高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 2.4函數(shù)的奇偶性與周期性講解與練習(xí) 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第四節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性)[備考方向要明了]考什么怎么考1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.1.高考對(duì)函數(shù)奇偶性的考查有兩個(gè)方面：一是函數(shù)奇偶性概念的應(yīng)用，一般為求參數(shù)或求值，如年上海T9等，屬于容易題；二是綜合考查函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等)，如年陜西T2，福建T7等．2.高考對(duì)函數(shù)周期性的考查，題型主要以選擇題或填空的形式出現(xiàn)，常涉及函數(shù)求值問題，且與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性相結(jié)合命題，如年山東T8等.[歸納·知識(shí)整合]1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱[探究]1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域具有什么特點(diǎn)？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？提示：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，必要不充分條件．2．若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，是否有f(0)＝0？如果是偶函數(shù)呢？提示：如果f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(0)＝－f(0)，則f(0)＝0；如果f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(0)不一定為0，如f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若有，有多少個(gè)？提示：存在，如f(x)＝0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集，這樣的函數(shù)有無窮多個(gè)．2．周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．4.若T為y＝f(x)的一個(gè)周期，那么nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期嗎？提示：不一定．由周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期是非零常數(shù)，當(dāng)n∈Z且n≠0時(shí)，nT是f(x)的一個(gè)周期．[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)下列函數(shù)是奇函數(shù)的有()①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝eq\f(x2＋1,x)；④f(x)＝x3＋1.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選B首先確定這四個(gè)函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后由奇函數(shù)的定義逐個(gè)判斷可知，②③為奇函數(shù)．2．(·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)解析：選A∵函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，F(xiàn)(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．故F(x)為偶函數(shù)．即f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)．3．設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x(1－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：選A∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).4．(·重慶高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a為二次函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(a－4,2)，因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－eq\f(a－4,2)＝0，解得a＝4.答案：45．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝lgx，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是________．解析：∵當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝lgx，∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>0.又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)<0.∴滿足f(x)>0的x的取值范圍是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)判斷函數(shù)的奇偶性[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(3)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x)).[自主解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x＝－eq\r(3)或x＝eq\r(3).∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－eq\r(3)，eq\r(3)}．又∵對(duì)任意的x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，－x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))∴－2≤x≤2且x≠0.∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵x＋3>0，∴f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x).又f(－x)＝eq\f(\r(4－－x2),－x)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1.∵f(x)的定義域(－1,1]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．若將本例(1)改為“f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)”，試判斷其奇偶性．解：∵函數(shù)f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．———————————————————判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可用下述方法進(jìn)行判斷：①定義判斷：f(－x)＝f(x)?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù)．②等價(jià)形式判斷：f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù)．或等價(jià)于eq\f(f－x,fx)＝1，則f(x)為偶函數(shù)；eq\f(f－x,fx)＝－1，則f(x)為奇函數(shù)．(3)對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性的判斷應(yīng)分段進(jìn)行．(4)對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，應(yīng)充分利用定義，巧妙賦值，通過合理、靈活地變形配湊來判定．1．判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋xx>0，,x2－xx<0；))(3)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x2－2|－2).解：(1)由eq\f(1－x,1＋x)>0?－1<x<1，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，故原函數(shù)是奇函數(shù)．(2)函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x2－2|－2≠0，))得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x2－2－2)＝－eq\f(lg1－x2,x2).∵f(－x)＝－eq\f(lg[1－－x2],－x2)＝－eq\f(lg1－x2,x2)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).函數(shù)奇偶性的應(yīng)用[例2](1)(·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.(2)(·新課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.[自主解答](1)令H(x)＝f(x)＋x2，則H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，則f(－1)＝－3，故g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.(2)將函數(shù)化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的奇偶性求解．f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，設(shè)g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，則g(－x)＝－g(x)，因此g(x)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，則M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.[答案](1)－1(2)2———————————————————與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解決方法(1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．3已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值,常常利用待定系數(shù)法：利用fx±f－x＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程求解.4應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性,利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.2．(1)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是奇函數(shù)，在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)<f(1)，則()A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)解析：(1)選A因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)選A函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函數(shù)在區(qū)間[0,5]上是減函數(shù)．由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是減函數(shù)．選項(xiàng)A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．選項(xiàng)B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．同理選項(xiàng)C中f(－1)>f(1)，選項(xiàng)D中f(－3)<f(－5).函數(shù)的周期性及其應(yīng)用[例3](1)(·山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當(dāng)－3≤x<－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時(shí)，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335 B．338C．1678 D．2012(2)(·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x＜0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則a＋3b的值為________．[自主解答](1)由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，且f(－1)＝f(1)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，從而eq\f(\f(1,2)b＋2,\f(1,2)＋1)＝－eq\f(1,2)a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.[答案](1)B(2)－10———————————————————函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．3．(1)(·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6))的值為()A．－eq\f(5,2) B．－5C．－eq\f(1,2) D．－6(2)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)解析：(1)選C∵－3<log6<－2，∴－1<log6＋2<0，即－1<logeq\f(3,2)<0.∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，∴f(log6)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－1))＝－eq\f(1,2).(2)選D由f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù)．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期．結(jié)合以上性質(zhì)，模擬畫出f(x)部分圖象的變化趨勢(shì)，如下圖．由圖象可以觀察出，f(x)在[1,2]上為減函數(shù)，在[2,3]上為增函數(shù)．2個(gè)特點(diǎn)——奇、偶函數(shù)的定義域及關(guān)系式的特點(diǎn)(1)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．5個(gè)性質(zhì)——函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0，則必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件．(4)定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”．(5)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，奇×偶＝奇．3種方法——函數(shù)奇偶性的判斷方法判斷函數(shù)的奇偶性一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法．3條結(jié)論——關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論(1)若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期(a≠0)；(2)若滿足f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝eq\f(1,fx＋a)＝f(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期(a≠0)；(3)若函數(shù)滿足f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，同理可得2a是函數(shù)的一個(gè)周期(a≠0).創(chuàng)新交匯——與奇偶性、周期性有關(guān)的交匯問題1．函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．2．根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(－x)與f(x)的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(x＋T)與f(x)的關(guān)系，它們都與f(x)有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到．函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時(shí)，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題．[典例](·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．5 B．6C．7 D．8[解析]由題意知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函數(shù)圖象，如圖．由圖可知函數(shù)y＝g(x)，y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故h(x)＝g(x)－f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零點(diǎn)有6個(gè)．[答案]Beq\a\vs4\al([名師點(diǎn)評(píng)])1．本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題方式創(chuàng)新：本題是以數(shù)學(xué)符號(hào)語言交代了函數(shù)f(x)的奇偶性及周期性，考查了自然語言與符號(hào)語言轉(zhuǎn)化的能力．(2)考查內(nèi)容創(chuàng)新：本題考查冪函數(shù)、三角函數(shù)及函數(shù)的交匯零點(diǎn)，且將數(shù)形結(jié)合思想融會(huì)其中，較好地考查了探究能力和邏輯推理能力．(3)解題方法創(chuàng)新：本題也可以通過巧妙轉(zhuǎn)化，將x3＝xcosπx轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)與周期函數(shù)間的關(guān)系，即x>0時(shí)，x2＝|cosπx|而使問題得以簡(jiǎn)單解決．2．解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)(1)正確識(shí)別函數(shù)f(x)的性質(zhì)；(2)注意到x＝0是函數(shù)h(x)的一個(gè)零點(diǎn)，此處極易被忽視；(3)正確畫出函數(shù)的圖象，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])1．(·衡陽六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2011)＋f(2012)＝()A．1＋log23 B．－1＋log23C．－1 D．1解析：選C∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，∴f(－2011)＝f(2011)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)是以4為周期的函數(shù)．注意到2011＝4×502＋3,2012＝4×503，∴f(2011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2012)＝f(0)＝log21＝0.∴f(－2011)＋f(2012)＝－1.2．(·朝陽模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2.若直線y＝x＋a與函數(shù)y＝f(x)的圖象在[0,2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是()A．0 B．0或－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)或－eq\f(1,2) D．0或－eq\f(1,4)解析：選D∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.又0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，可畫出函數(shù)y＝f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖．顯然a＝0時(shí)，y＝x與y＝x2在[0,2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．另當(dāng)直線y＝x＋a與y＝x2(0≤x≤1)相切時(shí)也恰有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，由題意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝eq\f(1,2).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，又A點(diǎn)在y＝x＋a上，∴a＝－eq\f(1,4)，綜上可知a＝0或－eq\f(1,4).一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(·陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|解析：選D由函數(shù)的奇偶性排除A，由函數(shù)的單調(diào)性排除B、C，由y＝x|x|的圖象可知當(dāng)x≥0時(shí)此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)．2．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：選A由題意，f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，則f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.3．設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式eq\f(fx＋f－x,x)>0的解集為()A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)解析：選B∵f(x)為偶函數(shù)，∴eq\f(fx＋f－x,x)＝eq\f(2fx,x)>0，∴xf(x)>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx<0.))又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))則該函數(shù)是()A．偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減解析：選C當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，對(duì)任意x∈R，均有eq\a\vs4\al(f－x)＋f(x)＝0，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．5．(·廣州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：選D由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)<f(11)．6．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：選Cf(x)的圖象如圖．當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，由xf(x)<0得x∈?；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝________，b＝________.解析：因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3).又函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0.答案：eq\f(1,3)08．若偶函數(shù)y＝f(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，則f(－6)等于________．解析：∵y＝f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－19．(·徐州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為3的奇函數(shù)，若f(1)<1，f(2)＝eq\f(2a－1,a＋1)，則a的取值范圍是________．解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期為3，∴f(－1)＝f(2)＝eq\f(2a－1,a＋1)>－1.即eq\f(3a,a＋1)>0，解得a>0或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．函數(shù)y＝f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等式f(xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0的解集．解：∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，若f(xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0＝f(1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>0，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<1，))即0<xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<1，解得eq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<x<0.f(xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0＝f(－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<－1.))∴xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<－1，解得x∈?.∴原不等式的解集是xeq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<x<0.11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常數(shù)a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．故f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常數(shù)a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)設(shè)2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)，必須f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，∴x1x2(x1＋x2)－a>0，即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范圍是(－∞，16]．12．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則－1≤x≤0時(shí)f(x)＝x，則f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．1．若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為R，則A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)解析：選D∵f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)．2．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)等于()A．ex－e－x B.eq\f(1,2)(ex＋e－x)C.eq\f(1,2)(e－x－ex) D.eq\f(1,2)(ex－e－x)解析：選D∵f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又∵f(x)＋g(x)＝ex，∴g(x)＝eq\f(ex－e－x,2).3．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選B∵f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)，且0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝0有兩個(gè)根，即x1＝0，x2＝1.由周期函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)2≤x<4時(shí)，f(x)＝0有兩個(gè)根，