2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測(cè)卷 數(shù)學(xué)（一）

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A． B． C． D．2．在中，，則（）A．1 B．2 C． D．3．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2，4，母線長(zhǎng)為3，則圓臺(tái)的體積為（）A． B． C． D．4．用斜二測(cè)畫法得到的平面多邊形直觀圖的面積為，則原圖形面積為（）A． B． C． D．5．已知向量，，滿足，，，則的最小值為（）A． B． C． D．6．在平行四邊形中，，點(diǎn)P為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．7．兩個(gè)不同的圓錐的底面是球O的同一截面，頂點(diǎn)均在球O表面上，若球O的體積為V，則這兩個(gè)圓錐體積之和的最大值為（）A． B． C． D．8．已知在三角形中，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題是真命題的是（）A．若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量B．若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量C．若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上D．若向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上10．如圖，為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形11．已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若是銳角三角形，則B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若是等邊三角形，則12．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體(semi-regularsolid)，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點(diǎn)的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（），則_______．14．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)_________．15．在中，，，，平分交于點(diǎn)，則的面積為_________．16．在復(fù)平面內(nèi)，等腰直角三角形以為斜邊（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），若對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則直角頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)___________．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求實(shí)數(shù)取何值時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直線上．18．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球的表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．19．（12分）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rullon，于1996年收入世界文化遺產(chǎn)名錄（如圖1）．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為m，母線SA長(zhǎng)為m（如圖2）．C是母線SA的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S）．（1）現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個(gè)屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（此處π取3．14，結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度．20．（12分）如圖一個(gè)透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個(gè)具有公共底面的圓錐，且這兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在這個(gè)球面上，如圖，已知大圓錐軸截面是等邊三角形，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r．（1）試確定R與r的關(guān)系；（2）若小圓錐?大圓錐的側(cè)面積為?，球的表面積為，求；（3）求出兩個(gè)圓錐的總體積（即體積之和）與球的體積之比．21．（12分）△ABC的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，．（1）求B；（2）若，求△ABC面積S的最大值．22．（12分）為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄．已知，，，．（1）若，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（的周長(zhǎng)）；（2）若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，魚塘的面積最小，最小面積是多少？2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（一）答案第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】∵復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，故選D．2．【答案】D【解析】由余弦定理，得，，故選D．3．【答案】A【解析】因圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2，4，母線長(zhǎng)為3，則圓臺(tái)的高為，所以圓臺(tái)的體積為，故選A．4．【答案】A【解析】底邊長(zhǎng)為，高為的三角形的面積為，在斜二測(cè)直觀圖中，若三角形的底邊與軸平行或重合，則原三角形的斜二測(cè)直觀圖的面積為，則，由于平面多邊形可由若干各三角形拼接而成，故平面多邊形的面積是其直觀圖面積的倍，因此，原圖形面積為，故選A．5．【答案】B【解析】由條件可知，則，當(dāng)時(shí)，，故選B．6．【答案】A【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，故，所以時(shí)，取得最小值，故選A．7．【答案】B【解析】設(shè)球半徑為，兩個(gè)圓錐中較小的高為，則另一個(gè)圓錐的高為，圓錐底面半徑為，則，，兩個(gè)圓錐的體積和為，所以時(shí)，，，因此，故選B．8．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因?yàn)椋?，所以，即，故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】AD【解析】A項(xiàng)為真命題，A，B，C，D在一條直線上，則向量，的方向相同或相反，因此與是共線向量；B項(xiàng)為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則，的方向不確定，不能判斷與是否共線；C項(xiàng)為假命題，因?yàn)?，兩個(gè)向量所在的直線可能沒有公共點(diǎn)，所以A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上；D項(xiàng)為真命題，因?yàn)?，兩個(gè)向量所在的直線有公共點(diǎn)A，且與是共線向量，所以A，B，C三點(diǎn)共線，故選AD．10．【答案】BD【解析】由正方體的對(duì)稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形，故選BD．11．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，即，故A正確；對(duì)于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由及正弦定理化邊為角，可知，即，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，由是等邊三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正確，故選ACD．12．【答案】ACD【解析】如圖，該半正多面體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的．對(duì)于A，因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為，故正確；對(duì)于B，過三點(diǎn)的截面為正六邊形，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積，故正確；對(duì)于D，幾何體頂點(diǎn)數(shù)為12，有14個(gè)面，24條棱，滿足，故正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】，由純虛數(shù)的定義知，，解得，所以，故，故答案為．14．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，解得，故答案為?5．【答案】【解析】由題意得，則，所以，故答案為．16．【答案】或【解析】因?yàn)椋?，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．由題意得，，所以，解得或，所以復(fù)數(shù)或，故答案為或．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）或；（2）或或；（3）或．【解析】（1）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)位于第二象限，則，解得或．（2）若點(diǎn)位于第一或第三象限，則或，解得或或．（3）若點(diǎn)在直線上，則，解得或．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）連接，則，設(shè)，在中，，．（2），，∴．19．【答案】（1）20347；（2）m．【解析】（1）因圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為m，母線SA長(zhǎng)為m，則此圓錐的側(cè)面積為()．又每平方米大約需要鮮花60朵，于是得(朵)，所以裝飾這個(gè)屋頂大約需要20347朵鮮花．（2）將圓錐SO沿母線SA剪開展在同一平面內(nèi)得如圖所示的扇形，點(diǎn)A到點(diǎn)，連接，則為最小長(zhǎng)度，扇形弧長(zhǎng)等于圓錐SO底面圓周長(zhǎng)，于是得扇形圓心角，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以燈光帶的最小長(zhǎng)度為m．20．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由幾何體的特征，得到△ABC為直角三角形，由于大圓錐的軸截面為等邊三角形，故，所以，，所以．（2）球心到圓錐底面的距離，所以小圓錐的高為，故小圓錐的母線長(zhǎng)為R，大圓錐的母線長(zhǎng)為，所以，，，故．（3）由（1）得：兩個(gè)圓錐的體積和為，球的體積為，體積之比為．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴．（2），，由余弦定理得，∵，∴，解