2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第十一章-第七節(jié)-正態(tài)分布【課件】

必備知識·逐點夯實第七節(jié)正態(tài)分布核心考點·分類突破第十一章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布【課標解讀】【課程標準】1.了解正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用.2.了解正態(tài)分布的定義,正態(tài)曲線的特征,會求服從正態(tài)分布的隨機變量的概率.3.記住正態(tài)總體在常用區(qū)間上的取值的概率,并能在一些簡單的實際問題中應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法正態(tài)分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學(xué)生應(yīng)用相關(guān)公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn).預(yù)測

預(yù)計2025年高考正態(tài)分布可能還會出題,命題較靈活多變.必備知識·逐點夯實

X~N(μ,σ2)x=μx=μ3.3σ原則(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4.正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ,σ2),則E(X)=___,D(X)=___.μσ2微點撥

(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號12341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,在x軸上方.(

)(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=σ對稱,只有當x∈(-3σ,3σ)時曲線才在x軸上方.(

)(3)正態(tài)曲線和x軸圍成的面積隨μ的變化而變化.(

)(4)正態(tài)曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低.(

)

√××

√2.(選擇性必修第三冊P87T3·變形式)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=(

)附:概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)近似值0.68270.95450.9973A.0.8186 B.0.4772 C.0.84 D.0.9759

4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=__________.

【解析】因為X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.0.14核心考點·分類突破

(3)(多選題)若隨機變量ξ~N(0,1),則下列結(jié)論正確的是(

)A.該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱B.若P(ξ≤1.52)=0.9357,則P(ξ>1.52)=0.0643C.若P(ξ≤1.49)=0.9319,則P(ξ≤-1.49)=0.9319D.當x>0時,若P(ξ≥x)=φ(x),則P(|ξ|≥x)=2φ(x)【解析】選BD.由題設(shè)知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱,故A錯誤;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.0643,故B正確;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=1-P(ξ≤1.49)=0.0681,故C錯誤;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由對稱性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正確.解題技法利用正態(tài)分布性質(zhì)解題的關(guān)鍵點對X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意義不清楚,特別是對μ的認識不清楚,就會在解題時無從下手,導(dǎo)致隨便給出一個結(jié)果.這里μ是隨機變量X的均值,σ是標準差,x=μ是正態(tài)密度曲線的對稱軸.對點訓(xùn)練1.(多選題)某次市教學(xué)質(zhì)量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多,成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由圖中曲線可得下列說法中正確的是(

)A.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同B.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中C.丙科總體的平均數(shù)最小D.甲科總體的標準差最大【解析】選AD.由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相同,由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越“矮胖”,σ越小,正態(tài)曲線越“瘦高”,故三科總體的標準差從大到小依次為甲、乙、丙.

考點二服從正態(tài)分布的概率計算[例2](1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=(

)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】選C.由題意可知μ=1,正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=1對稱,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根據(jù)對稱性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.

(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是(

)A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等【解析】選D.對于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正確;對于B,由正態(tài)密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5,故B正確;對于C,由正態(tài)密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中小于9.99的概率與大于10.01的概率相等,故C正確;對于D,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.解題技法正態(tài)分布的概率計算的關(guān)鍵點正態(tài)分布的特點可結(jié)合圖象記憶,并可根據(jù)μ和σ的不同取值得到不同的圖象,特別地,當μ=0時,圖象關(guān)于y軸對稱.

0.4

8

(3)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149[22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合計10001.000

解題技法解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(1)對稱軸x=μ;(2)標準差σ;(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由μ,σ,分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.

0.8186

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15865重難突破

概率與統(tǒng)計中的決策問題【考查形式】試題多以相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、二項分布等作為載體,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及數(shù)學(xué)的應(yīng)用與創(chuàng)新意識.重點考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).【解題關(guān)鍵】(1)會“評價”:在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上能夠基于數(shù)字特征給出統(tǒng)計意義上的評價結(jié)論.(2)會“決策”:在基于數(shù)字特征給出有意義評價的基礎(chǔ)上,分析利弊、觀察風(fēng)險,進而做出切實可行的合理決策方案或建議.類型一與回歸分析相關(guān)的預(yù)測性問題[例1]2021年6月,公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統(tǒng)——“國家反詐中心APP”,這是一款能有效預(yù)防詐騙、快速舉報詐騙內(nèi)容的軟件,用戶通過學(xué)習(xí)里面的防詐騙知識可以有效避免各種網(wǎng)絡(luò)詐騙的發(fā)生。某省自“國家反詐中心APP”推出后,持續(xù)采取多措并舉的推廣方式,積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工作.經(jīng)統(tǒng)計,省反詐中心發(fā)現(xiàn)全省每月網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)y(單位:件)與推廣時間有關(guān),并記錄了經(jīng)推廣x個月后每月舉報件數(shù)的數(shù)據(jù):

推廣月數(shù)x/個1234567y/件89188835122020013811215860.370.55

解題技法預(yù)測問題的解題策略(1)求經(jīng)驗回歸方程;(2)利用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測,把回歸直線方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.對點訓(xùn)練為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果,某知名電商平臺決定為脫貧鄉(xiāng)村的特色水果開設(shè)直播帶貨專場.該特色水果的熱賣黃金時段為2023年7月10日至9月10日,為了解直播的效果和關(guān)注度,該電商平臺統(tǒng)計了已直播的2023年7月10日至7月14日時段中的相關(guān)數(shù)據(jù),這5天的第x天到該電商平臺專營店購物的人數(shù)y(單位:萬人)的數(shù)據(jù)如下表:日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日第x天12345人數(shù)y(單位:萬人)75849398100(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),請判斷該電商平臺的第x天與到該電商平臺專營店購物的人數(shù)y(單位:萬人)是否具有較高的線性相關(guān)程度;(參考:若0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般,若|r|>0.75,則線性相關(guān)程度較高,計算r時精確度為0.01)

解題技法決策問題的解題策略(1)在實際問題中,已知兩個隨機變量ξ1,ξ2,當E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時,就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度.(2)一般地,將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案.對點訓(xùn)練某財經(jīng)雜志發(fā)起一項調(diào)查,旨在預(yù)測某地經(jīng)濟前景,隨機訪問了100位業(yè)內(nèi)人士,根