

DH.∵S△ABC=

AC·BC=S△ACD+S△ABD=

AC·CD+

AB·DH,∴AC·BC=AC·CD+AB·DH.設(shè)CD=DH=x,∴5×12=5x+13x,∴x=

,即CD=

.4.(教材變式·P58T9)如圖,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,

垂足為E,AB=12,BC=8.(1)求△CBD與△ABD的面積之比.(2)若△ABC的面積為50,求DE的長.解析(1)如圖,過點D作DF⊥BC于F.

∵BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵AB=12,BC=8,∴S△CBD∶S△ABD=

∶

=BC∶AB=8∶12=2∶3,∴△CBD與△ABD的面積之比2∶3.(2)∵△ABC的面積為50,△CBD與△ABD的面積之比為2∶3,

∴△ABD的面積為30.又∵AB=12,∴

×12DE=30,∴DE=5.5.(2024江蘇揚州廣陵月考)如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,

DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延長線于F.(1)求證:BE=CF.(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的長.解析(1)證明:如圖,連接BD,CD.

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠

CFD=90°.∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED與Rt

△CFD中,

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.(2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,在△AED和△AFD中,

∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF.設(shè)BE=x,則CF=x.∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,∴5-x=3

+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=AB-BE=5-1=4.6.(2024江蘇南通如皋期末)已知△ABC,兩個完全一樣的三角

板如圖擺放,它們的一組對應(yīng)直角邊分別在AB,AC上,且這組

對應(yīng)邊所對的頂點重合于點M,點M一定在

()

A.∠A的平分線上B.AC邊的高上C.BC邊的垂直平分線上D.AB邊的中線上知識點5角平分線的判定A解析如圖,連接AM.

由題意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC,∴AM平分∠BAC.故

選A.7.(2024江蘇徐州銅山月考)如圖,已知:△ABC的兩條外角平

分線交于點D.求證:AD是∠BAC的平分線.

證明如圖,分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC,

垂足分別為E、F、G,∵BD平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理DG=DF,

∴DE=DG,∴點D在∠EAG的平分線上,∴AD是∠BAC的平

分線.8.(2024江蘇南通海安期末,14,★☆☆)如圖,AD是△ABC的角

平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,則AC的長是

()

A.2

B.3

C.4

D.5C能力提升全練解析過D作DF⊥AC于F.

∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=2.

∵S△ADB=

AB·DE=

×5×2=5,△ABC的面積為9,∴△ADC的面積為9-5=4,∴

AC·DF=4,∴

AC×2=4,∴AC=4,故選C.9.(2024江蘇南京秦淮月考,9,★★☆)如圖,∠EAC和∠ACF是

△ABC的外角,∠ABC、∠EAC的平分線BP、AP交于點P,

PM⊥BE,PN⊥BF,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為

()D①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠

APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.A.1

B.2

C.3

D.4解析①過點P作PD⊥AC于D.

∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,∴PN=PD.∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴點P在∠ACF的平分線上.故①正確.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴

∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中,

∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理,Rt△

PCD≌Rt△PCN,∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠

ABC+2∠APC=180°.故②正確.③∵AP平分∠CAE,BP平分∠

ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=

∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB.故③正確.④由②可知Rt△PAM≌

Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△PAC.故④正確.故選D.10.(2024江蘇南京建鄴月考,10,★☆☆)如圖,OP是∠AOB的

平分線,PM⊥OB,N是射線OA上的動點,若PM=2,則PN的最小

值為

.2解析過P點作PH⊥OA于H,如圖,

∵OP是∠AOB的平分線,PM⊥OB,PH⊥OA,∴PH=PM=2.∵點N是射線OA上的一個動點,∴PN的最小值為2.故答案為2.11.(2024江蘇鹽城東臺期中,12,★☆☆)如圖,在△ABC中,CD

是邊AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于點E,BC=8,DE=2,則△

BCE的面積等于

.8解析如圖,過E點作EF⊥BC于點F.

∵CD是邊AB上的高,∴CD⊥BA.∵BE平分∠ABC,EF⊥BC,

∴DE=EF.∵DE=2,∴EF=2.∵BC=8,∴S△BCE=

=

=8.故答案為8.12.(2023江蘇蘇州期中,25,★★☆)如圖,在∠AOB的兩邊

OA、OB上分別取點M、N,連接MN.若MP平分∠AMN,NP平

分∠MNB.(1)求證:OP平分∠AOB.(2)若MN=8,△PMN與△OMN的面積分別是16和24,求線段

OM與ON的長度之和.解析(1)證明:過點P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分

別為點C,D,E,如圖,

∵M(jìn)P平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD.∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE,∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.(2)∵△PMN的面積是16,MN=8,∴

MN·PD=16,即

×8×PD=16,∴PD=4,∴PE=PC=PD=4.∵△OMN的面積是24,∴四邊形MONP的面積=△PMN的面積+△OMN的面積=16+

24=40,∴△POM的面積+△PON的面積=40,∴

OM·PC+

ON·PE=40,∴

OM×4+

ON×4=40,∴OM+ON=20,∴線段OM與ON的長度之和為20.13.(推理能力)已知點C是∠MAN的平分線上一點,∠BCD的

兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B、D兩點,且∠

ABC+∠ADC=180°.過點C作CE⊥AM,垂足為E.(1)如圖①,當(dāng)點E在線段AB上時,求證:BC=DC.(2)如圖②,當(dāng)點E在線段AB的延長線上時,探究線段AB、AD

與BE之間的數(shù)量關(guān)系.素養(yǎng)探究全練(3)如圖③,在(2)的條件下,若∠MAN=60°,連接BD,作∠ABD

的平分線BF交AD于點F,交AC于點O,連接DO并延長交AB于

點G,若BG=1,DF=2,求線段DB的長.解析(1)證明:如圖,過點C作CF⊥AN,垂足為F.

∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN,∴CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°,∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF.在△BCE和△DCF中,

∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=DC.(2)AD-AB=2BE.理由:如圖,過點C作CF⊥AD,垂足為F.

∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AD,∴CE=CF,∠CFA=∠

CEA=90°,易證△ACE≌△ACF,∴AE=AF.