2023年雙曲線(xiàn)二級(jí)結(jié)論大全

雙曲線(xiàn)1.2.原則方程3.4．點(diǎn)P處切線(xiàn)PT平分△PF1F25．PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線(xiàn)PT上射影H點(diǎn)軌跡是以實(shí)軸為直徑圓，除去實(shí)6．以焦點(diǎn)弦PQ為直徑圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相交.7．以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑圓必與以實(shí)軸為直徑圓外切.8．設(shè)P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則△PF1F29．雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)軌跡方程是.10．若在雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上，則過(guò)雙曲線(xiàn)切線(xiàn)方程是.11．若在雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）外，則過(guò)Po作雙曲線(xiàn)兩條切線(xiàn)切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2直線(xiàn)方程是.12．AB是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)弦，M為AB中點(diǎn)，則.13．若在雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分中點(diǎn)弦方程是.14．若在雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過(guò)Po弦中點(diǎn)軌跡方程是.15．若PQ是雙曲線(xiàn)（b＞a＞0）上對(duì)中心張直角弦，則.16．若雙曲線(xiàn)（b＞a＞0）上中心張直角弦L所在直線(xiàn)方程為,則(1);(2).17．給定雙曲線(xiàn)：（a＞b＞0），：,則(i)對(duì)上任意給定點(diǎn),它任一直角弦必要通過(guò)上一定點(diǎn)M.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一點(diǎn),使得任一直角弦都通過(guò)點(diǎn).18．設(shè)為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上一點(diǎn)，P1P2為曲線(xiàn)C動(dòng)弦,且弦PP1，PP2斜率存在，記為k1，k2，則直線(xiàn)P1P2通過(guò)定點(diǎn)充要條件是.19．過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于B,C兩點(diǎn)，則直線(xiàn)BC有定向且（常數(shù)）.20．雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞o）左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)角形面積為，.21．若P為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn),F1，F(xiàn)2是焦點(diǎn)，，，則（或）.22．雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞o）焦半徑公式：，當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,.23．若雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為L(zhǎng)，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離d1與PF2比例中項(xiàng).24．P為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)左支內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且在左支時(shí)，等號(hào)成立.25．雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上存在兩點(diǎn)有關(guān)直線(xiàn)：對(duì)稱(chēng)充要條件是.26．過(guò)雙曲線(xiàn)焦半徑端點(diǎn)作雙曲線(xiàn)切線(xiàn)，與以長(zhǎng)軸為直徑圓相交，則對(duì)應(yīng)交點(diǎn)與對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)連線(xiàn)必與切線(xiàn)垂直.27．過(guò)雙曲線(xiàn)焦半徑端點(diǎn)作雙曲線(xiàn)切線(xiàn)交對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)連線(xiàn)必與焦半徑互相垂直.28．P是雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)張直角充要條件是.29．設(shè)A,B為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0，）上兩點(diǎn)，其直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)相交于,則.30．在雙曲線(xiàn)中，定長(zhǎng)為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為31．設(shè)S為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）通徑，定長(zhǎng)線(xiàn)段L兩端點(diǎn)A,B在雙曲線(xiàn)右支上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有.32．雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）與直線(xiàn)有公共點(diǎn)充要條件是.33．雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）與直線(xiàn)有公共點(diǎn)充要條件是.34．設(shè)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記，,，則有.35．通過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸兩端點(diǎn)A1和A2切線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)切線(xiàn)相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線(xiàn)（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最小值為;（3）最小值是.37．MN是通過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）過(guò)焦點(diǎn)任一弦(交于兩支)，若AB是通過(guò)雙曲線(xiàn)中心O且平行于MN弦，則.38．MN是通過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞b＞0）焦點(diǎn)任一弦(交于同支)，若過(guò)雙曲線(xiàn)中心O半弦，則.39．設(shè)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線(xiàn)上除中心，頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，過(guò)M引一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)A1P、A2Q(A1,A2為兩頂點(diǎn))交點(diǎn)N在直線(xiàn)：上.40．設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)長(zhǎng)軸上一種頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.41．過(guò)雙曲線(xiàn)一種焦點(diǎn)F直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)P、Q，A1、A2為雙曲線(xiàn)實(shí)軸上頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.42．設(shè)雙曲線(xiàn)方程,則斜率為k(k≠0)平行弦中點(diǎn)必在直線(xiàn)：共軛直線(xiàn)上,并且.43．設(shè)A、B、C、D為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞o）上四點(diǎn),AB、CD所在直線(xiàn)傾斜角分別為，直線(xiàn)AB與CD相交于P,且P不在雙曲線(xiàn)上,則.44．已知雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)，內(nèi)（外）角平分線(xiàn)為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線(xiàn)時(shí)，R、S形成軌跡方程是().45．設(shè)△ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線(xiàn)上，且AB為直徑，為AB共軛直徑所在直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與雙曲線(xiàn)相切充要條件是D為EF中點(diǎn).46．過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN垂直平分線(xiàn)交x軸于P，則.47．設(shè)A（x1,y1）是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為直線(xiàn)L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線(xiàn)L距離，分別是A到雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)距離，則.48．已知雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）和（），一條直線(xiàn)順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則│AB│=|CD│.49．已知雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)，則或.50．設(shè)P點(diǎn)是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).51．設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)實(shí)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)實(shí)軸左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交對(duì)應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)直線(xiàn)MN：于M，N兩點(diǎn),則.52．L是通過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直直線(xiàn)，A、B是雙曲線(xiàn)兩個(gè)頂點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53．L是通過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸頂點(diǎn)A且與x軸垂直直線(xiàn)，E、F是雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，，H是L與X軸交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54．L是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）焦點(diǎn)F1且與x軸垂直直線(xiàn)，E、F是雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55．已知雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0），直線(xiàn)L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線(xiàn)右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則（當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)取等號(hào)）.56．設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，，,，c、e分別是雙曲線(xiàn)半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線(xiàn)一支內(nèi)（含焦點(diǎn)區(qū)域）、外部?jī)牲c(diǎn)，且、橫坐標(biāo)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過(guò)B引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58．設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸上分別位于雙曲線(xiàn)一支內(nèi)（含焦點(diǎn)區(qū)域），外部?jī)牲c(diǎn)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若BP交雙曲線(xiàn)這一支于兩點(diǎn)，則P、Q不有關(guān)x軸對(duì)稱(chēng)），且，則點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)、滿(mǎn)足；（2）若過(guò)B點(diǎn)引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)滿(mǎn)足.59．設(shè)是雙曲線(xiàn)實(shí)軸兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直弦，則直線(xiàn)與交點(diǎn)P軌跡是雙曲線(xiàn).60．過(guò)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）右焦點(diǎn)作互相垂直兩條弦AB、CD,則；61．到雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）兩焦點(diǎn)距離之比等于（c為半焦距）動(dòng)點(diǎn)M軌跡是姊妹圓.62．到雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸兩端點(diǎn)距離之比等于（c為半焦距）動(dòng)點(diǎn)M軌跡是姊妹圓.63．到雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）兩準(zhǔn)線(xiàn)和x軸交點(diǎn)距離之比為（c為半焦距）動(dòng)點(diǎn)軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上一種動(dòng)點(diǎn)，是它實(shí)軸兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)軌跡方程是.65．雙曲線(xiàn)一條直徑(過(guò)中心弦)長(zhǎng)，為通過(guò)一種焦點(diǎn)且與此直徑平行弦長(zhǎng)和實(shí)軸之長(zhǎng)比例中項(xiàng).66．設(shè)雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸端點(diǎn)為,是雙曲線(xiàn)上點(diǎn)過(guò)P作斜率為直線(xiàn)，過(guò)度別作垂直于實(shí)軸直線(xiàn)交于,則（1）.（2）四邊形面積趨近于.67．已知雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線(xiàn)上，且軸，則直線(xiàn)AC通過(guò)線(xiàn)段EF中點(diǎn).68．OA、OB是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0,且）兩條互相垂直弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線(xiàn)AB必通過(guò)一種定點(diǎn).(2)以O(shè)A、OB為直徑兩圓另一種交點(diǎn)Q軌跡方程是（除原點(diǎn)）。69．是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）上一種定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直弦，則（1）直線(xiàn)AB必通過(guò)一種定點(diǎn).（2）以PA、PB為直徑兩圓另一種交點(diǎn)Q軌跡方程是(除P點(diǎn)).70．假如一種雙曲線(xiàn)虛半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線(xiàn)距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

異側(cè)直線(xiàn)L和雙曲線(xiàn)相切,或是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn).（2），且F1、F2在L異側(cè)直線(xiàn)

和雙曲線(xiàn)相離，（3），或F1、F2在L同側(cè)直線(xiàn)L和雙曲線(xiàn)相交.71．AB是雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）實(shí)軸，是雙曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)切線(xiàn)與過(guò)A、B切線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)M軌跡方程是.72．設(shè)點(diǎn)為雙曲線(xiàn)（a＞0,b＞0）內(nèi)部(（含焦點(diǎn)區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)任一弦.(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線(xiàn)實(shí)軸所在直線(xiàn)時(shí).(2)如,則當(dāng)弦AB平行（或重疊）于雙曲線(xiàn)實(shí)軸所在直線(xiàn)時(shí)，.73．雙曲線(xiàn)焦三角形中,以焦半徑為直徑圓必與以雙曲線(xiàn)實(shí)軸為直徑圓相外切.74．雙曲線(xiàn)焦三角形內(nèi)切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)實(shí)軸端點(diǎn).75．雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)焦三角形內(nèi)切圓切線(xiàn)長(zhǎng)為定值a+c與c-a.76．雙曲線(xiàn)焦三角形非焦頂點(diǎn)到其旁切圓切線(xiàn)長(zhǎng)為定值c-a.77．雙曲線(xiàn)焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在雙曲線(xiàn)焦三角形中,非焦頂點(diǎn)內(nèi)、外角平分線(xiàn)與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn).78．雙曲線(xiàn)焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線(xiàn)段提成定比e.79．雙曲線(xiàn)焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線(xiàn)中心比例中項(xiàng).80．雙曲線(xiàn)焦三角形中,雙曲線(xiàn)中心到內(nèi)點(diǎn)距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)距離成比例.81．雙曲線(xiàn)焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線(xiàn)中心連線(xiàn)段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線(xiàn)段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線(xiàn)段成比例.82．雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線(xiàn)引垂線(xiàn),則雙曲線(xiàn)中心與垂足連線(xiàn)必與另一焦半徑所在直線(xiàn)平行.83．雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線(xiàn)引垂線(xiàn),則雙曲線(xiàn)中心與垂足距離為雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng).84．雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線(xiàn)引垂線(xiàn),垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑圓和雙曲線(xiàn)實(shí)軸為直徑圓切點(diǎn).85．雙曲線(xiàn)焦三角形中,非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線(xiàn)與焦半徑、實(shí)軸所在直線(xiàn)夾角余弦比為定值e.86．雙曲線(xiàn)焦三角形中,非焦頂點(diǎn)法線(xiàn)即為該頂角外角平分線(xiàn).87．雙曲線(xiàn)焦三角形中,非焦頂點(diǎn)切線(xiàn)即為該頂角內(nèi)角平分線(xiàn).88．雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)實(shí)軸兩端點(diǎn)處切線(xiàn)相交,則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑圓必過(guò)兩焦點(diǎn).89.已知雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)，過(guò)度別引其漸近線(xiàn)平行線(xiàn)，分別交軸于，交軸于，為原點(diǎn)，則：（1）；（2）.90.過(guò)平面上點(diǎn)作直線(xiàn)及平行線(xiàn)，分別交軸于，交軸于.（1）若，則軌跡方程是.(2)若，則軌跡方程是.91.點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限弧上任意一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸平行線(xiàn)，交軸、軸于，交直線(xiàn)于，記與面積為，則：.92.點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸平行線(xiàn)，交軸、軸于，交直線(xiàn)于，記與面積為，已知，則軌跡方程是或雙曲線(xiàn)性質(zhì)92條證明1.雙曲線(xiàn)第一定義。2.由定義即可得雙曲線(xiàn)原則方程。3.雙曲線(xiàn)第二定義。4.設(shè)在第一象限，切線(xiàn)PT（即）斜率為k，所在直線(xiàn)斜率為，所在直線(xiàn)斜率為，與PT夾角為α，與PT夾角為β。由兩直線(xiàn)夾角公式得：同理可證其他狀況。故切線(xiàn)PT平分點(diǎn)P處內(nèi)角。5.不妨設(shè)P在第一象限。作F2有關(guān)切線(xiàn)PT對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，由4可知M在PF1上，則，垂足H為F2M中點(diǎn)，則OH=，同理可證其他狀況。射影H軌跡是以實(shí)軸為直徑圓除去兩端點(diǎn)。6.設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離分別為，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離為，以PQ為直徑圓半徑為r，則，故以PQ為直徑圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相交。7.如圖，兩圓圓心距為，故兩圓外切。7圖8圖8.如圖，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理：，而，與重疊，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其她位置狀況。9.設(shè)，則則∴P點(diǎn)軌跡方程為10.在雙曲線(xiàn)上，對(duì)求導(dǎo)得：切線(xiàn)方程為即11.設(shè)，由10得：，由于點(diǎn)在直線(xiàn)上，且同步滿(mǎn)足方程，因此12.作差得：13.由12可得：14..由12可得：15.設(shè)，則16.將直線(xiàn)AB代入雙曲線(xiàn)方程中得：，設(shè)則，17.設(shè)雙曲線(xiàn)內(nèi)直角弦AB方程為：即。當(dāng)斜率k存在時(shí)，代入雙曲線(xiàn)C1方程中得：設(shè)得，則即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，此點(diǎn)在C2上。當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB也過(guò)C2上定點(diǎn)。由上可知C1和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2：。k存在時(shí)，代入雙曲線(xiàn)方程中得：設(shè)得，k不存在時(shí)，P1P2：x=mx0則，必要性得證。充足性：設(shè)P1P2過(guò)定點(diǎn)，則P1P2：。代入雙曲線(xiàn)方程得：設(shè)得，則驗(yàn)證k不存在狀況，也得到此結(jié)論。故過(guò)定點(diǎn)，充足性得證。19.設(shè)AB：即20.由余弦定理：21.由正弦定理得P在右支時(shí)，同理當(dāng)P在左支時(shí)，22.由第二定義得：M在右支時(shí)，M在左支時(shí)，。23.易知P在左支上，24.易知當(dāng)P在左支時(shí)有最小值，此時(shí)：。當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且在左支時(shí)，等號(hào)成立.。25.易知當(dāng)k=0時(shí)，只有x軸符合規(guī)定，但此時(shí)不存在。故。當(dāng)時(shí)，設(shè)A，B兩點(diǎn)有關(guān)直線(xiàn)y=kx+m對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AB方程為，易知即。聯(lián)立AB與雙曲線(xiàn)方程得：得即①AB中點(diǎn)在y=kx+m上，得②②代入①得，解②得③當(dāng)m=0時(shí)由①②得p=0，。當(dāng)m>0時(shí)解得或，代入③得或；當(dāng)m<0時(shí)解得或，代入③得或。由此可見(jiàn)兩種狀況結(jié)論相似。當(dāng)時(shí)，，。故對(duì)任意m，結(jié)論可統(tǒng)一體現(xiàn)為當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，26.由5即可得證。27.設(shè)P，則切線(xiàn)，A27圖28.29.設(shè)。聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理：同理。則APBQ=而符號(hào)一定相反，故==0。因此AP=BQ30.①當(dāng)A，B同支時(shí)，設(shè)，為AB中點(diǎn)。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：因此定長(zhǎng)為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為。其中，時(shí)。②當(dāng)A，B異支時(shí)，設(shè)，為AB中點(diǎn)。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：因此定長(zhǎng)為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為。其中，時(shí)。綜上所述，定長(zhǎng)為2m（）弦中點(diǎn)軌跡方程為：31.設(shè)，為AB中點(diǎn)。則：二次函數(shù)y=e2x2-mx+a2與在內(nèi)交點(diǎn)即為x0值。易知y=e2x2-mx+a2與右交點(diǎn)為x0值。當(dāng)m增大時(shí)，x0增大。要使x0最小，則要使m最小。，此時(shí)等號(hào)成立時(shí)當(dāng)此式成立時(shí)當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即AB垂直于x軸時(shí)x0最小。32.由33，當(dāng)時(shí)，33.34.由正弦定理得，因此。35.設(shè)，則P點(diǎn)處切線(xiàn)為，由此可得：36.（1）同15。（2）由15,36（3）：（3）設(shè)，37.設(shè)，分別代入雙曲線(xiàn)方程得：，由參數(shù)t幾何意義可知：38.由雙曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程得：，設(shè)OP：代入雙曲線(xiàn)方程得：，∴39.設(shè)，將方程代入雙曲線(xiàn)得：由韋達(dá)定理得：，直線(xiàn)A1P方程為，直線(xiàn)A2Q方程為，聯(lián)立A1P和A2Q得交點(diǎn)N橫坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)：因此交點(diǎn)一定在直線(xiàn)上。引理（張角定理）：A,C,B三點(diǎn)按次序排列在一條直線(xiàn)上。直線(xiàn)外一點(diǎn)P對(duì)AC張角為α，對(duì)CB張角為β。則：40圖41圖40.如圖，A為左頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則。對(duì)F-AMP由張角定理：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF當(dāng)A為右頂點(diǎn)時(shí)，由39可知左頂點(diǎn)A’與P、M；與Q、N分別共線(xiàn)，于是回到上一種狀況。41.如圖，設(shè)，則對(duì)F-QA2M和F-A1MP由張角定理：兩式相加并化簡(jiǎn)得：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF42.由12即可證得。43.設(shè)，AB：，CD：，將AB方程代入雙曲線(xiàn)得：由參數(shù)t幾何意義可知：，同理易知P與A，B和C，D位置關(guān)系一定相似44.對(duì)于內(nèi)角平分線(xiàn)狀況由5即可證得，下僅證為外角平分線(xiàn)狀況。設(shè)P，則則，。分別聯(lián)立、和、得：，則，對(duì)點(diǎn)：，代回式得：同理對(duì)點(diǎn)得。故點(diǎn)、點(diǎn)軌跡方程為45.由伸縮變換將雙曲線(xiàn)變?yōu)榈容S雙曲線(xiàn)，再由旋轉(zhuǎn)變換變?yōu)樽鴺?biāo)軸為漸近線(xiàn)雙曲線(xiàn)本來(lái)共軛直徑變?yōu)閮蓷l有關(guān)y軸對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)。只需證明此狀況即可證明原命題。設(shè)，則，，則直線(xiàn)AC：同理BC：。C點(diǎn)處切線(xiàn)。分別聯(lián)立EF與AC，EF與AB，EF與C點(diǎn)處切線(xiàn)得：。由E，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)可知，D為EF中點(diǎn)。46.設(shè)，由雙曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程：，47.由10可知為切線(xiàn)由22:48.同29。49.50.同20。51.設(shè)，代入雙曲線(xiàn)方程得：由韋達(dá)定理得：由A、P、M三點(diǎn)共線(xiàn)得，同理52,53,54為同一類(lèi)題（最佳觀畫(huà)位置問(wèn)題），現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線(xiàn)x=m上（m>k），則當(dāng)時(shí)，∠APB最大，其正弦值為。52.k=a,m=c∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF=b時(shí)取等號(hào)。53.k=,m=a∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PA=時(shí)取等號(hào)。54.k=,m=c∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF1=時(shí)取等號(hào)。55.設(shè)∠AF2x=，則當(dāng)且僅當(dāng)=90°時(shí)等號(hào)成立。56.（1）設(shè)，代入雙曲線(xiàn)方程得：∵AP=≠0∴AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57.由58可證。58.（1）易知PQ斜率為0和斜率不存在時(shí)，對(duì)任意x軸上點(diǎn)A都成立。設(shè)，A（m，0）代入雙曲線(xiàn)方程得：，則若，則（2）作P有關(guān)x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由（1）即證。59.同9。60.設(shè)，代入雙曲線(xiàn)方程得：，同理對(duì)傾斜角。當(dāng)a=b時(shí)，，，此時(shí)或。當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有關(guān)在上增至正無(wú)窮，在上單調(diào)減，在和之間先減后增，此時(shí)兩者異號(hào)。當(dāng)和時(shí)，當(dāng)為0或1時(shí)，有最小值。當(dāng)介于和之間時(shí)：等號(hào)成立時(shí)即。而故當(dāng)時(shí)，，最小值為。61,62,63為同一類(lèi)問(wèn)題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B距離之比，則P點(diǎn)軌跡為一種圓，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。下三個(gè)題比值均為，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。61.m=c，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64.設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點(diǎn)軌跡方程：65.同37。66.（1）同35。（2）由基本不等式（漸近線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），則梯形面積趨近于一種最小值。67.設(shè)AC交x軸于M，AD⊥于D。由雙曲線(xiàn)第二定義：∴AC過(guò)EF中點(diǎn)。68.（1）由17可知當(dāng)雙曲線(xiàn)方程為時(shí)，AB過(guò)定點(diǎn)。當(dāng)雙曲線(xiàn)方程變?yōu)闀r(shí)，雙曲線(xiàn)向右平移了個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向