2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)1 . 6解三角形

1.6解三角形

1.6.1余弦定理

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一已知兩邊及其夾角解三角形

1.(2022山東泰安期末)在中，/信3,叱2,cos會(huì)三,則tanA=()

4

A.—B.—C.—D.—

6633

2.(2021福建寧德福安高級(jí)中學(xué)期末)在充中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為

a,&c,若a=7,爐8,cos上熱,則最大角的余弦值是()

14

1111

A.-B.-C.--D.-

5678

3.在△45。中，BOa,AOb,a,b是方程系-27^+2=0的兩個(gè)根,且2cos(4+5=1.求:

⑴角。的度數(shù)；

(2)/6的長(zhǎng)度.

題組二已知三邊解三角形

4.(2022四川成都期末)已知△45。的內(nèi)角A,氏。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若

a=6,k7,c=5,則sin田()

A.—B.-C.—D.—

7776

5.已知a、b、c分別為的內(nèi)角4B、。所對(duì)的邊,若滿足(a+6

c)(a+^c)=ab,則角。的大小為()

A.60°B.90°

C.120°D.150°

6.已矢口△［比的頂點(diǎn)為力（1,8）,庾一2,2V3）,<7（0,0）,則N/宏.

題組三已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形

7.（2021黑龍江哈爾濱第三十二中期末）回的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

已知a=y/5,①2,cos力=|,則斤（）

A.V2B.V3C.2D.3

8.（2020甘肅蘭州一中月考）在△/a1中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,6,c,若

a=10,左15,N4=30°,則此三角形（）

A.無(wú)解B.有一個(gè)解C.有兩個(gè)解D.解的個(gè)數(shù)不確定

題組四利用余弦定理判斷三角形的形狀

9.在中，Z79=60。，6=ac,則△/花是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

10.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度后組成新的三角形,則新三角形的

形狀是（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.由增加的長(zhǎng)度確定能力提升練

能力提升練

題組一利用余弦定理解三角形

1.（2022河南聯(lián)考）已知在△/以中，a",c分別為內(nèi)角A,&C的對(duì)

邊，ZA=120°,2左a+c,且3-反4,則慶（）

A.6B.10C.12D.16

2.（多選）（2022河北武安第一中學(xué)期末）在△力比'中，B（=V13,ZJ=60°,AC=4,則

邊1。上的高是（）

A.—B.—C.-D.3V3

222

題組二利用余弦定理判斷三角形的形狀

3.設(shè)△力充的內(nèi)角A,夕，。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccos5=asinA,則

△4%的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

4.在優(yōu)中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足2房Ac,若4cos2^-8cos

班3=0,則△/笈的形狀為.

題組三余弦定理的綜合應(yīng)用

5.（2022江西撫州臨川一中期末）無(wú)字證明來(lái)源于《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)

法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題），通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通

過(guò)圖形實(shí)踐證明.如圖所示,AABC中,〃￡為比邊上異于端點(diǎn)的兩點(diǎn),B2a,EUc,

且△/應(yīng)是邊長(zhǎng)為b的等邊三角形,則下列不等式一定成立的是（）

A.Va2+ac+c2+Vb2+be+c2>a^-b+c

B.Va2+ac+c2+yja2+ab+b2>a+b+c

C.yja2—ac+c2+y/a2+ab+b2>a+b+c

D.Va2+ab+b2+yjb2+be+c2>a\b^c

6.（多選）（2022重慶一中月考）在中，角A,&C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下

列結(jié)論正確的是（）

A.sin（屏0=sin/恒成立

B.若a2+Z?2-c2>0,則%一定是銳角三角形

C.若4+%c2<0,則△］回一定是鈍角三角形

D.若acosA=bcos4則一定是等腰直角三角形

7.（多選）（2022江蘇無(wú)錫一中期中）甲、乙兩樓相距20m,從乙樓底望甲樓頂?shù)?/p>

仰角為60。,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0。，則下列說(shuō)法正確的有（

A.甲樓的高度為20gm

B.甲樓的高度為10V3m

C.乙樓的高度為竽m

D.乙樓的高度為10V3m

8.（2022江蘇泰州中學(xué)期中）在△血。中，〃是死邊上一點(diǎn),且反：空」.

6BD2

⑴若〃是比的中點(diǎn)，求若的值；

AB

⑵若AO4V3,求的面積的最大值.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.D由余弦定理得24C?&bos<^32+22-2X3X2x0=4,所以4斤2,

4

所以45=為C所以N4=NC所以cosA=cosC=~,

4

匚匚]、i/sinAVl-cos27l

所以tan4A=——=---------=—,

cos/lcosA3

故選D.

2.C由余弦定理得/=72+82-2X7X8X當(dāng)9,解得c=3(負(fù)值舍去)，由“大邊對(duì)大

角”可知角方最大,則COS廬7工一：號(hào).

2X7X37

3.解析(1)cosecos[n-(/+/)]=-cos(4+0=

-(0,Ji),.-.<^120°.

⑵由題知2遮，

：.AE=AC+BC-2AC?BCCOS小4+產(chǎn)2MOS120°=4+而招出"-赤(2同之一

2=10,

:"貨同.

2Iu2_02r

4.C因?yàn)樾?,左7,c=5,所以cosC=n~"=",

2ab7

又?！?0,h),所以sinC=\/l—cos2C=^.

7

故選C.

5.CV(a+Zr-t?)(a+b+c)=ab,

a+b~-c=~ab,gpa+b~c

2ab2

COSC=-2-,

.3120°.

6.答案600

解析易得

AB=\AB\=(-2-1)2+(2V3-V3)2=2V3,A(=\AC\=(0-I)2+(0-V3)2=2,

(0+2)2+(0-2避尸=4.

222222

在△/氏7中,由余弦定理得cosZACB=AC+BC-AB2+4-(2y/3)l

2ACBC2x2x42

所以N4?60。.

7.D由余弦定理得5=Z?2+4-2XZJX2X|,整理,得3/72-8Zr-3=0,解得左3或A

[(舍去)，故選D.

8.C由三角形中兩邊之和大于第三邊,且兩邊之差小于第三邊可知⑸25).

由a=/j+c-2bccos4得102=152+c2-2X15Xccos30°,/.+1589125=0,解得

。=空萼￡(5,25),

???c有兩解,即△45。有兩個(gè)解,故選C.

9.D由N廬60,lj-ac及Z?2=(a2+c'-2accosB,得ac=a2+c2-ac,

所以(a-c)2=0,所以a=c,

所以是等邊三角形.

10.A設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且左+甘二匕三邊都增加x(x〉0),

貝！J(a+x)2+(加x)2-(c+x)2=才+斤+2*+2(a+Z?)x-c-2cx-x=2(a+Zr-c)x+*〉0,

由余弦定理知,新三角形中最大角是銳角，

???新三角形是銳角三角形.

能力提升練

】陰峭之;上得憶;受

在中，由余弦定理得a2=Z?2+c-2Z?ccosA=lf+(f+bc,BP(Zri-4)2=Z？2+(Z?-4)2+Z7(Z>-

4),

整理,得24-20b=0,所以ZFIO.故選B.

2.AB由余弦定理得cos4心+y2二叱一.+：6-13」,解得AB=i或［定3,經(jīng)檢驗(yàn)

2ABAC8AB2

均符合題意.設(shè)邊4。上的高是h,當(dāng)AB=1時(shí),力=儂in600=y；當(dāng)/廬3

時(shí)，力48sin600=平.故選AB.

u2I^2_「22222222222

3.BbcosC+ccosB^b,------+c-c-+-a----b=-b---^a----c--+-c-+-a----b=——2a=5=as1.n

2ablac2a2a

A,

.,.sinA=l.

(0,北)，.?"=]...△45。是直角三角形.

4.答案等邊三角形

解析由4cos2比8cos4+3=0,

解得cos州或cos歷|(舍去),

■:BG(0,Ji),

'：2b^a+c,：.b=—,

整理,得a2+c2-2ac=0,即(.c)2=0,

故a=c,

.?.△4%為等邊三角形.

5.D由題圖可知AB+AOBC,BOa+lAc,

在初和△/龍中，分別由余弦定理，得AB=7a2+ab+b2,AC=>Jb2+be+c2,

所以,a2+ab+爐+力爐++c2)外出c.故選D.

6.AC對(duì)于A,因?yàn)橹?，班上?4所以sinJ+0=sin(nT)=sin4故A正

確；

對(duì)于B,因?yàn)椴?斤高川,所以cose為所以角。為銳角而△/比不一定

2ab

是銳角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閾浠?<0,所以cos廿可丁<0,所以角。為鈍角所以△力回一定

2ab

是鈍角三角形，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閍cosA=bcos氏所以a?b+c~a~b,，整理得a2（Z>2+c2-

2bc°+2'ac一"

才）=仇才+c2_6）所以（齊㈤（才+為/）=0,所以養(yǎng)4或才+省所以花為等

腰三角形或直角三角形,故D錯(cuò)誤，故選AC.

7.AC如圖所示，

在中，ZABD=Q0°,族20%

：.AD=BDtan60°=20A/3m/廬一^-=40m,

COS60°

故甲樓的高度為20V3m.

在中，ZACB=90°+30°=120°,易知AOBC,設(shè)AOBOxm,

由余弦定理得A^AC+BC-2AC*BCCOS/ACB,

即1600=/+AZ

解得方竽（負(fù)值舍去），故乙樓的高度為竽m.故選AC.

8.解析⑴若〃是a1的中點(diǎn)，則A0B0BC,

24

在△/初中，廢,由余弦定理，得A1^=BI}+AR—2AB?BD?cosB,

6

所以1應(yīng)?=初+4於2"?BDX^-,

整理得AE-WAB?BD^B?0,

4

所以AB-爭(zhēng)加0,所以A理BD.

在△/宛中，由余弦定理，得AC=BC+AR-2AB?BC-cos廬4切+2切-

4

2X鼻DX2初X邑初

224

所以AC/BD,所以