2023-2024學(xué)年福建省福州三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?3x<0}，B={1,2,3,4}，則(A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3}2.已知z=2+i，則z(z??i)=A.2?i B.1+2i C.?6+2i D.6?2i3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足anA.38 B.916 C.7244.若函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)向左平移φ個單位后在區(qū)間[0,π2]A.π3 B.π2 C.π65.如圖所示是一個以AB為直徑，點S為圓心的半圓，其半徑為4，F(xiàn)為線段AS的中點，其中C，D，E是半圓圓周上的三個點，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成一個以S為頂點的圓錐的側(cè)面，則在該圓錐中下列結(jié)果正確的是(

)A.△CEF為正三角形 B.SA⊥平面CEF

C.SD/?/平面CEF D.點D到平面CEF的距離為26.若命題“?a∈[1,3]，ax2+(a?2)x?2>0”是假命題，則x不能等于A.?1 B.0 C.1 D.27.若x>0，y>0，且1x+1+1x+2y=1，則A.2 B.23 C.128.下列不等式中，所有正確的序號是(

)

①4tan14>1②tan(π?2)>sin2③10sinA.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面直角坐標系中四點A(0,?1)，B(1,?1)，C(?2,?7)，D(?1,t)，O為坐標原點，則下列敘述正確的是(

)A.AB=(1,0)B.若OA+OB=λOD，則t=2

C.當t=?4時，A，B，D三點共線D.若10.在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，M，S，T，P，Q是四棱錐的頂點或棱的中點(如圖)，則PQ/?/平面MST的有(

)A. B.

C. D.11.設(shè)點A(x1,y1)(x1≠0)是拋物線y2=4x上任意一點，過點A作拋物線A.(y1+y2)y1y2=?8 B.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(2x?y)6的展開式中，含x513.已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，則sin(α+β)=14.已知動點P，Q分別在圓M：(x?lnm)2+(y?m)2=1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asin=bsinA，b=23．

(1)求角B的大??；

(2)求2a?c的取值范圍．16.(本小題15分)

已知等差數(shù)列{an}與正項等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=3，且b3?a3，20，a5+b2既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PD與底面所成的角為45°，E為PD的中點．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)若AB=2，G為△BCD的內(nèi)心，求直線PG與平面PCD所成角的正弦值．18.(本小題17分)

如圖，已知橢圓C1：x24+y2=1和拋物線C2：x2=2py(p>0)，C2的焦點F是C1的上頂點，過F的直線交C2于M、N兩點，連接NO、MO并延長之，分別交C1于A、B兩點，連接AB，設(shè)△OMN、△OAB的面積分別為S△OMN19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?x+1，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．

(1)求函數(shù)f(x)的極值點；

(2)若直線y=ax+b是曲線y=f′(x)+ex的切線，求a+b的最小值；

(3)證明：ln23+ln38參考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.C

6.C

7.C

8.D

9.AB

10.AB

11.BCD

12.?192

13.?214.215.解：(1)∵A+C=π?B，asin=bsinA，∴asin=bsinA，

∴acos=bsinA，∴sinAcos=sinBsinA，∴cos=sinB=2sincos，∴sin=，

∴B=，

(2)由正弦定理得===2332=4，

∴2a?c=8sinA?4sinC=8sinA?4in(?A)=8sinA?4(32cosA+sinA)=6sinA?23cosA=43(32sinA?cosA)

=43sin(A?)，

當且僅當<A<，sin16.解：(1)由題意可得，b3?a3，20，a5+b2為常數(shù)列，公比為1，公差為0，

所以b3?a3=20=a5+b2．

又a1=b1=3，設(shè)公差為d、公比為q(q>0)，

則3q2?(3+2d)=20(3+4d)+3q=20，解得q=3d=2，

所以17.(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥PA，而CD⊥AD，AD∩PA=A，

所以CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，

所以CD⊥AE，

因為PA=AD，E為PD的中點，PD與底面所成的角為45°，

所以AE⊥PD，又因為PD∩CD，

所以AE⊥平面PCD；

(2)解：以A為坐標原點，以AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，

因為正方形中，AB=2，由(1)可得AP=2，

則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

E(0,1,1)，AC=(2,2,0)，AE=(0,1,1)，

由(1)可知平面PCD的法向量為AE=(0,1,1)，

因為G為△BCD的內(nèi)心，設(shè)圓G與△BCD切于Q，M，N，如圖所示：

由△BCD為等腰直角三角形，可得G在對角線AC上，

設(shè)AC，BD的交點為M，則M為圓的切點，圓的半徑為r，

M(1,1,0)，

則r=CG?22=GM，而CG+MG=CM=12AC，

可得MG=2?12AC，

可得G(2,2,0)，

所以PG=(2,2,?2)

AE18.解：(1)拋物線C2的焦點為F(0,1)，故p=2．

(2)若直線MN與y軸重合，則該直線與拋物線C2只有一個公共點，不合乎題意，

所以，直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，點M(x1,y1)、N(x2,y2)，

聯(lián)立x2=4yy=kx+1，可得x2?4kx?4=0，

Δ=16k2+16>0恒成立，則x1x2=?4，

OM?ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=?4+1=?3．

(3)設(shè)直線NO、19.解：(1)f(x)定義域為{x|x>0}，

則f′(x)=lnx+x?1x?1=lnx，

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的極小值點為x=1，沒有極大值點；

(2)令g(x)=y=f′(x)+ex=lnx+ex，則g′(x)=1x+e,x>0，

設(shè)切點為(t,g(t))(t>0)，則g(t)=lnt+et，g′(t)=1t+e，

則切線方程為y?(?t+et)=(1t+e)(x?t)，

即y=(2+c)x+mt?1，又y=ax+b是曲線的切線方程，

則a=1t+eb=lnt?1，則a+b=1t+e+lnt?1，

令?(t)=1t+e+lnt?1,t>0，則?′(t)=1t?1t2=t?1t2，t>0，

令?′(t)=0，得t=1，

所以