2023-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某高中共有學(xué)生1200人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為6：5：4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則高三年級(jí)應(yīng)該抽取(????)人．A.16 B.18 C.20 D.242.圓x2+y2?8x+6y+16=0與圓A.相交 B.內(nèi)切 C.相離 D.外切3.給出下列4個(gè)命題：

①若事件A和事件B互斥，則P(A∩B)=P(A)P(B)；

②數(shù)據(jù)2，3，6，7，8，10，11，13的第70百分位數(shù)為10；

③已知y關(guān)于x的回歸方程為y=?0.5x+0.7，則樣本點(diǎn)(2,?1)的離差為?0.7；

④隨機(jī)變量X的分布為01230.20.20.30.3，則其數(shù)學(xué)期望A.①② B.①③ C.②③ D.②④4.將正整數(shù)n分解為兩個(gè)正整數(shù)k1、k2的積，即n=k1?k2，當(dāng)k1、k2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如20=1×20=2×10=4×5，其中4×5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)k1、k2是A.51012 B.51012?1 C.5二、填空題：本題共12小題，共54分。5.雙曲線x24?6.直線3x?y+1=0與直線y=0的夾角大小為______．7.在(x+1x)6的二項(xiàng)展開式中，8.已知等差數(shù)列{an}中，a7+a9=15，9.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,σ2)，且P(X>?2)=0.9，則P(X>2)=10.已知函數(shù)f(x)=cosx，則Δx→0limf(π211.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則P(B|A)=______．12.某單位為了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與氣溫.由表中數(shù)據(jù)所得回歸直線方程為y=?2x+b，據(jù)此預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為5℃氣溫(℃)141286用電量(度)2226343813.有3名男生與2名女生排成一隊(duì)照相，2名女生互不相鄰的概率為______．14.已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x2?2x?3)f′(x)>0的解集為______．

15.設(shè)F1、F2為雙曲線Γ：x2a2?y29=1(a>0)左、右焦點(diǎn)，且Γ的離心率為5，若點(diǎn)M在Γ的右支上，直線F116.對(duì)于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|三、解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=3an?1+4(n≥2)．

(1)18.(本小題14分)

(1)已知直線方程l1：(m+6)x?5y+5=0，l2：2x+(m?5)y+1=0，求出實(shí)數(shù)m分別取何值時(shí)，l1與l2分別：相交、平行、垂直；

(2)已知曲線C的方程為(x?2)2+19.(本小題14分)

(1)為了解中草藥甲對(duì)某疾病的預(yù)防效果，研究人員隨機(jī)調(diào)查了100名人員，調(diào)查數(shù)據(jù)如表.(單位：個(gè))若規(guī)定顯著性水平α=0.05，試分析中草藥甲對(duì)預(yù)防此疾病是否有效．

附：χ2=n(ad?bcα0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.828未患病者患病者合計(jì)未服用中草藥甲291645服用中草藥甲46955合計(jì)7525100(2)已知一個(gè)盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個(gè)紅球和3個(gè)白球.現(xiàn)從盒子中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布、期望和方差．20.(本小題16分)

已知拋物線Γ：y2=4x．

(1)求拋物線Γ的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；

(2)過焦點(diǎn)F且斜率為12的直線與拋物線Γ交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)；

(3)已知點(diǎn)P(1,2)，是否存在定點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線與拋物線Γ交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N(均不與點(diǎn)P重合)，且以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)21.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=12x2?(a+1)x+alnx.(其中a為常數(shù))．

(1)若a=?2，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的最小值；

(3)當(dāng)0≤a<1時(shí)，試討論函數(shù)答案解析1.A

【詳解】解：高三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)所占的比例為46+5+4=415，

故應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生的人數(shù)為：60×4152.B

【詳解】解：把圓x2+y2?8x+6y+16=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x?4)2+(y+3)2=9，

∴圓心A的坐標(biāo)為(4,?3)，半徑r=3，

由圓x2+y2=64，得到圓心B坐標(biāo)為(0,0)，半徑R=8，3.C

【詳解】解：對(duì)于①，若事件A和事件B互斥，P(A∩B)=0，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，8×70%=5.6，根據(jù)百分位數(shù)的定義直接取第六位即可，②正確；

對(duì)于③，若y關(guān)于x的回歸方程為y=?0.5x+0.7，則樣本點(diǎn)(2,?1)的殘差為e=y?y=(?1)?(?0.5×2+0.7)=?0.7，③正確；

對(duì)于④，E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.3=1.7，④錯(cuò)誤．

故選：4.B

【詳解】解：當(dāng)n=2k(k∈N?)時(shí)，52k=5k×5k，

則f(52k)=|5k?5k|=0，

當(dāng)n=2k?1(k∈N5.y=±1【詳解】解：雙曲線x24?y2=1的a=2，b=1，

可得漸近線方程為y=±bax6.π3【詳解】解：因?yàn)橹本€3x?y+1=0的斜率為k=3，則其傾斜角為π3，

所以直線3x?y+1=0與直線y=0的夾角大小為7.15

【詳解】解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，(x+1x)6的通項(xiàng)為Tr+1=C6r?x6?r?(1x)r=C6rx6?2r，r=0，1，28.14

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

若a7+a9=15，a4=1，則有a7+a9.0.1

【詳解】解：X服從正態(tài)分布N(0,σ2)，其正態(tài)分布曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，

由對(duì)稱性可知P(X>2)=P(X<?2)=1?P(X>?2)=1?0.9=0.1．

故答案為：10.?1

【詳解】解：由題意得，f′(π2)=Δx→0limf(π2+Δx)?f(π2)Δx11.23【詳解】解：由題意可知，P(A)=37，P(AB)=37×46=2712.40

【詳解】解：根據(jù)題意，x?=14(14+12+8+6)=10,y?=14(22+26+34+38)=30，

則b=y?+213.35【詳解】解：3名男生與2名女生排成一隊(duì)照相，共有A55=120種不同的排法，

其中2名女生互不相鄰的排法有A33A42=72種，

所以14.(?∞,?1)∪(?1,1)∪(3,+∞)

【詳解】解：由函數(shù)圖象可知f′(x)>0的解集為：(?∞,?1)∪(1,+∞)，

f′(x)<0的解集為：(?1,1)．

由(x2?2x?3)f′(x)>0，得

x2?2x?3>0f′(x)>0①或x2?2x?3<0f′(x)<0②

解①得：x<?1或x>3；

解15.3

【詳解】解：由Γ的離心率為5，可得e=ca=a2+9a2=5，解得a=316.(?∞,2)

【詳解】解：令f(x)=ex?x，x>0，

則f′(x)=ex?1，

所以當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

所以f(x)min=f(0)=1>0，

所以ex?x>0；

令g(x)=lnx?x(x>0)，

所以g′(x)=1x?1=1?xx，

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

所以g(x)max=g(1)=?1<0，

所以?g(x)≥1，

又因?yàn)閷?duì)于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|ex1?x1|+|lnx2?x217.解：(1)證明：數(shù)列{an}滿足an=3an?1+4，變形可得an+2=3(an?1+2)，

又由a1=1，則a1+2=3，

故數(shù)列{an+2}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；【詳解】(1)根據(jù)題意，由an=3an?1+4，變形可得an+2=3(18.解：(1)若l1與l2平行，則(m+6)(m?5)+10=0，解得m=?5或m=4，

當(dāng)m=?5時(shí)，l1：x?5y+5=0與l2：x?5y+12=0平行，故m=?5滿足假設(shè)，

當(dāng)m=4時(shí)，l1：2

x?y+1=0與l2：2x?y+1=0重合，故m=4不滿足假設(shè)，

所以當(dāng)且僅當(dāng)m=?5時(shí)，l1與l2平行，

若l1與l2垂直，則2(m+6)?5(m?5)=0，解得m=373，

而如果l1與l2不平行，也不重合時(shí)，那么l1與l2相交，

換言之若l1與l2相交，則當(dāng)且僅當(dāng)m≠4且m≠?5；

(2)圓C：(x?2)2+y2=1的圓心為C(2,0)，半徑為r=1；

過點(diǎn)B(1,?3)且斜率不存在的直線為x=1，圓心(2,0)到直線x=1的距離等于半徑1【詳解】(1)先分別求出平行、重合以及垂直時(shí)的m值，然后再利用直線的位置關(guān)系以及補(bǔ)集的概念即可求得相交時(shí)m的范圍；

(2)分所求直線斜率是否存在進(jìn)行討論，由圓心到直線的距離等于半徑即可列式求解．

19.解：(1)零假設(shè)H0：中草藥甲對(duì)預(yù)防此疾病無效，確定顯著性水平α=0.05，

χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(29×9?16×46)275×25×45×55=1444297≈4.862>3.841，

否定零假設(shè)，

∴中草藥甲對(duì)預(yù)防此疾病有效果．

(2)X的所有可能取值為0，1X0

1

2

P

1

15E(X)=0×112+1×12【詳解】(1)計(jì)算出卡方，即可判斷；

(2)X的所在可能取值為0，1，2，服從超幾何分布，由此能求出結(jié)果．

20.解：(1)拋物線Γ：y2=4x，

則p=2，且焦點(diǎn)在x軸正半軸，

故拋物線Γ的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=?1；

(2)由(1)可得，F(xiàn)(1,0)，

則直線AB方程為y=12(x?1)，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程y=12(x?1)y2=4x，化簡(jiǎn)整理可得，x2?18x+1=0，

Δ=(?18)2?4×1×1=320>0，x1+x2=18，

故|AB|=x1+x2+p=20；

(3)存在，理由如下：

設(shè)直線MN：x=my+n，M(x3,y3)，N(x4,y4)，

聯(lián)立方程x=my+ny2=4x，消去x可得，y2?4my?4n=0，

則Δ=16(m2+n)>0，y3+y4=4m，y3y4=?4n，

【詳解】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，先求出直線AB的方程，再與拋物線聯(lián)立，推得x2?18x+1=0，再根據(jù)韋達(dá)定理，以及拋物線的定義，即可求解；

(3)根據(jù)已知條件，設(shè)出直線MN，并與拋物線聯(lián)立，推得y21.(1)解：當(dāng)a=?2時(shí)，可得f(x)=12x2+x?2lnx，

可得f′(x)=x+1?2x=(x+2)(x?1)x，所以f′(2)=2且f(2)=4?2ln2，

所以切線方程為y?(4?2ln2)=2(x?2)，即2x?y?2ln2=0，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為2x?y?2lnx=0．

(2)解：由函數(shù)f(x)=12x2?(a+1)x+alnx，可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

又由f′(x)=(x?a)(x?1)x，令

x

(0,1)

1

(1,+∞)

f′(x)?

0+

f(x)↓

極小值↑所以函數(shù)的極小值為f(1)=?a?12，也是函數(shù)f(x)的最小值，

所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為?a?12；

(3)解：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=12x2?x，令f(x)=0，解得x1=2，x2=0(舍去)所以函數(shù)y=f(x)在

x(0,a)a(a,1)1(1,+∞)

f′(x)+0?0+

f(x)↑極大值↓極小值↑所以函數(shù)f(x)在(0,a)單調(diào)遞增，在(a,1)上單調(diào)遞減，

此時(shí)函數(shù)f(x)的極大值為f