高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)講解與練習(xí) 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù))[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．1.考查形式為選擇題或填空題．2.三角函數(shù)的定義與三角恒等變換等相結(jié)合，考查三角函數(shù)求值問題，如年新課標(biāo)全國T5等．3.三角函數(shù)的定義與向量等知識(shí)相結(jié)合，考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，如年山東T16等.[歸納·知識(shí)整合]1．角的有關(guān)概念角的特點(diǎn)角的分類從運(yùn)動(dòng)的角度看角可分為正角、負(fù)角和零角從終邊位置來看可分為象限角和軸線角α與β角的終邊相同β＝α＋k·360°(k∈Z)(或β＝α＋k·2π，k∈Z)[探究]1.終邊相同的角相等嗎？它們的大小有什么關(guān)系？提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍，相等的角終邊一定相同．2．銳角是第一象限角，第一象限角是銳角嗎？小于90°的角是銳角嗎？提示：銳角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是銳角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是銳角，如0°，－30°都不是銳角．2．弧度的概念與公式在半徑為r的圓中分類定義(公式)1弧度的角把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r23．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ正正正Ⅱ正負(fù)負(fù)Ⅲ負(fù)負(fù)正Ⅳ負(fù)正負(fù)口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線[探究]3.三角函數(shù)線的長度及方向各有什么意義？提示：三角函數(shù)線的長度表示三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：選C∵eq\f(9,4)π＝eq\f(9,4)×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴與eq\f(9,4)π終邊相同的角可表示為k·360°－315°(k∈Z)．2．(教材習(xí)題改編)若角θ同時(shí)滿足sinθ＜0且tanθ＜0，則角θ的終邊一定落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D由sinθ＜0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ＜0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只能位于第四象限．3．已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：選C設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)l·r＝2，))解之得l＝r＝2或r＝1，l＝4，故圓心角θ＝1或4.4．(教材習(xí)題改編)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則x的值為________．解析：∵cosα＝eq\f(－x,\r(－x2＋－62))＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,\f(x2,x2＋36)＝\f(25,169)，))解之得x＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)5．若點(diǎn)P在角eq\f(2π,3)的終邊上，且|OP|＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．解析：∵角eq\f(2,3)π的終邊落在第二象限，∴可設(shè)P(x，y)，其中x＜0，y＞0，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝cos\f(2,3)π，,\f(y,2)＝sin\f(2,3)π，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\r(3)，))∴P(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))象限角及終邊相同的角[例1](1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角；(3)已知角α為第三象限角，試確定2α的終邊所在的象限．[自主解答](1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依題意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)＜2π?－eq\f(3,7)≤k＜eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸．在(3)的條件下，判斷eq\f(α,2)為第幾象限角？解：∵π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，eq\f(π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3,4)π＋2nπ，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，eq\f(3,2)π＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(7,4)π＋2nπ，∴eq\f(α,2)為第二或第四象限角．———————————————————1．由α所在的象限，確定eq\f(α,n)所在象限的方法(1)由角α的范圍，求出eq\f(α,n)所在的范圍；(2)通過分類討論把角寫成θ＋k·360°(k∈Z)的形式，然后判斷eq\f(α,n)所在象限．2．已知三角函數(shù)式的符號(hào)判斷角所在的象限可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再判斷角所在的象限．1．(1)已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(|cosθ|,cosθ)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3(2)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：(1)選B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同角的概念知，α的終邊在第四象限，又θ與α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.(2)選B∵點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))∴α是第二象限角.三角函數(shù)的定義[例2]已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．[自主解答]∵由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點(diǎn))，得r＝eq\r(3＋m2).從而sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，于是3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).當(dāng)m＝eq\r(5)時(shí)，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，∴cosα＝－eq\f(\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時(shí)，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).———————————————————利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：①角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；②縱坐標(biāo)y；③該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)．2．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|.當(dāng)t＞0時(shí)，即x>0時(shí)，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t＜0時(shí)，即x<0時(shí)，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，當(dāng)角α的終邊在直線3x＋4y＝0的x>0部分時(shí)，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；當(dāng)角α的終邊在直線3x＋4y＝0的x<0部分時(shí)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).弧度制下扇形弧長與面積公式的應(yīng)用[例3]已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．[自主解答](1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l(xiāng)＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.(2)∵扇形的周長20，∴2R＋l＝20，即2R＋Rα＝20，∴S＝eq\f(1,2)R2α＝eq\f(1,2)R(20－2R)＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25，∴當(dāng)R＝5時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)α＝eq\f(20－10,5)＝2，即α＝2弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大．(3)S弓形＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×4×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，即弓形的面積為eq\f(2π,3)－eq\r(3)cm2.若將本例(1)中的“R＝10cm”改為“扇形的弦AB＝10eq\r(2)cm”求扇形的弧長l.解：由題意得eq\f(5\r(2),R)＝sin30°，即R＝10eq\r(2)，故弧長l＝Rα＝10eq\r(2)×eq\f(π,3)＝eq\f(10\r(2)π,3)cm.———————————————————弧度制的應(yīng)用(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．記住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，α(0＜α＜2π)為圓心角，S是扇形面積．3．已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10，(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大?。?2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)如圖所示，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則AC＝5，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝eq\f(π,3)，∴l(xiāng)＝|α|r＝eq\f(10π,3).S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).又S△AOB＝eq\f(1,2)×10×10sineq\f(π,3)＝25eq\r(3)，∴S弓形＝S扇－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).1條規(guī)律——三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2個(gè)技巧——三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)，|OP|＝r一定是正值．(2)在解簡單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧．4個(gè)注意點(diǎn)——理解角的概念、弧度制及三角函數(shù)線應(yīng)注意的問題(1)第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．(2)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(3)要熟記0°～360°間特殊角的弧度表示．(4)要注意三角函數(shù)線是有向線段.創(chuàng)新交匯——三角函數(shù)的定義與向量的交匯問題三角函數(shù)的概念是考查三角函數(shù)的重要工具，在高考命題中很少單獨(dú)考查，常結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、三角恒等變換和向量等知識(shí)綜合考查，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大．[典例](·山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為________．[解析]因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣?。?，即∠PCA＝2，則∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，CB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以＝(2－sin2，1－cos2)．[答案](2－sin2,1－cos2)eq\a\vs4\al([名師點(diǎn)評(píng)])1．本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)本題考查三角函數(shù)與向量的知識(shí)，表面看似向量問題，其實(shí)質(zhì)是考查三角函數(shù)的概念問題．(2)通過靜止問題解決動(dòng)態(tài)問題，考查了考生處理變與不變的能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力．2．解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)(1)正確理解圓的滾動(dòng)過程，確定圓心C的坐標(biāo)；(2)正確作出輔助線，并求得BP與BC的長度；(3)正確應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])1．(·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(3π,4)后得向量，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2)) B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))C．(－4eq\r(6)，－2) D．(－4eq\r(6)，2)解析：選A設(shè)從x軸正方向逆時(shí)針到向量的角為α，則從x軸的正方向逆時(shí)針到向量的夾角為α＋eq\f(3,4)π，這里cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).設(shè)Q坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)三角函數(shù)的定義x＝10coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,4)π))＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－7eq\r(2)，y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,4)π))＝－eq\r(2)，即Q(－7eq\r(2)，－eq\r(2))．2．如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致為()解析：選C如圖取AP的中點(diǎn)為D.設(shè)∠DOA＝θ，則d＝2sinθ，l＝2θ，故d＝2sineq\f(l,2).一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()A．第一或第三象限 B．在第一或第二象限C．第二或第四象限 D．在第三或第四象限解析：選A當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，α的終邊與45°角的終邊相同，是第一象限角平分線；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，α的終邊與45°角的終邊在同一條直線上，是第三象限角平分線．2．點(diǎn)A(sin2013°，cos2013°)在直角坐標(biāo)平面上位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C由2013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2013°角的終邊在第三象限，所以sin2013°＜0，cos2013°＜0，即點(diǎn)A位于第三象限．3．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：選A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限內(nèi)或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))即－2＜a≤3.4．若α是第三象限角，則y＝的值為()A．0 B．2C．－2 D．2或－2解析：選A由于α是第三象限角，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，當(dāng)eq\f(α,2)是第二象限角時(shí)，y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(－cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝1－1＝0；當(dāng)eq\f(α,2)是第四象限角時(shí)，y＝eq\f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝－1＋1＝0.5．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：選A由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).6．已知扇形的周長是4cm，則扇形面積最大時(shí)，扇形的中心角的弧度數(shù)是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．3解析：選A設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝4，面積S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故當(dāng)r＝1時(shí)S最大，這時(shí)l＝4－2r＝2.從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．若點(diǎn)P(x，y)是300°角終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則eq\f(y,x)的值為________．解析：eq\f(y,x)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)8．(·遼源模擬)若三角形的兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形為________．解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的兩個(gè)內(nèi)角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β為鈍角．故三角形為鈍角三角形．答案：鈍角三角形9．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為________．解析：∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m＞0，∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝±eq\f(1,2).∵m＞0，∴m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求α的三角函數(shù)值．解：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴－1<cosθ<0.∴r＝eq\r(9cos2θ＋16cos2θ)＝－5cosθ，故sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).11．一個(gè)扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解：設(shè)圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))則圓心角α＝eq\f(l,r)＝2.如圖，過O作OH⊥AB于H.則∠AOH＝1，故AH＝1·sin1＝sin1cm，故AB＝2sin1cm.12．角α終邊上的點(diǎn)P與A(a,2a)關(guān)于x軸對(duì)稱(a＞0)，角β終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．解：由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，a)．所以，sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝eq\f(－2,\r(5))·eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))·eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.1．(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；(2)在0°～720°的范圍內(nèi)，找出與eq\f(2π,5)終邊相同的角．解：(1)∵－1480°＝－1480°×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(74π,9)rad，又－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)＝－5×2π＋eq\f(16π,9)，故－1480°＝eq\f(16π,9)＋(－5)×2π.(2)∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴終邊與eq\f(2π,5)相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，θ＝72°；當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝432°，∴在0°～720°的范圍內(nèi)，與eq\f(2π,5)終邊相同的角為72°，432°.2．(1)如果點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象