2021屆數(shù)學新高考小題 (三十四)

2021屆新高考“8+4+4”小題狂練(34)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的)

1.已知復數(shù)z滿足(l-i)-z=4i,則目=(

A.V2B.2c.2V2D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的代數(shù)形式的除法運算先求出z,再根據(jù)復數(shù)的模長公式求出|z|.

【詳解】解：：(1-i>z=4i,,.?.z=A=(蒜2)7+2".#1=2夜.

故選：D.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的模，屬于基礎題.

2.已知集合4={%|%2一%<0},B={x|x>I或x<0},則()

A.B^AB.A^BC.=RD.=0

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式對集合進行化簡，即可求出兩集合的關(guān)系.

【詳解】解：解不等式％2一%<0得O<X<1,則4=何0<%<1}.

因為3={x|x>l或x<0},所以4門8=0,

故選:D.

【點睛】本題考查了一元二次不等式的求解，考查了兩集合間的關(guān)系.

3.已知。=log3O.2,Z?=log02O.3,c=lO°』，則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a、b、c與0、1比較，即可得出答案.

【詳解】因為y=log3%在(。,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=log,0.2<log,1=0,

因為y=log。2x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以0=log02l<b=log020.3<log020.2=1,

因為y=10'在R上單調(diào)遞增，

所以c=10°」>10°=1,

所以a<。<c.

故選：A

【點睛】本題考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)與對數(shù)函數(shù).屬于基礎題.本類題型一般都是將所需比較的數(shù)與0、1

比較大小，熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解本題的關(guān)鍵.

4.(1—x)(l+x)3的展開式中，V的系數(shù)為()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意轉(zhuǎn)化條件得(1—X)(I+X)3=(l+X)3—X(l+X。再由二項式定理寫出(1+X)3的通項公式，分別令

尸=3、r=2,求和即可得解.

詳解】由題意(l—X)(I+X)3=(I+X)3—X(l+X)3,

3

(1+X)的通項公式為Tr+t=C；-片./=G?V,

令廠=3,則=C；=1；

令r=2,則=C；=3；

所以(1—x)(l+x)3的展開式中，d的系數(shù)為1一3=一2.

故選：B.

【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

5.函數(shù)“X）與g（x）=的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)/（x）的部分圖象大致為（）

A.

【答案】D

【解析】

【分析】

卡里，通過求/圖，

由誘導公式對g（x）化簡，結(jié)合兩函數(shù)圖象的關(guān)系可求出〃x）=

/（%）即可排除錯誤答案.

3兀

【詳解】解：（、2smX尸2cosx—1,因為/（X）與g（x）圖象關(guān)于y軸對稱,

g（x）=----

xX

貝U正止1=22…,

-XX

c兀1

/\2COS--F1c

3=-^-二〉。，7

排除C,--<0,排除B,

1^2)￡71冗

2

//、2cos乃+11八詡”人

/(〃)=---------=----<0,排除A,

7171

故選:D.

【點睛】本題考查了誘導公式，考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)圖象的選擇.本題的關(guān)鍵是求出了（X）的

解析式.

6.在3世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之

又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一

個圓內(nèi)接正〃邊形等分成〃個等腰三角形（如圖所示），當"變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓

的面積.運用割圓術(shù)的思想，可得到si〃3°的近似值為（）（乃取近似值3.14）

A.0.012B.0.052

C.0.125D.0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意圓內(nèi)接正120邊形其等分成120個等腰三角形，每個等腰三角形的頂角為3。,根據(jù)等腰三角形的面

積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin3。的近似值.

360°1

【詳解】當〃=120時，每個等腰三角形的頂角為-=3°，則其面積為SA=]/sin3°,

又因為等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，

所以120x工,sin30aTir1=>sin3°?—?0.052,

260

故選：B

【點睛】本題考查三角形與圓的面積公式，屬于基礎題.解本類題型需認真審題，讀懂題意找到等式是關(guān)鍵.

7.已知函數(shù)/(X)=1+1g(J/+1+x),若等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，且

/(4-1)=一10，/(%)20-1)=1°，則5202。二()

A.-4040B.0

C.2020D.4040

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，對/(一尤)進行整理可得/(X)為奇函數(shù)，從而可知q+“2020=2,代入等差數(shù)列的

求和公式即可求出S2020的值.

【詳解】解：因為/(%)=1+1g(+1+q定義域為R,關(guān)于原點對稱，且

f(-X)=(-X)3+lg(Vx2+1-x)=-X3+1gJ1-—

=-X3-lg(&+]+x)=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù)，

由_1)=_/(。2020_1)=/(1_〃2020)得，〃1_]=]_“2020，所以4+〃2020=2,

因為｛為｝為等差數(shù)列，所以$2020=里迎竽0城=2020,

故選:C.

【點睛】本題考查了對數(shù)的運算，考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，考查了等差數(shù)列的求和公式.本題的關(guān)鍵是

求出4+。2020=2.

8.在四面體A8CZ)中，8C=Cr>=60=A5=2,NABC=9O,二面角A-3C—。的平面角為150°,

則四面體A8C3外接球的表面積為()

31124

A.—71B.-----H

33

C.31%D.1247

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標系，寫出AB,C,O坐標，利用球心到距離等于半徑求出球心坐標，從而求出

球體半徑，即可求出球體的表面積.

【詳解】解：取8。中點E為坐標系原點，過點E作垂直于平面BCD的直線為z軸，￡3所在直線為x軸,

EC所在直線為>軸，如下圖所示.

由已知條件可得：8(1,0,0),C(-l,0,0),￡>(0,73,0),A(l,-V3,l).

設四面體ABCD外接球的球心為0(%>,z),由=|Q5|=|OC|=|。。|得:

=j2+（y_6j+Z2

x=0

解得：=則球心。o,-^—,3.

3I3

z=3

；.四面體ABCD外接球的半徑R=|OA|=j『+F亨+6+（3—1）2=欄，所以四面體ABCD外接球

31I24乃

的表面積S=4%/?2=4?x±=-----.

33

故選：B.

【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，關(guān)鍵是建立空間直角坐標系求出各頂點坐標，屬于中檔題.

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）

9.在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外，另一條戰(zhàn)線也日漸清晰一一，恢復經(jīng)濟正常運行.國人萬眾一心，眾志成城，防控

疫情、復工復產(chǎn)，某企業(yè)對本企業(yè)1644名職工關(guān)于復工的態(tài)度進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，則下列說法

正確的是（）

疫情防控期間某企業(yè)復工職工調(diào)查

申請休假

B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178

C.不到80名職工傾向于繼續(xù)申請休假

D.傾向于復工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)扇形圖中的比例關(guān)系依次驗證各個選項即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A，x=100—5.1-17.8—42.3=34.8,A錯誤；

對于傾向于在家辦公的人員占比為17.8%,故對應概率為0.178,B正確;

對于C，傾向于繼續(xù)申請休假人數(shù)為1644x5.1%之84人，C錯誤；

對于。，傾向于在家辦公或在公司辦公的職工人數(shù)為1644x(17.8%+42.3%)a988人，。正確.

故選：BD.

【點睛】本題考查根據(jù)扇形圖進行相關(guān)命題的辨析的問題，涉及到比例和頻數(shù)的計算等知識，屬于基礎題.

10.已知向量1=(2,1),5=(1,-1),c={m-2,-?),其中機，〃均為正數(shù)，且(〃一5)〃工，下列說

法正確的是()

A.a與b的夾角為鈍角

B.向量。在b方向上的投影為更

5

C.2m+n=4

D.mn的最大值為2

【答案】CD

【解析】

【分析】

對于A,利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B,利用平面向量的投影定義判斷；對于C,利用(1一石)〃C

判斷；對于D,利用C的結(jié)論，2機+〃=4,結(jié)合基本不等式判斷.

【詳解】對于A,向量@=(2,1),5=(1，-1).則無石=2-1=1>0，則G石的夾角為銳角，錯誤；

a-bV2

對于B,向量1=(2,1),5=(1,-1),則向量M在坂方向上的投影為下|-=彳，錯誤；

對于C,向量G=(2,1),5=(1,-1),則萬一5=(1)2),若(1_5)〃5，則(-〃)=2(切-2),變形可得

2加+行4,正確；

I|2〃z+鹿

對于D,由C的結(jié)論，2m+n=4,而〃均為正數(shù)，貝！|有(2wn)<—(------>=2,即機〃的最大

222

值為2,正確；

故選：CD.

【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應用，屬于基礎題.

y2

Y

11.已知橢圓C：W=1(。>。>0)的右焦點為廠，點尸在橢圓。上，點。在圓

E:(x+3)2+(y-4)2=4±,且圓E上的所有點均在橢圓C外，若|PQ|-|P目的最小值為2右一6，且

橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則下列說法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2B.橢圓C的短軸長為括

C.|PQ|+|PF|的最小值為2后D.過點尸的圓E的切線斜率為心|^

【答案】AD

【解析】

【分析】

由題意可求得。的值，再由圓的幾何性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義以及已知條件可求得C的值，進而可判斷出A、B

選項的正誤；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項的正誤；設出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可

求得切線的斜率，可判斷D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】圓E的圓心為七(一3,4),半徑長為2，

由于橢圓。的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則2。=4,可得。=2,

設橢圓的左焦點為點耳,由橢圓的定義可得歸刊+歸耳|=勿=4,.?』尸司=4—|尸耳|,

所以，歸。|一歸目=|PQ]—(4一歸用)=歸耳|+歸。]一4"?制+|PE|—2—4"班k6=26一6,

當且僅當尸、Q、E、月四點共線，且當P、。分別為線段E片與橢圓C、圓E的交點時，等號成立,

則但用=J(—3+c)+(4—Op=J(C—3)2+16=26，-.-0<c<a=2,解得c=l,

所以，橢圓。的焦距為2c=2,A選項正確；

橢圓。的短軸長為給=2必二7=26，B選項錯誤；

\PQ\+\PF\>\PE\+|PF|-2>|￡F|-2=[㈠-丁+(4_0『-2=472-2，

當且僅當P、。、E、/四點共線，且當P、。分別為線段EF與橢圓。、圓E交點時，等號成立，C

選項錯誤;

若所求切線的斜率不存在，則直線方程為x=l,圓心E到該直線的距離為卜3-1=4>2,則直線％=1與

圓E相離，不合乎題意；

若所求切線的斜率存在，可設切線的方程為y=%(x—1),即依-y—Z=O,

由題意可得卜3：：4一%|:整理得3公+8k+3=0,解得％=一4±療.

VF+1VF+13

D選項正確.

故選：AD.

【點睛】本題考查利用橢圓的定義解決焦半徑與橢圓上的點到圓上的點的距離和與差的最值問題，同時也

考查了過圓外一點引圓的切線問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.

12.已知函數(shù)/(x)=[cosx|TsinM|,則下列結(jié)論中，正確的有()

A.乃是/(x)的最小正周期

B.”X)在作A上單調(diào)遞增

c.7(x)的圖象的對稱軸為直線x=(+版'(ZeZ)

D./(x)的值域為[0,1]

【答案】BD

【解析】

【分析】

由〃—x)=./XX)，知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(%+卞=/(勸，知'是/(X)的周期，

n

當xe[0,—]時，化簡并畫出其圖象，在根據(jù)偶函數(shù)和周期性，畫出函數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)圖象判斷

4

每一個選項是否正確.

【詳解】由/(-x)=/(x),知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(x+])=f(x),知]是“X)的周期，

當xe[0,工]時，/(%)=cos%-sinx=-41sin(x--),畫出f(x)的圖象如圖所示：

44

y

3牙x

4~2442-7

由圖知，“X)的最小正周期是A錯誤；

“X)在佰,上單調(diào)遞增，B正確；

“X)的圖象的對稱軸為*=子,(左eZ),C錯誤；

/(x)的值域為[0,1],D正確.

故選：BD.

【點睛】本題是絕對值與三角函數(shù)的綜合問題，判斷函數(shù)奇偶性，周期性畫出函數(shù)圖象是解決問題的關(guān)鍵,

屬于中檔題.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若曲線/(x)=xlnx+x在點(1,7(1))處的切線與直線2x+ay-4=0平行，則。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函數(shù)/(x)在x=l處的導數(shù)值,即可根據(jù)兩直線平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式，得出

答案.

【詳解】因為/(x)=xlnx+x.

所以/'(x)=Inx+1+1=Inx+2,

所以/(1)=2.

因為曲線/(x)=xlnx+x在點(1,7⑴)處的切線與直線2x+?-4=0平行，

2

即2=—=>n=—1.

a

故答案為:-1.

【點睛】本題考查函數(shù)的導函數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.解本提出的關(guān)鍵在于理解函數(shù)在某點的導函數(shù)值等

于函數(shù)在這點的切線的斜率.

14.已知圓錐的頂點為S,頂點S在底面的射影為O,軸截面SA8是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)

面積為，點。為母線S3的中點，點C為弧AB的中點，則異面直線CO與OS所成角的正切值

為.

⑵?孚

【答案】(1).171

【解析】

【分析】

由軸截面的圖形可知圓的半徑和母線長，從而可求出側(cè)面積；作。于E，通過求出

tan/CDE=一EC匕，從而可求異面直線所成角.

DE

【詳解】解：因為軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，所以底面圓的半徑為1，母線為2，

所以圓錐的側(cè)面積為S=?xlx2=24；作OE1.AB于E，則。上_1底面圓，

因為。為母線SB的中點，所以E￡>=2SO=LJF=7=且，

222

亞

又EC=J"?+OE?=+1=與

所以tanZ.CDE=,

DEB3

T

因為ED//SO,所以異面直線CO與OS所成角的正切值為巫

3

故答案為：2兀；晅

3

【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的求解，考查了異面直線二面角的求解.本題的關(guān)鍵是將異面直線通過平移,

求其夾角.

15.CES是世界上最大的消費電子技術(shù)展，也是全球最大的消費技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會.2020CES消費電子展于2020

年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費電子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨

屏閱讀手機，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負責接待工作（這3名員工的工作視為相同的

工作），再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機性能，若其中甲和乙至多有1人負責接待工作，則

不同的安排方案共有種.

【答案】360

【解析】

【分析】

理解題意，分兩步安排，先安排接待工作，再安排講解工作.安排接待工作時，甲和乙至多安排1人，故分

沒安排甲乙和甲乙安排1人兩類求解，從而計算出不同的安排方案總數(shù).

【詳解】先安排接待