期中模擬試題（四）（解析版）-教案課件-人教版高中數(shù)學必修第二冊

2020-2021學年高一數(shù)學下學期期中

模擬試題(四)

一.選擇題

51-i

1.已知復數(shù)2=—+——，則復數(shù)z對應的點在復平面內(nèi)位于

2+i1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

=2-z-z=2-2z,

二.復數(shù)z對應的點的坐標為(2,-2),在復平面內(nèi)位于第四象限.

故選D.

2.已知向量。4=(2,3),05=(4,-1),尸是線段AB的中點，則尸點的坐標是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由線段的中點公式可得OP」(OA+O8)=(3,1),故尸點的坐標是(3,1),

2

故選B.

6-2i

C.1+i

【答案】D

??6—2i—1—3z6—21

【解析】----=------+H--------=1—Z.

1+2，5

故選D.

1+z2021

4.設復數(shù)z=----------,則z的虛部是

2-z

【答案】A

(1+/)(2+/)

【解析】Mi(z=i±^=l±i==-+-i,

2-i2-i(2-0(2+?)55

.?.z的虛部是3.

5

故選A.

5.已知向量a,6滿足|萬|=2|a|=2,\2a-b\=2,則向量a,b的夾角為

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設向量a,b的夾角為d,

若|b|=2|a|=2,則出|=2,

若12"。|=2,貝ij(2a-履=4a2-4a-b+b2=8-8cos6>=4,

解可得cos。=!，

2

又由0。效R180°,故6=60。，

故選C.

6.已知。是AABC的重心，且A5=G，BC=2,則的值為

A.1B.1C.-J5D.6

【答案】A

【解析】設。是AC的中點，因為。是三角形的重心，

?211

所以80=380=3X5(84+8C)=1(BA+BC),AC=BC-BA,

LL1、I11221

所以，AC.BOBA).(BA+BC)=-(BC-BA)=-.

故選A.

7.已知。、匕為兩條不同直線a、夕為兩個不同的平面，給出以下四個命題:

①若a//。，bua,則a//a；

②若a//a,bua,貝!)a//〃；

③若a工B,aua,則〃_1/?；

④若a110,aua,bu0,則〃///?.

其中真命題的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】①若a//。，bua,則a//a；也可能aua,所以①不正確；

②若a//a,bua,則a//〃；也可能a與Z?是異面直線，所以②不正確；

③若a_L/?,aua,則〃J_/7；也可能〃///?,有可能是相交但不垂直，所以③不正確；

④若a//￡,aua,buB,則Q//5.也可能是異面直線，所以④不正確；

所以正確命題是0個.

故選A.

8.四面體A—5co中，AB=BC=3,ZABC=120°,DC=8,則四面體A—5co外

接球的表面積為

A.100萬B.50%C.25萬D.911

【答案】A

【解析】設AABC外接圓的圓心為。J四面體A-BCD外接球的球心為O,半徑為R,

連接O|C,。。1,OC,

由正弦定理可得一=2O,C,1

sinZBAC1

R=OC=QoQ+oo：=，不+32=5,

D

B

即四面體A-BCD外接球的表面積為S=4?X52二=100TT,

故選A.

二.多選題

9.AABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量口力滿足AB=2a,AC=2a+6,則下列結(jié)論正確的是

A.a是單位向量B.BC/lbC.a.b=lD.5C_L(4o+b)

【答案】ABD

【解析】A.|A8|=2,.?.由AB=2a得，|“|=四^=1,a是單位向量，該選項正確；

2

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BC//b,該選項正確；

2

一2--h

C.|AC|=2,|a|=1,.,.由AC=2a+6得，AC=4a2+4a~b+b2,BP4=4+4a?b+b2,a?b=-*1,

4

該選項錯誤；

D.BC=b,由上面得，BC.(4a+b)=b-(4a+b)=4a-b+b2=Q,BC±(4?+Z?),該選項正確.

故選ABD.

10.在AAfiC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.若6=。＜：054,角A的角平分線交BC于點

D,AD=1,cosA=-,以下結(jié)論正確的是

8

3

A.AC=-B.AB=8

4

C.—=-D.AABD的面積為地

BD84

【答案】ACD

【解析】因為Z?=ccosA,

由正弦定理可得，sinB=sinCcosA=sin(A+C),

所以sinAcosC=0,

因為sinAwO,

所以cosC=0即C=—7i，

2

1/AC

——cosA-,

8AB

由角平分線定理可得，

ABBD8

設AC=x,AB=8x,貝I」3C=3伍，CD=—x,

3

RtAACD中，由勾股定理可得，x2+(y^x)2=1,

解可得X=—,gpAC=~,AB=6,

44

-x，6金色!

.24832

3幣

所以

~T~

故選ACD.

11.如圖，在長方體ABC?！狝gGA中，A&=A5=4,BC=2,M,N分別為棱G2，CC1的中

點，則下列說法正確的是

A.A、M,N、8四點共面B.直線BN與MM所成角的為60。

C.BN//平面D.平面AD暇_L平面CDRG

【答案】BD

【解析】對于A，A、B、M在平面ABG2內(nèi)，N在平面ABCQ］外，故A錯誤；

對于3,如圖，取CD中點E,連接BE,NE,可得8￡7/耳M,NEBN為直線3N與與M所成角,

由題意可得ABEN為邊長為20的等邊三角形，則N匹N=60。，故3正確；

對于C,若8N//平面ADN,又3C//平面ADA/,則平面//平面ADAf,

而平面BCG耳//平面ADQA,矛盾，故C錯誤；

對于。，在長方體ABCD-ABIGR中，AD_L平面C￡>2G，ADu平面ADM,.?.平面M!M_L平面

CDDG,故。正確.

故選BD.

12.在棱長為2的正方體ABCD-A4G2中，E,P分別為45,AA的中點，則（）

A.BDVB.C

B.EF//平面

C.AC]_L平面BQC

D.過直線EF且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為0

【答案】BC

【解析】對于A,4C//A。，，幺加是與片C所成角（或所成角）的補角，

.?.幺￡>8=60。，；.應?與瓦C不垂直，故A錯誤；

對于3,取AD中點G,連接FG,EG,則EG/ABD,FG//BBl,

EG（FG=G,BDrBB[=B,平面EFG//平面,

EFu平面EFG,;.￡F//平面￡>48,故3正確；

對于C,A1ci工BQ,A4,_L耳AC/AA]=A，

AC、A4,u平面A41ci，

.?.42_L平面MG,ACjU平面A4G，AC{±BjD,,

同理AC】_L4C,

BR\BiC=Bl,BR、B]Cu平面耳AC,

.1AG_L平面&RC,故C正確；

對于。，取A4中點“，連接F"、EH,

則FW/ABQ,GF11BB、,

FHGF=F,BtDtBBt=B1,平面EHFG//平面BBQQ,

BDt<=平面BBRD,。u平面EHFG,

過直線EF且與直線BD,平行的平面截該正方體所得截面為矩形EHFG,

GF=2,+4=應,

22

過直線EF且與直線83平行的平面截該正方體所得截面面積為S=2應，故。錯誤.

故選：BC.

三.填空題

13.已知向量a,若向量6與。反向，且|6|=2,則向量b的坐標是,

【答案】(-1,6)

【解析】因為：向量a=d

.14]=1,

向量6與。反向，且|b|=2

b=-2cz—(-1,1\/3).

故答案為：(-1,百).

14.已知，虛數(shù)單位，若復數(shù)z=j(“eR)的虛部為-3,則|z|=

1+Z

【答案】A/13

1-ai(l-a?)(l-Q1—ai—i+ai2(1—Q)—(1—Q)11—ci1+6z.

【解析】1

1+z(1+z)(l—z)1^7-2一~22-

復數(shù)z=匕絲(aeR)的虛部為-3,

1+1

..._l±￡=-3,解得a=5,

2

/.z=-2—3i9

.'.|z|=7(-2)2+(-3)2=7i3.

故答案為：A/13.

15.已知單位向量°、b的夾角為120。，妨+萬與垂直，則左=.

【答案】-

5

【解析】根據(jù)題意，單位向量〃、b的夾角為120。，則Q.A=—工，

2

k

若3+。與2〃一。垂直，貝!J(%+b)-(2a-b)=2k-l+--l=09

解可得：k=—,

5

故答案為：

5

16.已知三棱錐A—3CD中，AB=AC=AD=BC=BD=2?s/2,側(cè)棱AB與底面BCD所成的角為45。，則

該三棱錐的體積為.

【答案】-

3

【解析】如圖，三棱錐4一38中，AB=AC=AD=BC=BD=2?五,側(cè)棱AB與底面BCD所成的角為

45°,

A射影在底面3co上的射影在NCBD的平分線上，可得棱錐的高為：20xsin45o=2,所以相＞,AC與

底面所成角也是45。，A在底面的射影是底面三角形的外心，外接圓的半徑為2,所以射影點為E,是CD

的中點，則ACBD是等腰直角三角形，

所以該三棱錐的體積為：1X1X2A/2X2A/2X2--.

323

故答案為：--

四.解答題

17.已知復數(shù)2=%期0是虛數(shù)單位），加eR.

1+Z

（I）若Z是純虛數(shù)，求7"的值;

（II）若復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求機的取值范圍.

333

【答案】⑴(2)

222

【解析】(I)復數(shù)z.6-?一(6-4〃4)(1-i)_6-4mi—6i+4m尸

=3—2m—(2m+3)z，

1+Z(1+z)(l—z)2

Z是純虛數(shù),

3一2'"=°,解得機=3

2m+3w02

m的值為』.

2

（II）-復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點（3-2m,-2〃?-3）位于第四象限,

5解得一33

—<m<—,

22

.?.加的取值范圍是（-3,3）.

22

18.已知復數(shù)z的共軌復數(shù)是7,i是虛數(shù)單位，且滿足z+2彳=出

1+Z

（1）求復數(shù)Z；

（2）若復數(shù)z（2-加）在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)z=1+2z；(2)(—1,4).

【解析】（1）設復數(shù)z=x+yi（尤,yeR）,則彳=%一9，

于是尤+yi+2(x—yi)=°+')&~~—,BP3x-yz=3-2/,

(l+O(l-z)

:;二2'解得X=1

y=2

故z=l+2i；

(2)由(1)得，z(2-mi)=(1+21)(2-mi)=(2+2m)+(4-rri)i,

由于復數(shù)z（2-〃zi）在復平面內(nèi)對應的點在第一象限,

2+2m>05,口

，解得—1vmv4.

4-m>0

/.實數(shù)根的取值范圍是(-1,4).

19.平面內(nèi)給定三個向量&=(3,2),〃=(0,2),c=(4,1)

(1)求|

(2)若(。+左)//(2〃-/?),求實數(shù)左的值.

【答案】⑴5；(2)3.

【解析】(1)。+6=(3,4)「.(〃+力/=32+42=25「.|a+切=5;

(2)由a+fa;=(3+4k,2+左)，2a-b=(6,2)

而(〃+kc)//(2a一b),

「.6+8左=12+6左，

二.左=3.

20.已知a,b,c分別是AABC中角A,B,。的對邊，且sii?A+sii?C—sir？5=sinAsinC.

(1)求角5的大?。?/p>

(2)若c=4a,求tanA的值.

【答案】(1)B=~；(2)且.

37

【解析】(1)因為sin?A+sin?。-sin?6=sinAsinC,由正弦定理得：a2+c2-b2=ac,

由余弦定理得COSB="+C2-"=&=2,

2ac2ac2

又3w(0,?),所以3二二.

3

(2)-c=4a,由正弦定理，得sinC=4sinA,

且3=?,/.sin(g+A)=4sinA,

.7171.

/.sin—cosA+cos—sinA=4sinA,

33

整理得：^-cosA=—sinA,WtanA==2/E.

22cosA7

21.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形MCD為菱形，PA=AB=2,PB=2?,ZABC=60°,且平

面R4C_L平面ABCD.

(1)證明：Q4_L平面ABCD；

(2)若M是尸。上一點，且瀏/_LPC,求三棱錐5CD的體積.

p

M

【答案】（1）答案見解析；（2）B.

6

【解析】（1）證明：四邊形4JCD為菱形，」.BDJLAC.

:平面B1C_L平面ABCD,平面上4CC平面ABCD=AC,BDu平面ABCD,

平面PAC.

E4u平面R4C,PA^BD.

又\PA=AB=2,PB=2垃,..PA2+AB2^PB2,^PALAB.

又?AB,3￡>u平