《運(yùn)籌學(xué)》 課件 第10章-排隊論

7/16/2024第10章排隊論1WheretheTimeGoes美國人一生中平均要花費(fèi)---7/16/202426年吃5年排隊等待4年做家務(wù)2年回電話不成功1年尋找放置不當(dāng)?shù)奈锲?個月打開郵寄廣告6個月停在紅燈前AC尼爾森公司的調(diào)查在消費(fèi)者經(jīng)常遭遇排隊問題的各類場所銀行的排隊率是73%；醫(yī)院以44%居第二；零售商店的排隊率以43%居第三。在調(diào)查受訪的消費(fèi)者中，超過60%的受訪者稱通常一周用于排隊的時間高于30分鐘。在所有受訪的消費(fèi)者中，有28%的人因排長隊而轉(zhuǎn)選其它服務(wù)提供商，66%的人因不想耽誤時間而選擇離開，而46%的人會有抱怨。7/16/20243行為研究結(jié)論行為科學(xué)家發(fā)現(xiàn)：無序排隊是影響客戶流失的一條主要原因。研究結(jié)果表明等候時間：超過十分鐘，情緒開始急躁；超過二十分鐘，情緒表現(xiàn)厭煩；超過四十分鐘，常因惱火而離去。7/16/20244如何減少排隊？減少等候時間的解決方案：開設(shè)更多的服務(wù)點；提供自助服務(wù)解決方案；雇用更多員工。7/16/20245排隊管理系統(tǒng)的應(yīng)用近年來，許多公共服務(wù)場所出現(xiàn)了排隊機(jī)(ticketdispenserunit)，窗口秩序為之一變，一種令人耳目一新的排隊方式：進(jìn)得大門，在排隊機(jī)的觸摸屏上點一下所要辦理的項目，排隊機(jī)就會“吐”出一張像名片大小的號票，拿著這張?zhí)柶卑舶察o靜地坐在休息區(qū)舒適的椅子上等候，輪到自己時，大屏幕和語音系統(tǒng)會提醒你到相應(yīng)的窗口辦理，井然有序。7/16/20246DisneyParis’sEuroDisney,Tokyo’sDisneyJapan,andtheU.S.’sDisneyWorldandDisneylandallhaveonefeatureincommon—longlinesandseeminglyendlesswaits。在游樂園中的頻頻排隊會極為掃興……7/16/20247Disney在佛羅里達(dá)州Orlando的DisneyLand里,游客們依著繩子排成許多隊，指示牌可以估計出等待的時間，而許多大的電視屏幕為游客們提供消遣。DisneyLand中的FastPass系統(tǒng)就是想解決排隊問題。7/16/20248WhatisFastPass?工作原理：到達(dá)的顧客將自己的票插入FastPass的slot中FastPass計算出建議顧客返回的時間間隔（timeinterval）或時間點或時間窗（timewindow）顧客無需排隊，在指定的時間返回就可持票進(jìn)入7/16/20249Disney’sFastpass7/16/202410

如何計算顧客等待時間？7/16/202411

排隊論！服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成排隊現(xiàn)象抽象成服務(wù)系統(tǒng)，它由顧客、服務(wù)機(jī)構(gòu)、隊列和服務(wù)規(guī)則等組成7/16/202412ThreePartsofaQueuingSystem

atDave’sCar-Wash7/16/202413排隊系統(tǒng)的基本特征離開排隊規(guī)則到達(dá)過程排隊結(jié)構(gòu)服務(wù)過程退出需求群體7/16/202414什么是排隊論排隊論是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的理論與方法。因為排隊現(xiàn)象是一個隨機(jī)現(xiàn)象，因此在研究排隊現(xiàn)象的時候，主要采用的是研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論作為主要工具，還有微分方程。7/16/202415排隊論研究目的和內(nèi)容減少顧客等待時間計算顧客平均等待時間計算顧客的平均隊長提高服務(wù)系統(tǒng)的效率計算服務(wù)強(qiáng)度計算忙期\閑期對服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行成本效益平衡分析增加服務(wù)臺的成本與效益分析7/16/202416排隊論發(fā)展簡述1909年丹麥數(shù)學(xué)家A.K.Erlang(愛爾朗)服務(wù)于一家電話公司，他在解決自動電話設(shè)計問題時開始形成的，當(dāng)時稱為話務(wù)理論。他在熱力學(xué)統(tǒng)計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的愛爾朗電話損失率公式。7/16/202417排隊論發(fā)展簡述上世紀(jì)50年代，英國人D.G.Kendall提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ)；上世紀(jì)60年代更多的應(yīng)用于生產(chǎn)線，交通信號燈綠信比的設(shè)置等問題；上世紀(jì)70年代應(yīng)用于計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、通信等領(lǐng)域；如今通信系統(tǒng)仍然是排隊論應(yīng)用的主要領(lǐng)域,同時在運(yùn)輸、港口泊位設(shè)計、機(jī)器維修、庫存控制等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，特別是服務(wù)行業(yè)。7/16/202418CONTENTS019目錄7/16/202410.1

排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.2

到達(dá)間隔與服務(wù)時間的分布10.3

生滅過程與系統(tǒng)狀態(tài)方程10.4

單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊模型10.5

多服務(wù)臺排隊模型10.6

其他類型排隊模型10.7

排隊系統(tǒng)的優(yōu)化10.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的基本概念一個排隊系統(tǒng)可以抽象描述為：為了獲得服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)設(shè)施前排隊，等候接受服務(wù)，服務(wù)完畢后就自行離開。要求得到服務(wù)的對象稱為顧客服務(wù)者稱為服務(wù)設(shè)施或服務(wù)臺顧客的到達(dá)和離開稱為排隊系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。因此，任何一個排隊系統(tǒng)是一種輸入-輸出系統(tǒng)。7/16/202421服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺理發(fā)店 人 理發(fā)師銀行出納服務(wù) 人 出納ATM機(jī)服務(wù) 人 ATM機(jī)超市收銀臺 人 收銀員電影院售票窗口 人 售票員機(jī)場檢票處 人 航空公司代理人7/16/202422服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺公路收費(fèi)站 汽車 收費(fèi)員港口卸貨區(qū) 輪船 卸貨工人等待起飛的飛機(jī) 飛機(jī) 跑道航班服務(wù) 人 飛機(jī)出租車服務(wù) 人 出租車電梯服務(wù) 人 電梯停車場 汽車 停車空間急救車服務(wù) 人 急救車7/16/20242310.1.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成事實上，任何一個排隊服務(wù)系統(tǒng)都是一種輸入-輸出系統(tǒng)。顧客的到達(dá)和離開稱為排隊系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。顧客源等候隊列服務(wù)設(shè)施到達(dá)輸入輸出離開排隊系統(tǒng)7/16/202424排隊系統(tǒng)的三個基本組成部分：輸入過程(顧客按照怎樣的規(guī)律到達(dá))；排隊規(guī)則(顧客按照一定規(guī)則排隊等待服務(wù))；服務(wù)機(jī)構(gòu)(服務(wù)機(jī)構(gòu)的設(shè)置,服務(wù)臺的數(shù)量,服務(wù)的方式,服務(wù)時間分布等)10.1.1排隊服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成7/16/202425一、輸入ArrivalCharacteristics顧客源是有限集還是無限集（Sizeofthearrivalpopulation）工廠內(nèi)待修的機(jī)器數(shù)是有限集，售票處購票顧客源可認(rèn)為是無限集。顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式是單個的，還是成批的（Behaviorofarrivals）如到達(dá)賓館服務(wù)臺住宿有散客，也有團(tuán)體相繼到達(dá)系統(tǒng)的時間間隔是確定性的還是隨機(jī)性的（Patternofarrivalatthesystem）如自動裝配線上待裝配部件到達(dá)各工序的時間間隔是確定的。而多數(shù)顧客到達(dá)都是隨機(jī)的，隨機(jī)的服從某種概率分布：二項、負(fù)指數(shù)、愛爾朗分布等。7/16/202426到達(dá)過程(輸入過程)的內(nèi)容顧客總體數(shù)或顧客源數(shù)有限或無限顧客的到達(dá)類型單個或成批顧客的到達(dá)間隔時間間隔時間分布7/16/202427二、排隊規(guī)則QueueDiscipline顧客來到排隊系統(tǒng)后如何排隊等候服務(wù)的規(guī)則1、即時制（損失制）：當(dāng)顧客到達(dá)時，如果所有服務(wù)臺都已被占用，顧客可以隨即離開系統(tǒng)；如電話撥號后出現(xiàn)忙音，顧客可馬上掛上電話。2、等候制：當(dāng)顧客到達(dá)時，所有服務(wù)臺都已被占用，顧客就加入排隊隊列等候服務(wù)。排隊規(guī)則：FIFO/FCFS先到先服務(wù)，最常見LIFO：乘電梯的顧客是后進(jìn)先出SIRO隨機(jī)服務(wù)：從等待的顧客中隨機(jī)取一個進(jìn)行服務(wù)，人工電話交換優(yōu)先權(quán)服務(wù)：重病優(yōu)先、老年人優(yōu)先等7/16/202428二、排隊規(guī)則QueueDiscipline3、混合制：即時制和等候制相結(jié)合的一種排隊服務(wù)規(guī)則。隊列長度有限制時：排隊等候的人數(shù)超過預(yù)定數(shù)量，后來的顧客就自動離開。排隊時間有限制時：顧客排隊等候超過一定的時間就會自動離開，不能再等；電子元器件庫存超過一定時期，就失效了7/16/202429三、服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)設(shè)施的結(jié)構(gòu)、服務(wù)方式、服務(wù)時間：按服務(wù)設(shè)施個數(shù)分，有一個或多個之分，有并聯(lián)和串聯(lián)之分單臺服務(wù)系統(tǒng)和多臺服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)方式有單個服務(wù)和成批服務(wù)服務(wù)時間是確定和隨機(jī)的7/16/202430服務(wù)臺結(jié)構(gòu)等候隊列服務(wù)臺單服務(wù)臺等候隊列服務(wù)臺2服務(wù)臺1并列多臺等候隊列服務(wù)臺1串列多臺服務(wù)臺2等候隊列服務(wù)臺3服務(wù)臺1混列多臺服務(wù)臺4服務(wù)臺27/16/202431服務(wù)方式

服務(wù)的方式是對單個顧客進(jìn)行的，還是對成批顧客進(jìn)行的。公共汽車站臺等待的顧客是成批進(jìn)行服務(wù)的。7/16/202432服務(wù)時間對顧客的服務(wù)時間是確定的還是隨機(jī)的。自動沖洗汽車的裝置對每輛汽車沖洗服務(wù)的時間是確定性的。但大多數(shù)情況下服務(wù)時間是隨機(jī)性的。對于隨機(jī)要知道它的概率分布，是定長、負(fù)指數(shù)還是愛爾朗分布。Servicetimedistribution7/16/202433排隊結(jié)構(gòu)多隊多服務(wù)臺領(lǐng)號34826101211579單隊多服務(wù)臺入口7/16/202434通常，按排隊系統(tǒng)的主要特征來進(jìn)行排隊系統(tǒng)的分類。一般是以相繼顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時間分布類型、服務(wù)時間的分布類型和服務(wù)臺數(shù)目為分類標(biāo)志。Kendall提出一個排隊系統(tǒng)的分類方法，特征可以用六個參數(shù)表示，形式為：

X／Y／Z其中X––顧客到達(dá)的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Y––服務(wù)時間的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Z––服務(wù)臺個數(shù)，取正整數(shù)；10.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/202435X、Y可有四種分布符號M、D、Ek、GM—負(fù)指數(shù)分布所描述的隨機(jī)現(xiàn)象對于過去的事件具有無記憶性或稱馬爾可夫性MarkovD—定長分布，事件以不變的方式發(fā)生DeterministicEk—k階愛爾朗分布ErlangG—一般隨機(jī)分布General如M/M/1表示到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時間也服從負(fù)指數(shù)分布的單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)模型M/D/2表示到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時間為定長分布的雙服務(wù)臺排隊系統(tǒng)模型10.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/2024361971年又將Kendall符號擴(kuò)展為：

X／Y／Z/A／B／C其中：A––排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)N或

；B––顧客源的最大容量，可取正整數(shù)m或

；C––排隊規(guī)則，可取FCFS、LCFS等。特別約定，如略去后三項，則是指

X／Y／Z/

／

／FCFS因為本課程只介紹FCFS,所以略去最后一項10.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/20243710.1.2排隊服務(wù)系統(tǒng)的分類例

M/M/1/

/

/FCFS表示：顧客到達(dá)的時間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布一個服務(wù)臺排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)

7/16/202438一個排隊系統(tǒng)開始運(yùn)行時,系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)在很大程度上取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和運(yùn)轉(zhuǎn)的時間。經(jīng)過一段時間以后，系統(tǒng)的狀態(tài)將獨立于初始狀態(tài)和經(jīng)歷時間，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。排隊系統(tǒng)主要研究穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，工作狀況與時刻t無關(guān)。10.1.3排隊系統(tǒng)的相關(guān)術(shù)語7/16/202439主要名詞術(shù)語平均到達(dá)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個顧客時，新來顧客的平均到達(dá)率（單位時間內(nèi)顧客的到達(dá)數(shù)）。當(dāng)對所有n值

n為常數(shù)時，可用代替n1/

為相鄰兩顧客到達(dá)系統(tǒng)的平均間隔時間。平均服務(wù)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個顧客時，單位時間內(nèi)被服務(wù)完畢后離開系統(tǒng)的平均顧客數(shù)。當(dāng)對所有n值，

n為常數(shù)時，可用代替n1/

為每個顧客的平均服務(wù)時間。c—系統(tǒng)中并列服務(wù)臺數(shù)目。7/16/202440主要名詞術(shù)語N(t)

在時刻t排隊服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù)，即系統(tǒng)在時刻t的瞬時狀態(tài)。Pn(t)

在t時刻系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率主要分析系統(tǒng)平穩(wěn)分布,即當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計平衡狀態(tài)時處于狀態(tài)n的概率,記為Pn7/16/202441主要系統(tǒng)性能指標(biāo)平均逗留時間Ws

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客逗留時間的平均值，包括接受服務(wù)的時間。平均等待時間Wq

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客等待時間的平均值。服務(wù)機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度

：服務(wù)機(jī)構(gòu)累計的工作時間占全部時間的比例，即服務(wù)強(qiáng)度

平均顧客數(shù)Ls

：一個排隊系統(tǒng)的顧客平均數(shù)，包括正在接受服務(wù)的顧客。平均隊長Lq

：系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客平均數(shù)。7/16/202442常用的記號c—服務(wù)臺的個數(shù)n––系統(tǒng)中的顧客數(shù),即系統(tǒng)狀態(tài)

––平均到達(dá)率，即單位時間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)

––平均服務(wù)率，即單位時間內(nèi)服務(wù)完畢的顧客數(shù)Pn(t)––時刻t系統(tǒng)狀態(tài)n的概率Pn––系統(tǒng)中的顧客數(shù)n（系統(tǒng)狀態(tài)n)的穩(wěn)態(tài)概率M––顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從負(fù)指數(shù)分布D––顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從定長分布Ek––顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從k階Erlang分布G—顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從一般分布7/16/20244310.2到達(dá)間隔與服務(wù)時間的分布組成一個排隊系統(tǒng)的四要素輸入\輸出\排隊服務(wù)規(guī)則\服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客的輸入和輸出過程一般是隨機(jī)的研究較多且結(jié)果較好的排隊系統(tǒng)是：顧客的輸入過程服從泊松分布，而服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布的排隊系統(tǒng)若顧客輸入過程服從泊松分布，則顧客相繼到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布。10.2到達(dá)間隔與服務(wù)時間的分布7/16/202445定義：滿足以下條件的輸入流稱為Poisson流（最簡單流、Poisson過程）1）無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨立。2）平穩(wěn)性：對充分小的

t，在時間區(qū)間[t,t+

t)內(nèi)到達(dá)1個顧客的概率與t無關(guān)，只與

t有關(guān)，即：其中：l是一個大于零的常數(shù)，表示單位時間內(nèi)到達(dá)一個顧客的概率3）守序性：設(shè)在[t,t+

t）內(nèi)到達(dá)多于一個顧客的概率為極小o(

t)。即 10.2.1Poisson流7/16/202446實際情況是否符合三條性質(zhì)到達(dá)工廠機(jī)修車間的要維修的機(jī)器情況分析：因為每臺機(jī)器在各個時刻處的狀態(tài)大致一樣，所以在相等時間區(qū)間內(nèi)各臺機(jī)器損壞的概率大致相同，即要求維修的機(jī)器的流具有平穩(wěn)性由于一臺機(jī)器的故障不會引起另一臺機(jī)器的故障，而對同一臺機(jī)器，這段時間內(nèi)損壞的次數(shù)不影響到以后損壞次數(shù)多少，這表明具有無后效性由于每臺機(jī)器損壞概率很小，在足夠小的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生兩臺及以上機(jī)器損壞的概率幾乎為0，這就符合普通性。因此對到達(dá)機(jī)修車間的要維修的機(jī)器數(shù)可以認(rèn)為是最簡單流,即poisson流。7/16/202447Poisson流與Poisson分布定理1對于一個參數(shù)為

的Poisson流，在[0，t]內(nèi)到達(dá)n個顧客的概率為

即服從以

為參數(shù)的Poisson分布。

7/16/202448PoissonDistributionsforArrivalTimesProbabilityProbability=2=4

：單位時間顧客的平均到達(dá)率7/16/202449Poisson流與負(fù)指數(shù)分布間的關(guān)系定理2

在排隊系統(tǒng)中，如果單位時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)服從以

為參數(shù)的Poisson分布，則顧客相繼到達(dá)的時間間隔T服從以

為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。

l=0.41/

為平均到達(dá)間隔時間（expectedinterarrivaltime)7/16/202450負(fù)指數(shù)分布

NegativeExponentialDistribution分布函數(shù)7/16/202451負(fù)指數(shù)分布——無后效性無后效性表示T顧客到達(dá)的時間間隔已經(jīng)過了s后，再等t的時間與s無關(guān)。7/16/20245210.2.2服務(wù)時間的分布1）負(fù)指數(shù)分布在排隊系統(tǒng)中，一般假設(shè)服務(wù)時間（servicetime)服從參數(shù)為m的負(fù)指數(shù)分布：1/m為平均服務(wù)時間（expectedservicetime)7/16/202453平均服務(wù)時間Meanservicetime=1/

分布函數(shù)10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202454服務(wù)時間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)假如服務(wù)設(shè)施對每個顧客的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，則對每個顧客的平均服務(wù)時間為1/m當(dāng)服務(wù)設(shè)施對顧客的服務(wù)時間t為參數(shù)m

的負(fù)指數(shù)分布時，則有在[t,t+

t]時間內(nèi)，沒有顧客離去的概率為1-m

t在[t,t+

t]時間內(nèi)，恰有一個顧客離去的概率為m

t如果

t足夠小，在[t,t+

t]時間內(nèi)有多于兩個以上顧客離去的概率趨于07/16/202455服務(wù)時間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)若按依次到達(dá)的間隔時間統(tǒng)計，顧客流服從負(fù)指數(shù)分布，則對同一顧客流若按單位時間到達(dá)的數(shù)量統(tǒng)計，它服從泊松分布。泊松分布和負(fù)指數(shù)分布是對同一顧客流按不同方式進(jìn)行統(tǒng)計時得到的兩種不同分布。7/16/2024562）k階Erlang分布愛爾朗分布比負(fù)指數(shù)分布具有更廣泛的適應(yīng)性，k階愛爾朗分布（Ek)的概率密度函數(shù)為：

10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202457愛爾朗分布的均值和方差是由此可得愛爾朗分布的階數(shù)：10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/20245810.2.2服務(wù)時間的分布m=1k=1k=2k=4k=87/16/202459K個相互獨立的且具有相同參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量的和，其分布服從k階Erlang分布。例如一臺自動機(jī)床上依次利用三把刀具對一個工件進(jìn)行加工，若每把刀具對該工件的加工時間均為參數(shù)相同的負(fù)指數(shù)分布，則該工件在自動機(jī)床上總的加工時間服從3階Erlang分布10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202460定理3設(shè)v1，v2，…，vk是k個互相獨立的，具有相同參數(shù)m的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量

Ek=v1+v2+…+vk服從k階Erlang分布，Ek的密度函數(shù)為10.2.2服務(wù)時間的分布7/16/202461均值、方差和階數(shù)總服務(wù)時間服從愛爾朗分布，其均值和方差是由此可得愛爾朗分布的階數(shù)：每個服務(wù)臺的平均服務(wù)時間是：7/16/20246210.3生滅過程10.3生滅過程排隊系統(tǒng)—隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)是“生”，顧客離開是“滅”7/16/202464生滅過程

Birth-deathprocessN(t)是系統(tǒng)t時刻的狀態(tài)（顧客數(shù)），則{N(t),t>=0}就構(gòu)成一個隨機(jī)過程，若用“生”表示一個顧客的到達(dá)，“滅”代表一個顧客過程的離去，則對許多排隊過程來說，{N(t),t>=0}也是一類特殊的隨機(jī)過程——生滅過程7/16/202465定義：設(shè){N(t),t>=0}是一個隨機(jī)過程，如果其概率分布滿足有如下性質(zhì)：（1）給定N(t)=n,到下一個“生”（顧客到達(dá)）的間隔時間服從參數(shù)為ln的負(fù)指數(shù)分布;（2）給定N(t)=n,到下一個“滅”（顧客離去）的間隔時間服從參數(shù)為mn的負(fù)指數(shù)分布;（3）同一時刻只能到達(dá)一個或離去一個顧客；則稱{N(t),t>=0}是生滅過程生滅過程

Birth-deathprocess7/16/202466當(dāng)顧客到達(dá)時間服從參數(shù)為λn

的負(fù)指數(shù)分布時，則有:在[t,t+

t]時間內(nèi)，沒有顧客到達(dá)的概率為在[t,t+

t]時間內(nèi)，恰有一個顧客到達(dá)的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時間內(nèi)有多于兩個以上顧客到達(dá)的概率趨于07/16/202467生滅過程

Birth-deathprocess當(dāng)服務(wù)設(shè)施對顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布時，則有:在[t,t+

t]時間內(nèi)，沒有顧客離去的概率為在[t,t+

t]時間內(nèi)，恰有一個顧客離去的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時間內(nèi)有多于兩個以上顧客離去的概率趨于07/16/202468生滅過程

Birth-deathprocessnnn+1n-1nPn(t)Pn-1(t)Pn+1(t)Pn(t)t時刻t+

t時刻無到達(dá)，無離開無到達(dá)，離開一個到達(dá)一個，無離開到達(dá)一個，離開一個假設(shè)在t+

t時刻系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率Pn(t+

t)7/16/202469生滅過程

Birth-deathprocess7/16/202470生滅過程

Birth-deathprocess系統(tǒng)的過渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)過渡穩(wěn)定7/16/202471生滅過程的穩(wěn)定狀態(tài)方程生滅過程的瞬時狀態(tài)一般很難求得，但可求得穩(wěn)定狀態(tài)分布7/16/202472生滅過程的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖對于穩(wěn)定的生滅狀態(tài)，從平均意義上說有：“流入速率=流出速率”穩(wěn)定的生滅過程可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示7/16/202473生滅過程的穩(wěn)態(tài)方程基本原理系統(tǒng)任意狀態(tài)n達(dá)到穩(wěn)態(tài)平衡的條件是：產(chǎn)生該狀態(tài)的平均速率等于該狀態(tài)轉(zhuǎn)變成其他狀態(tài)的平均速率例如，對于系統(tǒng)狀態(tài)n=0的情況，產(chǎn)生和破壞該狀態(tài)的可能性有兩種情況。如后圖所示。7/16/202474n=0狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202475n=1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202476n=2狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202477n-1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202478任意狀態(tài)n的產(chǎn)生和破壞7/16/202479λ012n-1nn+17/16/202480生滅過程Birth-deathprocess生滅過程的基本公式7/16/202481生滅過程的狀態(tài)概率因為所以即得7/16/202482標(biāo)準(zhǔn)的排隊過程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過程7/16/202483生滅過程

Birth-deathprocess10.4單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊模型輸入過程為泊松流，服務(wù)時間基本服從負(fù)指數(shù)分布的排隊系統(tǒng)10.4.1標(biāo)準(zhǔn)M/M/1/∞/∞10.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/10.4.3顧客為有限源系統(tǒng)M/M/1/∞/m10.4單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊模型7/16/20248510.4.1標(biāo)準(zhǔn)排隊模型[M/M/1/

/

/FCFS][M/M/1/

/

/FCFS]顧客到達(dá)的時間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布一個服務(wù)臺排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)7/16/202486M/M/1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析012n-1nn+17/16/202487M/M/1排隊模型標(biāo)準(zhǔn)的排隊過程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過程7/16/202488得到

令

稱

為服務(wù)強(qiáng)度，則得由M/M/1排隊模型7/16/202489例10.1高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為100輛／小時，收費(fèi)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時間為15秒／輛。求1、收費(fèi)處空閑的概率；2、收費(fèi)處忙的概率；3、系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。7/16/202490M/M/1排隊模型根據(jù)題意,

=100輛/小時,1/

=15秒=1/240（小時/輛）,即

＝240（輛/小時）。因此，

=

/

=100/240=5/12。系統(tǒng)空閑的概率為：

P0=1-

=1-(5/12)=7/12=0.583系統(tǒng)忙的概率為：

1-P0=1-(1-

)=

=5/12=0.417系統(tǒng)中有1輛車的概率為：

P1=

(1-

)=0.417×0.583=0.243系統(tǒng)中有2輛車的概率為：

P2=

2(1-

)=0.4172×0.583=0.101系統(tǒng)中有3輛車的概率為：

P3=

3(1-

)=0.4173×0.583=0.04217/16/202491M/M/1排隊模型解：系統(tǒng)績效度量

系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)LsExpectednumberofcustomersinsystem

平均等待顧客個數(shù)Lq（排隊長）

Expectedqueuelength(excludecustomersbeingserved)

顧客平均逗留時間Ws

Waitingtimeinsystem

顧客平均（排隊）等待時間WqWaitingtimeinqueue(excludeservicetime)7/16/202492M/M/1/

/

/FCFS的系統(tǒng)指標(biāo)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls

隊列中的平均顧客數(shù)Lq7/16/202493顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間顧客在系統(tǒng)中的逗留時間Ts服從參數(shù)為m-l的負(fù)指數(shù)分布7/16/202494顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws

顧客在隊列中的平均逗留時間Wq

顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間7/16/202495JohnD.C.Little公式7/16/202496理發(fā)店空閑的概率店內(nèi)有3個顧客的概率店內(nèi)至少有一個顧客的概率店內(nèi)顧客的平均數(shù)，等待服務(wù)顧客的平均數(shù)顧客在店內(nèi)的平均逗留時間和平均等待時間必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的概率例10.2某理發(fā)店只有一名理發(fā)師，來理發(fā)的顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時4人，理發(fā)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘，求7/16/202497M/M/1排隊模型(3)P(n≥1)=1?P(n<1)=1?P0=0.4(4)Ls=r/(1?r)=0.4/(1?0.4)=0.667人

Lq=Ls?r=0.667-0.4=0.227解：此為M/M/1系統(tǒng)，已知l=4/60=1/15人/分

m=1/6人/分，r=l/m=(1/15)/(1/6)=0.4(1)P0=1?r=1=0.4=0.6(2)P3=(1?r)r3=0.6×0.43=0.03847/16/202498M/M/1排隊模型

例10.3高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為200輛/小時，收費(fèi)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時間為15秒/輛。求Ls、Lq、Ws和Wq。7/16/202499M/M/1排隊模型解：根據(jù)題意，

=200輛/小時，

=240輛/小時，

=

/

=5/6。7/16/2024100M/M/1排隊模型當(dāng)隊列的容量從無限值變?yōu)橛邢拗礜時，[M/M/1/

/

/FCFS]就轉(zhuǎn)化成為[M/M/1/N/

/FCFS]

10.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS7/16/2024101系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖012N-1N7/16/2024102系統(tǒng)的狀態(tài)概率平衡方程對于狀態(tài)0：

0P0=

1P1

… …對于狀態(tài)n：

n-1Pn-1+

n+1Pn+1=(

n+

n)Pn0<n<N… …對于狀態(tài)N：

N-1PN-1=

NPN7/16/2024103系統(tǒng)參數(shù)7/16/2024104系統(tǒng)狀態(tài)概率PN稱為顧客損失率7/16/2024105系統(tǒng)的狀態(tài)概率由得到

7/16/2024106系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)當(dāng)r=1時的情形，此時由得：7/16/2024107系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)對于

1有7/16/2024108有效到達(dá)率7/16/2024109Little公式7/16/2024110例10.4

一個單人理發(fā)店，除理發(fā)椅外，還有4把椅子可供顧客等候。顧客到達(dá)發(fā)現(xiàn)沒有座位空閑，就不再等待而離去。顧客到達(dá)的平均速率為4人/小時，理發(fā)的平均時間為10分鐘/人。顧客到達(dá)服從Poisson流，理發(fā)時間服從負(fù)指數(shù)分布。求：1、顧客到達(dá)不用等待就可理發(fā)的概率；2、理發(fā)店里的平均顧客數(shù)以及等待理發(fā)的平均顧客數(shù)；3、顧客來店理發(fā)一次平均花費(fèi)的時間及平均等待的時間；4、顧客到達(dá)后因客滿而離去的概率顧客損失率；5、增加一張椅子可以減少的顧客損失率。7/16/202411110.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS解：這是一個[M/M/1/N/

/FCFS]系統(tǒng)，其中N=4+1=5，

=4人/小時，

=6人/小時，

=2/3。

7/16/202411210.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS因客滿而離去的概率為0.00487/16/202411310.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS當(dāng)N=6時

P5-P6=0.0480-0.0311=0.0169=1.69%即增加一張椅子可以減少顧客損失率1.69%7/16/202411410.4.2有限隊列模型M/M/1/N/

/FCFS設(shè)顧客總數(shù)為m,當(dāng)顧客需要服務(wù)時，就進(jìn)入隊列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源中,如此循環(huán)往復(fù)。。。服務(wù)臺...顧客源需要服務(wù)服務(wù)完畢隊列10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024115關(guān)于顧客的平均到達(dá)率，在無限源的情形下是按全體顧客來考慮的，而在有限源的情形下，必須按照每個顧客來考慮，l即為每一顧客單位時間內(nèi)請求服務(wù)的平均次數(shù)。10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024116分析假定每一個顧客在單位時間內(nèi)需要接受服務(wù)的平均次數(shù)是相同的，設(shè)為λ

。當(dāng)正在等待及正在接受服務(wù)的顧客數(shù)為n時，則在單位時間內(nèi)要求接受服務(wù)的平均顧客數(shù)為：

λn=λ(m-n)01nm7/16/2024117狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程λ0P0=μP1 ……[λn+μ]Pn=μPn+1+λn-1Pn-1

(n=1，2，…，m-1) ……μPm=λm-1Pm-1

(n=1，2，…，m) 7/16/20241187/16/2024119狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程有效到達(dá)率λn=λ(m-n)n=1,2,…,m7/16/2024120系統(tǒng)績效指標(biāo)7/16/2024121例10.5某車間有5臺機(jī)器，每臺機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)行時間15分鐘。有一個修理工，每次修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求:(1)修理工空閑的概率；(2)五臺機(jī)器都出故障的概率；(3)出故障的平均臺數(shù)；(4)平均停工時間；(5)平均等待修理時間；(6)評價這個系統(tǒng)的運(yùn)行情況。7/16/202412210.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型解：根據(jù)題意，m=5，λ=1/15，μ=1/12，ρ=λ/μ=0.8

7/16/202412310.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型（7）系統(tǒng)絕對通過能力（工人的維修能力）A=le=l(m-Ls)=m(1-P0)=0.083

每小時維修0.083*60=4.96（臺）總體看來，該維修系統(tǒng)較繁忙，機(jī)器等待時間過長。7/16/202412410.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型10.5多服務(wù)臺排隊模型標(biāo)準(zhǔn)的[M/M/c/∞/∞/FCFS]模型系統(tǒng)容量有限的[M/M/c/N/∞/FCFS]模型有限顧客源的[M/M/c/∞/m/FCFS]模型

10.5多服務(wù)臺排隊模型7/16/2024126服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊列顧客到達(dá)后，進(jìn)入隊列尾端；當(dāng)某一個服務(wù)臺空閑時，隊列中的第一個顧客即到該服務(wù)臺接收服務(wù)；服務(wù)完畢后隨即離去。各服務(wù)臺互相獨立且服務(wù)速率相同，即μ1=μ2=…=μc

10.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型7/16/2024127分析系統(tǒng)的服務(wù)速率與系統(tǒng)中的顧客數(shù)有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k不大于服務(wù)臺個數(shù)，即1≤k≤c時，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺中，這時系統(tǒng)的服務(wù)速率為kμ；當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k＞c時，服務(wù)臺中正在接受服務(wù)的顧客數(shù)仍為c個，其余顧客在隊列中等待服務(wù)，這時系統(tǒng)的服務(wù)速率為cμ。

則當(dāng)ρ＜1時系統(tǒng)才不會排成無限的隊列

7/16/2024128狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對狀態(tài)0: λP0=μP1

對狀態(tài)1: λP0+2μP2=(λ+μ)P1 …………對狀態(tài)c： λPc-1+cμPc+1=(λ+cμ)Pc …………對狀態(tài)n λPn-1+cμPn+1=(λ+cμ)Pn ………01cn7/16/2024129狀態(tài)概率7/16/2024130運(yùn)行指標(biāo)7/16/2024131例10.6某售票處有三個窗口，顧客到達(dá)服從Poisson流，到達(dá)速率為0.9人／分，售票時間服從負(fù)指數(shù)分布，每個窗口的平均售票速率為0.4人／分。顧客到達(dá)后排成一隊，依次到空閑窗口購票。求：(1)所有窗口都空閑的概率；(2)平均隊長；(3)平均等待時間及逗留時間；(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率。7/16/202413210.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型解：λ/μ=2.25，ρ=λ/cμ=0.75(1)所有窗口都空閑的概率，即求P0的值

(2)平均隊長，即求Ls的值，必須先求Lq

7/16/202413310.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型(3)平均等待時間和平均逗留時間，即求Wq和Ws和的值

(4)顧客到達(dá)后必須等待，即n≥37/16/202413410.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型M/M/C型VSC個M/M/1型如果顧客到達(dá)后在每個窗口各排一隊，且進(jìn)入隊列后不可更換，形成3個隊列，在上例中，每個隊列的平均到達(dá)率為：7/16/2024135M/M/1系統(tǒng)的指標(biāo)λ=0.3，μ=0.4，ρ=λ/μ=0.75P0=1-ρ=0.25P(n>=1)=1-P0=0.75Ls=λ/(μ-λ)=3Lq=Ls-ρ=3-0.75=2.25Ws=Ls/λ=10分Wq=Ws-1/μ=7.5分7/16/2024136指標(biāo)模型M/M/3M/M/1服務(wù)臺空閑的概率P00.07480.25(每個子系統(tǒng)）顧客必須等待的概率0.570.75平均隊列長（等待顧客數(shù)）Lq1.702.25(每個子系統(tǒng)）平均隊長（顧客數(shù)）Ls3.959.00（整個系統(tǒng)）平均逗留時間Ws4.39分鐘10分鐘平均等待時間Wq1.89分鐘7.5分鐘由此可見，單隊比三隊有顯著的優(yōu)越性。系統(tǒng)指標(biāo)對比結(jié)果7/16/2024137離開服務(wù)臺服務(wù)臺服務(wù)臺顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊列10.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型7/16/2024