高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 7.6空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系講解與練習(xí) 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第六節(jié)空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系)[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置．2.會推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式．3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．4.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.1.高考對于空間直角坐標(biāo)系的考查，一般是點(diǎn)的坐標(biāo)的求解、距離的計算等，且多滲透到解答題中，難度不大，如年新課標(biāo)全國T19、江西T19等都滲透對空間直角坐標(biāo)系的考查．2.數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用是高考對本節(jié)考查的熱點(diǎn)，主要利用向量法證明共線、共面、平行、垂直等，一般體現(xiàn)在解答題中，如年天津T17，新課標(biāo)全國T19等.[歸納·知識整合]1．空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系名稱內(nèi)容空間直角坐標(biāo)系以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn)，具有相同的單位長度，給定正方向，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系O－xyz.坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐標(biāo)平面通過每兩個坐標(biāo)軸的平面(2)右手直角坐標(biāo)系的含義：當(dāng)右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向時，中指指向z軸的正方向．(3)空間中點(diǎn)M的坐標(biāo)：空間中點(diǎn)M的坐標(biāo)常用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)．建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M和有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．[探究]1.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面把空間分成幾部分？坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？提示：空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面將空間分成8部分．坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是另外兩個坐標(biāo)均為零．2．空間兩點(diǎn)間的距離(1)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).特別地，點(diǎn)P(x，y，z)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為|OP|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空間中兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).3．空間向量的概念及運(yùn)算空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同．加減運(yùn)算遵循三角形或平行四邊形法則；數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算相同；坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，僅多出了一個豎坐標(biāo)．4．空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．5．兩個向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則角∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．通常規(guī)定0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱向量a，b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：①a·e＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b?a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交換律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．[探究]2.對于實數(shù)a，b，若ab＝0，則一定有a＝0或b＝0，而對于向量a，b，若a·b＝0，則一定有a＝0或b＝0嗎？提示：不一定．因為當(dāng)a≠0且b≠0時，若a⊥b，也有a·b＝0.3．對于非零向量b，由a·b＝b·c?a＝c，這一運(yùn)算是否成立？提示：不成立．根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，a·b＝b·c說明a在b方向上的射影與c在b方向上的射影相等，而不是a＝c.6．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a(chǎn)＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.a⊥b?a1b2＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))＋\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．[自測·牛刀小試]1．點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是()A．y軸上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．x軸上解析：選C由于點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，故這樣的點(diǎn)在xOz平面上．2．如圖所示，正方體的棱長為1，M是所在棱上的中點(diǎn)，N是所在棱上的四分之一分點(diǎn)，則M、N之間的距離為________．解析：由條件知，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1，0))，故||＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))2＋0－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))2)＝eq\f(\r(29),4).答案：eq\f(\r(29),4)3．(教材習(xí)題改編)已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，λ，－1)．若a⊥b，則λ＝________.解析：∵a⊥b，∴(－3)×1＋2λ＋5×(－1)＝0，∴λ＝4.答案：44．(教材習(xí)題改編)在空間四邊形ABCD中，G為CD的中點(diǎn)，則＋eq\f(1,2)(＋)＝________.解析：依題意有＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)×2＝＋＝.答案：5．已知四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)D(x，y，z)，＝(－2，－6，－2)，＝(c－x，7－y，－5－z)，由＝，得－x＝－2,7－y＝－6，－5－z＝－2，即x＝2，y＝13，z＝－3，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,13，－3)．答案：(2,13，－3)空間中兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用[例1]已知點(diǎn)M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)線段MN的長度；(2)到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件．[自主解答](1)根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得線段MN的長度MN＝eq\r(3－12＋2－02＋1－52)＝2eq\r(6)，所以線段MN的長度為2eq\r(6).(2)因為點(diǎn)P(x，y，z)到M，N的距離相等，所以有eq\r(x－32＋y－22＋z－12)＝eq\r(x－12＋y－02＋z－52)，化簡得x＋y－2z＋3＝0，因此，到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件是x＋y－2z＋3＝0.———————————————————求解空間距離的關(guān)鍵點(diǎn)解決空間中的距離問題就是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入距離公式計算，其中確定點(diǎn)的坐標(biāo)或合理設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．若求滿足某一條件的點(diǎn)，要先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再建立方程或方程組求解．1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，求|MN|.解：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴N(1,0,2)，M(1,1,1)，∴|MN|＝eq\r(1－12＋0－12＋2－12)＝eq\r(2).空間向量的線性運(yùn)算[例2](1)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．①化簡－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝________；②用，，表示，則＝________.(2)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)．計算2a＋3b,3a－2b的值．[自主解答](1)①－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(＋)＝－＝＋＝.②＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)，∴＝＋＝eq\f(1,2)(＋)＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋.(2)解：2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)＋(4,2,16)＝(13,17,4)．[答案](1)①②eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋本例中(1)條件不變，結(jié)論改為：設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且＝eq\f(2,3)，若＝x＋y＋z，試求x，y，z的值．解：＝＋＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(2,3)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，由條件知，x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).———————————————————用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量時，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來．2.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，向量＝a，＝b，＝c，若M為BC中點(diǎn)，G為△BCD的重心，試用a、b、c表示下列向量：(1)；(2).解：(1)在△ADM中，＝＋，由線段中點(diǎn)的向量表示知＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a＋b)，由相反向量的概念知＝－＝－c.所以＝＋＝eq\f(1,2)(a＋b)－c＝eq\f(1,2)(a＋b－2c)；(2)由三角形重心的性質(zhì)，得＝＋＝c＋eq\f(2,3)＝c＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))＝c＋eq\f(1,3)(－＋－)＝c＋eq\f(1,3)(a＋b－2c)＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．共線、共面向量定理的應(yīng)用[例3]已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量法證明：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.[自主解答](1)連接BG，則＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面．(2)因為＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.———————————————————應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面＝λ且同過點(diǎn)P＝x＋y對空間任一點(diǎn)O，＝＋t對空間任一點(diǎn)O，＝＋x＋y對空間任一點(diǎn)O，＝x＋(1－x)對空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋(1－x－y)3．證明三個向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．證明：若e1，e2，e3共面，顯然a，b，c共面；若e1，e2，e3不共面，設(shè)c＝λa＋ub，即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋u(4e1－6e2＋2e3)，整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4u－λ)e1＋(3λ－6u)e2＋(2λ＋2u)e3.由空間向量基本定理可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4u－λ＝－3，,3λ－6u＝12，,2λ＋2u＝11，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,u＝\f(1,2)，))即c＝5a＋eq\f(1,2)b，則三個向量共面.空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用[例4]如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；(3)求證：A1B⊥C1M.[自主解答](1)||2＝·＝(＋)·(＋)＝||2＋||2＋2·＝2＋1＝3，∴||＝eq\r(3).(2)∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝eq\r(2)·1·cos135°＋0＋0＋4＝3，又∵||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2＝2＋0＋4＝6，∴||＝eq\r(6).又∵||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2＝1＋0＋4＝5，∴||＝eq\r(5).∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(3,\r(6)·\r(5))＝eq\f(\r(30),10)，∴異面直線BA1與CB1所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).(3)證明：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋1·eq\r(2)·cos135°＋eq\r(2)·eq\f(\r(2),2)·cos0°＝0.∴⊥，∴A1B⊥C1M.———————————————————空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角．設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角；(2)求長度(距離)．運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題；(3)解決垂直問題．利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題．4．已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．設(shè)a＝，b＝，(1)求a和b的夾角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．解：∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a＝，b＝，∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．(1)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1＋0＋0,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10)，∴a和b的夾角θ的余弦值為－eq\f(\r(10),10).(2)∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0.則k＝－eq\f(5,2)或k＝2.2個原則——建立空間直角坐標(biāo)系的原則(1)合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特別是面面垂直；(2)盡可能地讓相關(guān)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上．1個方法——利用向量法求解立體幾何問題的一般方法利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題．在這里，恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運(yùn)算簡捷，或者是建立空間直角坐標(biāo)系，使立體幾何問題成為代數(shù)問題．另外，熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的基礎(chǔ)．1個注意點(diǎn)——空間向量數(shù)量積計算的一個注意點(diǎn)空間向量的數(shù)量積的計算要充分利用向量所在圖形，巧妙地進(jìn)行向量的分解與合成，分解時并不是漫無目的的，而要充分利用圖形的特點(diǎn)及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量.創(chuàng)新交匯——空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用問題1．此類問題通常與立體幾何中的位置關(guān)系、距離等交匯命題來考查，考查利用向量方法證明平行、垂直以及求距離、空間角等問題．2．求解上述問題的突破口是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把位置關(guān)系與對應(yīng)向量之間的關(guān)系弄清楚，把空間位置關(guān)系翻譯成向量的運(yùn)算關(guān)系，通過向量的運(yùn)算解答問題．[典例]如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.證明：AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形．∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).設(shè)D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴·＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，∴⊥，即AE⊥CD.(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又·＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，∴⊥，即PD⊥AE.∵＝(1,0,0)，∴·＝0.∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.法二：＝(1,0,0)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，設(shè)平面ABE的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，則z＝－eq\r(3)，∴n＝(0,2，－eq\r(3))．∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，顯然＝eq\f(\r(3),3)n.∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.eq\a\vs4\al([名師點(diǎn)評])本題考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定，以及空間線段長度計算等。解題時，應(yīng)正確建立坐標(biāo)系，并準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，這是解答此類問題的關(guān)鍵和易失誤之處。eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為面A1B1C1D1的中心，求證：AP⊥B1P.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)棱長為1，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，由兩點(diǎn)間的距離公式得|AP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＋0－12)＝eq\f(\r(6),2)，|B1P|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋1－12)＝eq\f(\r(2),2)，|AB1|＝eq\r(1－12＋0－12＋0－12)＝eq\r(2)，∴|AP|2＋|B1P|2＝|AB1|2，∴AP⊥B1P.一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．已知點(diǎn)A(－3,0，－4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．12 B．9C．25 D．10解析：選D點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0,4)，故|AB|＝eq\r(－3－32＋0－02＋－4－42)＝10.2．已知向量a＝(2，－3,5)與向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，λ，\f(15,2)))平行，則λ＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(9,2)C．－eq\f(9,2) D．－eq\f(2,3)解析：選Ca∥b?eq\f(2,3)＝eq\f(－3,λ)＝eq\f(5,\f(15,2))?λ＝－eq\f(9,2).3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值為()A．1 B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(7,5)解析：選Dka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由題意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq\f(7,5).4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三個向量共面，則實數(shù)λ等于()A.eq\f(62,7) B.eq\f(63,7)C.eq\f(64,7) D.eq\f(65,7)解析：選D由于a，b，c三個向量共面，所以存在實數(shù)m，n使得c＝ma＋nb，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2m－n，,5＝－m＋4n，,λ＝3m－2n，))解得m＝eq\f(33,7)，n＝eq\f(17,7)，λ＝eq\f(65,7).5．如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：選A＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)(－＋)＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，即＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.6.(·武漢模擬)二面角α－l－β為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，則CD的長為()A．2a B.eq\r(5)aC．a(chǎn) D.eq\r(3)a解析：選A∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈，〉＝60°，且·＝0，·＝0，∴＝＋＋，∴||＝eq\r(＋＋2)＝eq\r(a2＋a2＋2a2＋2a·2acos120°)＝2a.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為________．解析：由題意知，P(0,0,1)或P(0,0，－1)．∴|PA|＝eq\r(0－12＋0－12＋1－12)＝eq\r(2).或|PA|＝eq\r(1－02＋1－02＋－1－12)＝eq\r(6).答案：eq\r(2)或eq\r(6)8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)·取最小值時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________．解析：由題意，設(shè)＝λ，即OQ＝(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))2－eq\f(2,3)，當(dāng)λ＝eq\f(4,3)時有最小值，此時Q點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))9．已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，則向量a＋b與a－b的夾角是________．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b與a－b的夾角為90°.答案：90°三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直線AB上，是否存在一定點(diǎn)E，使得⊥b？(O為原點(diǎn))．解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此存在點(diǎn)E，使得⊥b，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).11．(·合肥模擬)如圖ABCD－A1B1C1D1是正方體，M、N分別是線段AD1和BD的中點(diǎn)．(1)證明：直線MN∥平面B1CD1；(2)設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為a，若以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，試寫出B1、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求線段B1M的長．解：(1)連接CD1、AC，則N是AC的中點(diǎn)，在△ACD1中，又M是AD1的中點(diǎn)，∴MN∥CD1.又MN?平面B1CD1，CD1?平面B1CD1，∴MN∥平面B1CD1.(2)由條件知B1(a，a，a)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，\f(a,2)))，∴|B1M|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))2＋a－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(6),2)a，即線段B1M的長為eq\f(\r(6),2)a.12．如圖，在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E、F分別是棱AB、BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(2)求證：