北師大版 七年級(jí)數(shù)學(xué) 整式的乘法

務(wù)整式的桑茫>

骸課前刪忒

【題目】課前測(cè)試

已知代數(shù)式(mx2+2mx-1)(xm+3nx+2)化簡(jiǎn)以后是一個(gè)四次多項(xiàng)式，并且不含二次項(xiàng)，

請(qǐng)分別求出m,n的值，并求出一次項(xiàng)系數(shù)

【答案】8.75

【解析】

解:(mx2+2mx-1)(xm+3nx+2)=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx-

xm-3nx-2,

因?yàn)樵摱囗?xiàng)式是四次多項(xiàng)式，

所以m+2=4,

解得：m=2,

原式=2x4+(6n+4)x3+(3+12n)x2+(8-3n)x-2

?.多項(xiàng)式不含二次項(xiàng)

.,.3+12n=0,

解得：n=3,

所以一次項(xiàng)系數(shù)8-3n=8.75.

總結(jié)：本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是明確化簡(jiǎn)后是一個(gè)四次多項(xiàng)式，所

以x的最高指數(shù)m+2=4;不含二次項(xiàng)，即二次項(xiàng)的系數(shù)為0,即可解答.

【難度】3

【題目】課前測(cè)試

在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的積中，x3項(xiàng)的系數(shù)為-5,x2項(xiàng)的系數(shù)為-6,求a,b的

值。

【答案】a=-1,b=-4

【解析】

解：(x2+ax+b)(2x2-3x-1)

=2x4-3x3-x2+2ax3-3ax2-ax+2bx2-3bx-b

=2x4+(2a-3)x3+(2b-3a-1)x2-(a+3b)x-b,

根據(jù)題意得：2a-3=-5,2b-3a-1=-6,

解得:a=-1,b=-4.

總結(jié)：此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【難度】3

適用范圍北師大版，七年級(jí)

知識(shí)點(diǎn)+既述：本節(jié)是整式的乘除中的重要章節(jié)，是后來(lái)學(xué)習(xí)的平方差公式和完全平方公式

的基礎(chǔ)，通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以將一些復(fù)雜的整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求值，所以本節(jié)

的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用。

適用對(duì)象：成績(jī)中等偏上的學(xué)生

注意事項(xiàng)：在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，應(yīng)適當(dāng)復(fù)習(xí)幕、指數(shù)、底數(shù)等概念。

重點(diǎn)選講：

!①先化簡(jiǎn)，再求值

②令系數(shù)為0

*

③實(shí)際應(yīng)用

?-MB?MBB?MM???M???■???MM??W?■?■

如出精?鋰

◎如詛精,ill:單前式重單應(yīng)式

13節(jié)三單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不

變，作為積的因式。

念血?詛模捏2：?jiǎn)喂攀缴６喙ろ?yè)式

3節(jié)三單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

摩血＞出精，捏3：多工幣式黍多工頁(yè)式

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的

積相加。

骸的度隔第

題型1:先化簡(jiǎn)，再求值

已知實(shí)數(shù)m,n,p,q滿足m+n=p+q=4,mp+nq=4,則(m2+n2)pq+mn(p2+q2)

=()

A.60B.36C.96D.無(wú)法計(jì)算

【答案】A

【解析】

本題如圖,/m+n=p+q=4,

(m+n)(p+q)=4x4=16,

.*(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq,

/.mp+mq+np+nq=16,

?/mp+nq=4,

.,.mq+np=10,

(m2+n2)pq+mn(p2+q2),

=m2pq+n2pq+mnp2+mnq2,

=mp?mq+np?nq+mp?np+nq?mq,

=mp?mq+mp?np+np?nq+nq,mq,

=mp(mq+np)+np(nq+mq),

=(mp+nq)(np+mq),

=6x10

=60.

故選：A.

總結(jié)：本題需要綜合運(yùn)用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，將式子通過(guò)變形后整

體代入求解，解題的關(guān)鍵是對(duì)條件所給的式子變形要有方向性和目的性，同時(shí)要掌握分組分

解法對(duì)式子進(jìn)行因式分解.

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)1：先化簡(jiǎn)，再求值

若ab?=-1,求-ab(a2b5-ab3-2b)的值

【答案】0

【解析】

原式二-a3b6+a2b4+2ab2

=-(ab2=+(ab2)2+2(ab2)

,/ab2=-1

..原式=1+1-2=0.

總結(jié)：本題考查的是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)

式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

【難度】2

【題目】題型1變式練習(xí)2:先化簡(jiǎn)，再求值

先化簡(jiǎn)，再求值：(x-2y)2-x(x+3y)-4y2,其中x=-4,y=1.

【答案】14

【解析】

解:原式=x2-4xy+4y2-x2-3xy)-4y2

=-7xy,

當(dāng)x=-4,y=之時(shí)，原式=-7x(-4)x*=14.

總結(jié)：本題考查的是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解題的

關(guān)鍵.

【難度】2

題型2:令系數(shù)為0

已知將(x3+mx+n)(x2-3x+4)展開(kāi)的結(jié)果不含x3和x2項(xiàng).(m,n為常數(shù))

(1)求m、n的值；

(2)在(1)的條件下，求(m+n)(m2-mn+n2)的值

【答案】(1)m=-4,n=-12(2)-1792

【解析】

解：(1)(x3+mx+n)(x2-3x+4),

=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n,

=x5-3x4+(4+m)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n,

由題后?得：〈c八，

\n-3m=0

解得:I"：,

1k12

(2)(m+n)(m2-mn+n2),

=m3+n3,

當(dāng)m=-4,n=-12時(shí)，原式=(-4)3+(-12)3=-64-1728=-1792.

總結(jié)：此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1:令系數(shù)為0

若(x2+px-2)(x2-3x+q)的積中不含X項(xiàng)與x3項(xiàng)，

(1)求p、q的值；

(2)求代數(shù)式(-2P2q)2+(3pq)T+p2012q20i4的值.

17

【答案】(l)p=3,q=*(2)355

【解析】

解：(1)(x2+px-^-)(x2-3x+q)=x4+(p-3)x3+(q-3p-)x2+(qp+1)x+q,

?.積中不含X項(xiàng)與x3項(xiàng)，

.,.P-3=0,qp+l=O

(2)(-2p2q產(chǎn)+(3pq)-i+p20i2q20i4

11Tl2012i

2

=[-2X3X(--)]2+(-3X3X+[3X(-y)]x(--)2

總結(jié)：本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是正確求出p,q的值.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2:令系數(shù)為0

如圖,若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的乘積中不含x2項(xiàng)和x?項(xiàng)，求m,n的值

【答案】m=6,n=3

【解析】

解：(x2+nx+3)(x2-3x+m)

=x4+nx3+3x2-3x3-3nx2-9x+mx2+mnx+3m

=x4+(n-3)x3+(3-3n+m)x2+(mn-9)x+3m,

?.乘積中不含x2和x3項(xiàng)，

；.n-3=0,3-3n+m=0,

解得:m=6,n=3.

總結(jié)：本題主要考查多項(xiàng)式的乘法，運(yùn)用不含某一項(xiàng)就是該項(xiàng)的系數(shù)等于0是解本題的關(guān)

鍵，熟練掌握運(yùn)算法則也很重要.

【難度】2

題型3:實(shí)際應(yīng)用

如圖，(1)已知(-2x2)(3x2-ax-6)-3x?+x2中不含x的三次項(xiàng)，求a的值.

(2)按村鎮(zhèn)建設(shè)規(guī)劃的要求，需將小張家一塊正方形土地的一邊增加5米，另一邊減少5

米，這塊土地的面積改變了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)a=?；(2)這塊土地的面積改變了

【解析】

解：(1)(-2x2)(3x2-ax-6)-3x3+x2

=-6x4+2ax3+12x2-3x3+x2

=-6x4+(2a-3)x3+13x2,

?.?不含x的三次項(xiàng)，

/.2a-3=0,

解得a=^;

(2)設(shè)原來(lái)正方形土地的邊長(zhǎng)是x米，則原來(lái)正方形土地的面積是x2平方米，

現(xiàn)在這塊地的一邊增加5米，另一邊減少5米后的面積是(x+5)(x-5)平方米，

.-.X2-(x+5)(x-5)=x2-(x2-25)=25,

這塊土地的面積改變了.

總結(jié)：Q)考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

(2)考查了平方差公式在生活實(shí)際中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵就是讀懂題意列出算式，然后熟

練的運(yùn)用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b?進(jìn)行計(jì)算.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1:實(shí)際應(yīng)用

如圖，有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片,

(1)如果選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張，3張、4張，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(不重疊

無(wú)縫隙)，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)長(zhǎng)方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說(shuō)明這個(gè)長(zhǎng)方形所表

示的一個(gè)等式；

(2)小明想用類(lèi)似方法解釋多項(xiàng)式乘法(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,那么需用1

號(hào)卡片張，2號(hào)卡片張,3號(hào)卡片張.

【答案】⑴見(jiàn)下圖(2)2,3,7

【解析】

解：(1)(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2；畫(huà)圖如下：

(2)(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,需用1號(hào)卡片2張，2號(hào)卡片3張，3號(hào)卡片

7張.

故答案為-.2,3,7.

總結(jié)：此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【難度】4

【題目】題型3變式練習(xí)2:實(shí)際應(yīng)用

如圖①，在邊長(zhǎng)為3a+2b的大正方形紙片中，剪掉邊長(zhǎng)2a+b的小正方形，得到圖②，把

圖②陰影部分剪下，按照?qǐng)D③拼成一個(gè)長(zhǎng)方形紙片.

圖②圖③

(1)求出拼成的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬；

(2)把這個(gè)拼成的長(zhǎng)方形紙片的面積加上10a+6b后，就和另一個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等.已

知另一長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5a+3b,求它的寬.

【答案】(1)a+b(2)a+b+2

【解析】

解：(1)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為:3a+2b+2a+b=5a+3b.

長(zhǎng)方形的寬為：(3a+2b)-(2a+b)=3a+2b-2a-b=a+b.

(2)另一個(gè)長(zhǎng)方形的寬:[(5a+3b)(a+b)+10a+6b]+(5a+3b)=a+b+2.

總結(jié)：此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】興趣篇1

我們規(guī)定一種運(yùn)算：|；3=ad-be,例如35x-3

=3x6-4x5=-2,=4x+6.按照這

4624

x+1x+3

種運(yùn)算規(guī)定，當(dāng)x等于多少時(shí),=0.

x-2x-l

【答案】5

【解析】

解T%〃bc,質(zhì)售。，

/.(x+1)(x-1)■(x-2)(x+3)=0,

22

x-1-(x+x-6)=0z

x2-1-x2-x+6=0,

-x=-5f

x=5.

v4-1乂+3

故當(dāng)x等于5時(shí)，x1x=0.

x-2x-1

總結(jié)：考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解一元一次方程，去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系

數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是

為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

【難度】3

【題目】興趣篇2

甲乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b),由于甲抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中a的

符號(hào)，得到的結(jié)果為6x2+llx-10;由于乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)，得到的結(jié)

果為2x2-9x+10.請(qǐng)你計(jì)算出a、b的值各是多少,并寫(xiě)出這道整式乘法的正確結(jié)果.

【答案】(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10

【解析】

解：,二甲得到的算式：(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+llx-10

對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等,2b-3a=ll,ab=10,

乙得到的算式：(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10

對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，2b+a=-9,ab=10,

.[2b-3a=11

-12b+a=-9'

解得:產(chǎn)七.

lb=-2

??.正確的式子：(2x-5)(3x-2)=6x2-19X+10.

總結(jié)：此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行

計(jì)算，是?？碱}型，解題時(shí)要細(xì)心.

【難度】3

【題目】備選題目1

已知(x+a)(x2-x+c)的積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，求(x+a)(x2-x+c)的值是多少？

【答案】X3+1

【解析】

解：?..(x+a)(X2-x+c),

=x3-x2+cx+ax2-ax+ac,

=x3+(a-1)x2+(c-a)x+ac,

又?.?積中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，

/.a-1=0,c-a=0,

解得a=l,c=l.

又,；a=c=l.

/.(x+a)(x2-x+c)=x3+l.

總結(jié)：本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，注意當(dāng)要求多項(xiàng)式中不含有哪一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)讓這一項(xiàng)的

系數(shù)為0.要靈活掌握立方和公式.

【難度】3

【題目】備選題目2

若a,b,k均為整數(shù)且滿足等式(x+a)(x+b)