北師大九年級下冊數(shù)學教案3.3 垂徑定理1

PAGE*3.3垂徑定理1．理解垂徑定理和推論的內(nèi)容，并會證明，利用垂徑定理解決與圓有關的問題；(重點)2．利用垂徑定理及其推論解決實際問題．(難點)一、情境導入如圖①某公園中央地上有一些大理石球，小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚20cm的磚塞在球的兩側(如圖②所示)，他量了下兩磚之間的距離剛好是80cm，聰明的你能算出大石頭的半徑嗎？二、合作探究探究點一：垂徑定理【類型一】利用垂徑定理求直徑或弦的長度如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點P，且P是半徑OB的中點，CD＝6cm，則直徑AB的長是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.連接OD，∵P是OB的中點，設OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)，∴AB＝4eq\r(3).故選D.方法總結：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應用勾股定理解決問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題【類型二】垂徑定理的實際應用如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(圖中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，點O是這段弧的圓心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設半徑為R，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結：將實際問題轉化為數(shù)學問題，再利用我們學過的垂徑定理、勾股定理等知識進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題【類型三】垂徑定理的綜合應用如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD.(1)請證明：點E是OB的中點；(2)若AB＝8，求CD的長．解析：(1)要證明E是OB的中點，只要求證OE＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理可以解得CE的長，進而求出CD的長．(1)證明：連接AC，如圖，∵直徑AB垂直于弦CD于點E，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴AC＝AD.∵過圓心O的直線CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分線，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等邊三角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE＝eq\f(1,2)OC，∴OE＝eq\f(1,2)OB，∴點E為OB的中點；(2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝eq\f(1,2)AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，∴CD＝2CE＝4eq\r(3).方法總結：解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第5題探究點二：垂徑定理的推論【類型一】利用垂徑定理的推論求角的度數(shù)如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，則∠MON的度數(shù)是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題．【類型二】利用垂徑定理的推論求邊的長度如圖，點A、B是⊙O上兩點，AB＝10cm，點P是⊙O上的動點(與A、B不重合)，連接AP、BP，過點O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的長．解析：運用垂徑定理先證出EF是△ABP的中位線，然后運用三角形中位線性質把要求的EF與AB建立關系，從而解決問題．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．方法總結：垂徑定理雖是圓的知識，但也不是孤立的，它常和三角形等知識綜合來解決問題，我們一定要把知識融會貫通，在解決問題時才能得心應手．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題【類型三】動點問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．解析：當點P處于弦AB的端點時，OP最長，此時OP為半徑的長；當OP⊥AB時，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時OP的長．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點D，由垂徑定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長，∴OP的長度范圍是3cm≤OP≤5cm.方法總結：解題的關鍵是明確OP最長、最短時的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯的地方是不能確定最值時的情況．三、板書設計垂徑定理1．垂徑定理2．垂徑定理的推論垂徑定理是中學數(shù)學中的一個很重要的定理，由