北師大九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案3.6 第1課時(shí) 直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì)1

PAGE3.6直線和圓的位置關(guān)系第1課時(shí)直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì)1．理解直線和圓的相交、相切、相離三種位置關(guān)系；(重點(diǎn))2．掌握直線和圓的三種位置關(guān)系的判定方法；(難點(diǎn))3．掌握切線的性質(zhì)定理，會(huì)用切線的性質(zhì)解決問題．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在紙上畫一條直線，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動(dòng)硬幣，你能發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況嗎？公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最少時(shí)有幾個(gè)？最多時(shí)有幾個(gè)？二、合作探究探究點(diǎn)一：直線和圓的位置關(guān)系【類型一】判定直線和圓的位置關(guān)系已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點(diǎn)，若MO＝3，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為()A．相切B．相交C．相切或相離D．相切或相交解析：因?yàn)榇咕€段最短，所以圓心到直線的距離小于等于3，則直線和圓相交、相切都有可能．故選D.方法總結(jié)：判斷直線和圓的位置關(guān)系，必須明確圓心到直線的距離．特別注意：這里的3不一定是圓心到直線的距離．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題【類型二】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，求線段的長(zhǎng)或取值范圍在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，若以點(diǎn)C為圓心，以2cm長(zhǎng)為半徑的圓與斜邊AB相切，那么BC的長(zhǎng)等于()A．2cmB．2eq\r(2)cmC．2eq\r(3)cmD．4cm解析：如圖所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．∵以點(diǎn)C為圓心，以2cm長(zhǎng)為半徑的圓與斜邊AB相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45°，∴CD＝BD＝2cm，∴BC＝eq\r(CD2＋BD2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)(cm)．故選B.方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用直線和圓的三種位置關(guān)系解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題【類型三】在平面直角坐標(biāo)系中，解決直線和圓的位置關(guān)系的問題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙O的半徑為1，動(dòng)直線AB與x軸交于點(diǎn)P(x，0)，且滿足直線AB與x軸正方向夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點(diǎn)，則x的取值范圍是()A．－1≤x≤1B．－eq\r(2)＜x＜eq\r(2)C．0≤x≤eq\r(2)D．－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)解析：當(dāng)直線AB與⊙O相切且與x軸正半軸相交時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC.∵直線AB與x軸正方向夾角為45°，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半徑為1，∴OC＝PC＝1，∴OP＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\r(2)，0)．同理可得，當(dāng)直線AB與x軸負(fù)半軸相交時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－eq\r(2)，0)，∴x的取值范圍為－eq\r(2)≤x≤eq\r(2).故選D.方法總結(jié)：解決本題要熟知直線和圓的三種位置關(guān)系，關(guān)鍵是有公共點(diǎn)的情況不要遺漏．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題探究點(diǎn)二：切線的性質(zhì)【類型一】利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)如圖，CB是⊙O的直徑，P是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PB＝2，PA切⊙O于A點(diǎn)，PA＝4.求⊙O的半徑．解析：設(shè)圓的半徑是x，利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，求出x的值．解：如圖，連接OA，∵PA切⊙O于A點(diǎn)，∴OA⊥PA.設(shè)OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OPA中，x2＋42＝(x＋2)2，∴x＝3，∴⊙O的半徑為3.方法總結(jié)：運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題【類型二】圓的切線與相似三角形的綜合如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E，連接CD.(1)求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；(2)求證：BC2＝BD·BA；(3)當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形．解析：(1)利用切線的性質(zhì)及圓周角定理證明；(2)利用相似三角形證明；(3)利用正方形的性質(zhì)證明．證明：(1)如圖，連接OD.∵DE為切線，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC，即點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)；(2)∵AC為直徑，∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BC2＝BD·BA；(3)當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD＝45°.∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠OCD＝180°－90°－45°＝45°，∴Rt△ABC為等腰直角三角形．方法總結(jié)：本題的綜合性比較強(qiáng)，但難度不大，解決問題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解答．另外，連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形也是解題的關(guān)鍵．【類型三】圓的切線與三角函數(shù)的綜合如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作⊙O的切線與AD的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)．(1)求證：∠ABC＝∠F；(2)若sinC＝eq\f(3,5)，DF＝6，求⊙O的半徑．解析：(1)由切線的性質(zhì)得AB⊥BF，因?yàn)镃D⊥AB，所以CD∥BF，由平行線的性質(zhì)得∠ADC＝∠F，由圓周角定理的推論得∠ABC＝∠ADC，于是證得∠ABC＝∠F；(2)連接BD.由直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠ADB＝90°，因?yàn)椤螦BF＝90°，然后運(yùn)用解直角三角形解答．(1)證明：∵BF為⊙O的切線，∴AB⊥BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90°，∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F；(2)解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.由(1)可知∠ABF＝90°，∴∠ABD＋∠DBF＝90°，∴∠A＝∠DBF.又∵∠A＝∠C，∴∠C＝∠DBF.在Rt△DBF中，sin∠DBF＝sinC＝eq\f(3,5)，DF＝6，∴BF＝10，∴BD＝8.在Rt△ABD中，sinA＝sinC＝eq\f(3,5)，BD＝8，∴AB＝eq\f(40,3).∴⊙O的半徑為eq\f(20,3).方法總結(jié)：運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．三、板書設(shè)計(jì)直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì)1．直線和圓的位置關(guān)系：①直線l與圓O相交?d＜r；②直線l