2023年雙曲線二級結(jié)論大全

雙曲線1.2.原則方程3.4．點(diǎn)P處切線PT平分△PF1F25．PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上射影H點(diǎn)軌跡是以實(shí)軸為直徑圓，除去實(shí)6．以焦點(diǎn)弦PQ為直徑圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.7．以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑圓必與以實(shí)軸為直徑圓外切.8．設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，則△PF1F29．雙曲線（a＞0,b＞0）兩個頂點(diǎn)為,，與y軸平行直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)軌跡方程是.10．若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過雙曲線切線方程是.11．若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2直線方程是.12．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）不平行于對稱軸且過原點(diǎn)弦，M為AB中點(diǎn)，則.13．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分中點(diǎn)弦方程是.14．若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po弦中點(diǎn)軌跡方程是.15．若PQ是雙曲線（b＞a＞0）上對中心張直角弦，則.16．若雙曲線（b＞a＞0）上中心張直角弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定雙曲線：（a＞b＞0），：,則(i)對上任意給定點(diǎn),它任一直角弦必要通過上一定點(diǎn)M.(ii)對上任一點(diǎn)在上存在唯一點(diǎn),使得任一直角弦都通過點(diǎn).18．設(shè)為雙曲線（a＞0,b＞0）上一點(diǎn)，P1P2為曲線C動弦,且弦PP1，PP2斜率存在，記為k1，k2，則直線P1P2通過定點(diǎn)充要條件是.19．過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．雙曲線（a＞0,b＞o）左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線焦點(diǎn)角形面積為，.21．若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn),F1，F(xiàn)2是焦點(diǎn)，，，則（或）.22．雙曲線（a＞0,b＞o）焦半徑公式：，當(dāng)在右支上時，,.當(dāng)在左支上時，,.23．若雙曲線（a＞0,b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1＜e≤時，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d1與PF2比例中項(xiàng).24．P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線左支內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在左支時，等號成立.25．雙曲線（a＞0,b＞0）上存在兩點(diǎn)有關(guān)直線：對稱充要條件是.26．過雙曲線焦半徑端點(diǎn)作雙曲線切線，與以長軸為直徑圓相交，則對應(yīng)交點(diǎn)與對應(yīng)焦點(diǎn)連線必與切線垂直.27．過雙曲線焦半徑端點(diǎn)作雙曲線切線交對應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)連線必與焦半徑互相垂直.28．P是雙曲線（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對雙曲線兩焦點(diǎn)張直角充要條件是.29．設(shè)A,B為雙曲線（a＞0,b＞0，）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線相交于,則.30．在雙曲線中，定長為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為31．設(shè)S為雙曲線（a＞0,b＞0）通徑，定長線段L兩端點(diǎn)A,B在雙曲線右支上移動，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時，有,);當(dāng)時，有.32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)充要條件是.33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)充要條件是.34．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記，,，則有.35．通過雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸兩端點(diǎn)A1和A2切線，與雙曲線上任一點(diǎn)切線相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最小值為;（3）最小值是.37．MN是通過雙曲線（a＞0,b＞0）過焦點(diǎn)任一弦(交于兩支)，若AB是通過雙曲線中心O且平行于MN弦，則.38．MN是通過雙曲線（a＞b＞0）焦點(diǎn)任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O半弦，則.39．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1,A2為兩頂點(diǎn))交點(diǎn)N在直線：上.40．設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一種頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交對應(yīng)于焦點(diǎn)F雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.41．過雙曲線一種焦點(diǎn)F直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q，A1、A2為雙曲線實(shí)軸上頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.42．設(shè)雙曲線方程,則斜率為k(k≠0)平行弦中點(diǎn)必在直線：共軛直線上,并且.43．設(shè)A、B、C、D為雙曲線（a＞0,b＞o）上四點(diǎn),AB、CD所在直線傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線焦點(diǎn)，內(nèi)（外）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個雙曲線時，R、S形成軌跡方程是().45．設(shè)△ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且AB為直徑，為AB共軛直徑所在直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與雙曲線相切充要條件是D為EF中點(diǎn).46．過雙曲線（a＞0,b＞0）右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN垂直平分線交x軸于P，則.47．設(shè)A（x1,y1）是雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn)，過A作一條斜率為直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線L距離，分別是A到雙曲線兩焦點(diǎn)距離，則.48．已知雙曲線（a＞0,b＞0）和（），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則│AB│=|CD│.49．已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上兩點(diǎn)，線段AB垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)，則或.50．設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).51．設(shè)過雙曲線實(shí)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線實(shí)軸左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交對應(yīng)于過B點(diǎn)直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52．L是通過雙曲線（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直直線，A、B是雙曲線兩個頂點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.53．L是通過雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸頂點(diǎn)A且與x軸垂直直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，，H是L與X軸交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.54．L是雙曲線（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F1且與x軸垂直直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.55．已知雙曲線（a＞0,b＞0），直線L通過其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時取等號）.56．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，，,，c、e分別是雙曲線半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)區(qū)域）、外部兩點(diǎn)，且、橫坐標(biāo)，（1）若過A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58．設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)區(qū)域），外部兩點(diǎn)，（1）若過A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若BP交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則P、Q不有關(guān)x軸對稱），且，則點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)滿足.59．設(shè)是雙曲線實(shí)軸兩個端點(diǎn)，是與垂直弦，則直線與交點(diǎn)P軌跡是雙曲線.60．過雙曲線（a＞0,b＞0）右焦點(diǎn)作互相垂直兩條弦AB、CD,則；61．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩焦點(diǎn)距離之比等于（c為半焦距）動點(diǎn)M軌跡是姊妹圓.62．到雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸兩端點(diǎn)距離之比等于（c為半焦距）動點(diǎn)M軌跡是姊妹圓.63．到雙曲線（a＞0,b＞0）兩準(zhǔn)線和x軸交點(diǎn)距離之比為（c為半焦距）動點(diǎn)軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是雙曲線（a＞0,b＞0）上一種動點(diǎn)，是它實(shí)軸兩個端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)軌跡方程是.65．雙曲線一條直徑(過中心弦)長，為通過一種焦點(diǎn)且與此直徑平行弦長和實(shí)軸之長比例中項(xiàng).66．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸端點(diǎn)為,是雙曲線上點(diǎn)過P作斜率為直線，過度別作垂直于實(shí)軸直線交于,則（1）.（2）四邊形面積趨近于.67．已知雙曲線（a＞0,b＞0）右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC通過線段EF中點(diǎn).68．OA、OB是雙曲線（a＞0,b＞0,且）兩條互相垂直弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必通過一種定點(diǎn).(2)以O(shè)A、OB為直徑兩圓另一種交點(diǎn)Q軌跡方程是（除原點(diǎn)）。69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一種定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直弦，則（1）直線AB必通過一種定點(diǎn).（2）以PA、PB為直徑兩圓另一種交點(diǎn)Q軌跡方程是(除P點(diǎn)).70．假如一種雙曲線虛半軸長為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

異側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線漸近線.（2），且F1、F2在L異側(cè)直線

和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L同側(cè)直線L和雙曲線相交.71．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）實(shí)軸，是雙曲線上動點(diǎn)，過切線與過A、B切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC對角線交點(diǎn)M軌跡方程是.72．設(shè)點(diǎn)為雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)部(（含焦點(diǎn)區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線過定點(diǎn)任一弦.(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實(shí)軸所在直線時.(2)如,則當(dāng)弦AB平行（或重疊）于雙曲線實(shí)軸所在直線時，.73．雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑圓相外切.74．雙曲線焦三角形內(nèi)切圓必切長軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)實(shí)軸端點(diǎn).75．雙曲線兩焦點(diǎn)到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓切線長為定值a+c與c-a.76．雙曲線焦三角形非焦頂點(diǎn)到其旁切圓切線長為定值c-a.77．雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).78．雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段提成定比e.79．雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心比例中項(xiàng).80．雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點(diǎn)距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)距離成比例.81．雙曲線焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足距離為雙曲線實(shí)半軸長.84．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑圓和雙曲線實(shí)軸為直徑圓切點(diǎn).85．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線與焦半徑、實(shí)軸所在直線夾角余弦比為定值e.86．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)法線即為該頂角外角平分線.87．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)切線即為該頂角內(nèi)角平分線.88．雙曲線焦三角形中,過非焦頂點(diǎn)切線與雙曲線實(shí)軸兩端點(diǎn)處切線相交,則以兩交點(diǎn)為直徑圓必過兩焦點(diǎn).89.已知雙曲線上有一點(diǎn)，過度別引其漸近線平行線，分別交軸于，交軸于，為原點(diǎn)，則：（1）；（2）.90.過平面上點(diǎn)作直線及平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則軌跡方程是.(2)若，則軌跡方程是.91.點(diǎn)為雙曲線在第一象限弧上任意一點(diǎn)，過引軸、軸平行線，交軸、軸于，交直線于，記與面積為，則：.92.點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過引軸、軸平行線，交軸、軸于，交直線于，記與面積為，已知，則軌跡方程是或雙曲線性質(zhì)92條證明1.雙曲線第一定義。2.由定義即可得雙曲線原則方程。3.雙曲線第二定義。4.設(shè)在第一象限，切線PT（即）斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為，與PT夾角為α，與PT夾角為β。由兩直線夾角公式得：同理可證其他狀況。故切線PT平分點(diǎn)P處內(nèi)角。5.不妨設(shè)P在第一象限。作F2有關(guān)切線PT對稱點(diǎn)M，由4可知M在PF1上，則，垂足H為F2M中點(diǎn)，則OH=，同理可證其他狀況。射影H軌跡是以實(shí)軸為直徑圓除去兩端點(diǎn)。6.設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對應(yīng)準(zhǔn)線距離分別為，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，以PQ為直徑圓半徑為r，則，故以PQ為直徑圓與對應(yīng)準(zhǔn)線相交。7.如圖，兩圓圓心距為，故兩圓外切。7圖8圖8.如圖，由切線長定理：，而，與重疊，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其她位置狀況。9.設(shè)，則則∴P點(diǎn)軌跡方程為10.在雙曲線上，對求導(dǎo)得：切線方程為即11.設(shè)，由10得：，由于點(diǎn)在直線上，且同步滿足方程，因此12.作差得：13.由12可得：14..由12可得：15.設(shè)，則16.將直線AB代入雙曲線方程中得：，設(shè)則，17.設(shè)雙曲線內(nèi)直角弦AB方程為：即。當(dāng)斜率k存在時，代入雙曲線C1方程中得：設(shè)得，則即直線AB過定點(diǎn)，此點(diǎn)在C2上。當(dāng)直線斜率不存在時，直線AB也過C2上定點(diǎn)。由上可知C1和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對應(yīng)關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2：。k存在時，代入雙曲線方程中得：設(shè)得，k不存在時，P1P2：x=mx0則，必要性得證。充足性：設(shè)P1P2過定點(diǎn)，則P1P2：。代入雙曲線方程得：設(shè)得，則驗(yàn)證k不存在狀況，也得到此結(jié)論。故過定點(diǎn)，充足性得證。19.設(shè)AB：即20.由余弦定理：21.由正弦定理得P在右支時，同理當(dāng)P在左支時，22.由第二定義得：M在右支時，M在左支時，。23.易知P在左支上，24.易知當(dāng)P在左支時有最小值，此時：。當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在左支時，等號成立.。25.易知當(dāng)k=0時，只有x軸符合規(guī)定，但此時不存在。故。當(dāng)時，設(shè)A，B兩點(diǎn)有關(guān)直線y=kx+m對稱，直線AB方程為，易知即。聯(lián)立AB與雙曲線方程得：得即①AB中點(diǎn)在y=kx+m上，得②②代入①得，解②得③當(dāng)m=0時由①②得p=0，。當(dāng)m>0時解得或，代入③得或；當(dāng)m<0時解得或，代入③得或。由此可見兩種狀況結(jié)論相似。當(dāng)時，，。故對任意m，結(jié)論可統(tǒng)一體現(xiàn)為當(dāng)，即當(dāng)時，26.由5即可得證。27.設(shè)P，則切線，A27圖28.29.設(shè)。聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理：同理。則APBQ=而符號一定相反，故==0。因此AP=BQ30.①當(dāng)A，B同支時，設(shè)，為AB中點(diǎn)。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：因此定長為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為。其中，時。②當(dāng)A，B異支時，設(shè)，為AB中點(diǎn)。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：因此定長為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為。其中，時。綜上所述，定長為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為：31.設(shè)，為AB中點(diǎn)。則：二次函數(shù)y=e2x2-mx+a2與在內(nèi)交點(diǎn)即為x0值。易知y=e2x2-mx+a2與右交點(diǎn)為x0值。當(dāng)m增大時，x0增大。要使x0最小，則要使m最小。，此時等號成立時當(dāng)此式成立時當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)時，，。當(dāng)時，當(dāng)，即AB垂直于x軸時x0最小。32.由33，當(dāng)時，33.34.由正弦定理得，因此。35.設(shè)，則P點(diǎn)處切線為，由此可得：36.（1）同15。（2）由15,36（3）：（3）設(shè)，37.設(shè)，分別代入雙曲線方程得：，由參數(shù)t幾何意義可知：38.由雙曲線極坐標(biāo)方程得：，設(shè)OP：代入雙曲線方程得：，∴39.設(shè)，將方程代入雙曲線得：由韋達(dá)定理得：，直線A1P方程為，直線A2Q方程為，聯(lián)立A1P和A2Q得交點(diǎn)N橫坐標(biāo)，代入化簡：因此交點(diǎn)一定在直線上。引理（張角定理）：A,C,B三點(diǎn)按次序排列在一條直線上。直線外一點(diǎn)P對AC張角為α，對CB張角為β。則：40圖41圖40.如圖，A為左頂點(diǎn)時，設(shè)，則。對F-AMP由張角定理：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF當(dāng)A為右頂點(diǎn)時，由39可知左頂點(diǎn)A’與P、M；與Q、N分別共線，于是回到上一種狀況。41.如圖，設(shè)，則對F-QA2M和F-A1MP由張角定理：兩式相加并化簡得：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF42.由12即可證得。43.設(shè)，AB：，CD：，將AB方程代入雙曲線得：由參數(shù)t幾何意義可知：，同理易知P與A，B和C，D位置關(guān)系一定相似44.對于內(nèi)角平分線狀況由5即可證得，下僅證為外角平分線狀況。設(shè)P，則則，。分別聯(lián)立、和、得：，則，對點(diǎn)：，代回式得：同理對點(diǎn)得。故點(diǎn)、點(diǎn)軌跡方程為45.由伸縮變換將雙曲線變?yōu)榈容S雙曲線，再由旋轉(zhuǎn)變換變?yōu)樽鴺?biāo)軸為漸近線雙曲線本來共軛直徑變?yōu)閮蓷l有關(guān)y軸對稱直線。只需證明此狀況即可證明原命題。設(shè)，則，，則直線AC：同理BC：。C點(diǎn)處切線。分別聯(lián)立EF與AC，EF與AB，EF與C點(diǎn)處切線得：。由E，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線可知，D為EF中點(diǎn)。46.設(shè)，由雙曲線極坐標(biāo)方程：，47.由10可知為切線由22:48.同29。49.50.同20。51.設(shè)，代入雙曲線方程得：由韋達(dá)定理得：由A、P、M三點(diǎn)共線得，同理52,53,54為同一類題（最佳觀畫位置問題），現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線x=m上（m>k），則當(dāng)時，∠APB最大，其正弦值為。52.k=a,m=c∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF=b時取等號。53.k=,m=a∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PA=時取等號。54.k=,m=c∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF1=時取等號。55.設(shè)∠AF2x=，則當(dāng)且僅當(dāng)=90°時等號成立。56.（1）設(shè)，代入雙曲線方程得：∵AP=≠0∴AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57.由58可證。58.（1）易知PQ斜率為0和斜率不存在時，對任意x軸上點(diǎn)A都成立。設(shè)，A（m，0）代入雙曲線方程得：，則若，則（2）作P有關(guān)x軸對稱點(diǎn)，由（1）即證。59.同9。60.設(shè)，代入雙曲線方程得：，同理對傾斜角。當(dāng)a=b時，，，此時或。當(dāng)時，設(shè)，則有關(guān)在上增至正無窮，在上單調(diào)減，在和之間先減后增，此時兩者異號。當(dāng)和時，當(dāng)為0或1時，有最小值。當(dāng)介于和之間時：等號成立時即。而故當(dāng)時，，最小值為。61,62,63為同一類問題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B距離之比，則P點(diǎn)軌跡為一種圓，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。下三個題比值均為，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。61.m=c，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64.設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點(diǎn)軌跡方程：65.同37。66.（1）同35。（2）由基本不等式（漸近線時取等號），則梯形面積趨近于一種最小值。67.設(shè)AC交x軸于M，AD⊥于D。由雙曲線第二定義：∴AC過EF中點(diǎn)。68.（1）由17可知當(dāng)雙曲線方程為時，AB過定點(diǎn)。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，定點(diǎn)也應(yīng)向