2024年福建省中考數(shù)學(xué)試卷真題解讀及答案詳解

年中考真題完全解讀（福建卷）2024年福建省中考較2023年、2022年難度上有所提升,整體難度適中,知識(shí)點(diǎn)考查指向明確,層次分明,試題更具有區(qū)分度。該卷注重代數(shù)能力考查,同時(shí)也對(duì)幾何輔助線及模型提出更高的要求。此外,本卷高度重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)導(dǎo)向,試題多處以生活中的數(shù)學(xué)為素材,考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、探究意識(shí)。對(duì)比近幾年從各地質(zhì)檢及中考來看，都能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)考試與其他學(xué)科結(jié)合變多，材料分析題閱讀量增大，直接導(dǎo)致的結(jié)果就是很多學(xué)生理解上造成困難；有的是因?yàn)樾畔⒘慷l件；有的是因?yàn)榉菙?shù)學(xué)語言的描述導(dǎo)致理解有偏差，考查學(xué)生的獲取信息的能力，而并非機(jī)械式的刷題；題目考法更新穎，不是考純粹的刷題就可以的解決，重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本涵養(yǎng)，也考驗(yàn)學(xué)生的耐心綜上而言,本卷更注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的活學(xué)活用,同時(shí)重視數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,對(duì)數(shù)學(xué)思維也提出了更高的要求。2024年中考題目有一些明顯變化,比如,二次函數(shù)雖然依舊考查經(jīng)典的面積轉(zhuǎn)化問題,但是難度降低,由原來的25題變?yōu)?1題。23題考查代數(shù)能力,屬于數(shù)論的知識(shí),尤其第二問題中的數(shù)的特征問題。24題的題目考查空間能力、推理能力等。填空題16題屬于跨學(xué)科結(jié)合的題型。題號(hào)分值題型考查內(nèi)容考查點(diǎn)14選擇題實(shí)數(shù)無理數(shù)的定義24選擇題實(shí)數(shù)科學(xué)計(jì)數(shù)法34選擇題投影與視圖組合體的三視圖44選擇題平行線相交線與平行線的性質(zhì)54選擇題整式的運(yùn)算冪的運(yùn)算64選擇題統(tǒng)計(jì)與概率列表法、列樹狀圖求概率74選擇題圓圓的切線的性質(zhì)與圓周角定理84選擇題一元一次方程一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用94選擇題等腰三角形+軸對(duì)稱等腰三角形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)104選擇題二次函數(shù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)(增減性)114填空題因式分解提公因式分解因式124填空題一元一次不等式求一元一次不等式的解集134填空題統(tǒng)計(jì)與概率求中位數(shù)144填空題特殊平行四邊形正方形的性質(zhì)與判定+勾股定理解三角形154填空題反比例函數(shù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（對(duì)稱性）164填空題三角函數(shù)三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用+平行線的性質(zhì)178解答題實(shí)數(shù)運(yùn)算零指數(shù)冪、絕對(duì)值化簡、算術(shù)平方根188解答題全等三角形+菱形菱形的性質(zhì)+全等三角形的判定與性質(zhì)198解答題分式方程解分式方程208解答題統(tǒng)計(jì)與概率求加權(quán)平均數(shù)218解答題二次函數(shù)待定系數(shù)法求解析式+面積問題2210解答題尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖（作垂線）

平行線的判定與性質(zhì)+等腰直角三角形的性質(zhì)+全等三角形的判定與性質(zhì)+勾股定理2310解答題數(shù)論整式的運(yùn)算+因式分解

等式的性質(zhì)+反證法2412解答題投影與視圖幾何體的展開圖2514解答題圓的綜合圓的基本性質(zhì)+相似三角形的判定與性質(zhì)+平行四邊形的判定與性質(zhì)+全等三角形的判定與性質(zhì)+解直角三角形的相關(guān)計(jì)算一、重抓基礎(chǔ)，基礎(chǔ)是保障；這兩年的選填難度都比較低，一定要重視雙基，重抓雙基。基礎(chǔ)決定著下限！二、錯(cuò)題整理、分析+題型變化；從本次中考來看，考察了材料型閱讀的邏輯能力，同今年高考來說，主要的重難點(diǎn)考察方向都是邏輯思考，思維訓(xùn)練。建議多刷刷各類題型，不要定式刷題。三、速度訓(xùn)練、時(shí)間分配訓(xùn)練；很多孩子時(shí)間分配不合理，導(dǎo)致做題做不完，或者沒辦法靜下心來思考，這也是導(dǎo)致丟分很重要的一個(gè)因素，平時(shí)一定要做定時(shí)訓(xùn)練，嚴(yán)格把控時(shí)間，不會(huì)的該放就放，有時(shí)候遺憾也是一種美。2024年福建卷數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的。1．下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（

）A．?3 B．0 C．23 D．【答案】D【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定選擇項(xiàng)．本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π,2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001，等數(shù)．【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是5故選：D．2．據(jù)《人民日?qǐng)?bào)》3月12日電，世界知識(shí)產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請(qǐng)總量為27.26萬件，中國申請(qǐng)量為69610件，是申請(qǐng)量最大的來源國．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×10【答案】C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤∣a∣<10,n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟悉科學(xué)記數(shù)法概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】69610=6.961×故選：C．3．如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：這個(gè)立體圖形的俯視圖是一個(gè)圓形，圓形內(nèi)部中間是一個(gè)長方形．故選：C．4．在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由AB∥CD，可得∠CDB=60°，即可求解．【詳解】∵AB∥CD，∴∠CDB=60°，∵CD⊥DE，則∠CDE=90°，∴∠1=180°?∠CDB?∠CDE=30°，故選：A．5．下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)3?a3=a9 B．【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)運(yùn)算法則．利用同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)計(jì)算后判斷正誤．【詳解】解：a3a4a32a故選：B．6．哥德巴赫提出“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（

）A．14 B．13 C．12【答案】B【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是26故選：B7．如圖，已知點(diǎn)A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直線MN與⊙O相切，切點(diǎn)為C，且C為AB的中點(diǎn)，則∠ACM等于（

）A．18° B．30° C．36° D．72°【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為AB?的中點(diǎn)，三角形內(nèi)角和可求出∠OCA=【詳解】∵∠AOB=72°，C為AB的中點(diǎn)，∴∠AOC=36°∵OA=OC∴∠OCA=∵直線MN與⊙O相切，∴∠OCM=90°，∴∠ACM=∠OCM?∠OCA=18°故選：A．8．今年我國國民經(jīng)濟(jì)開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會(huì)消費(fèi)增長較快，第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（

A．1+4.7%x=120327 C．x1+4.7%=120327【答案】A【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%【詳解】解：將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，根據(jù)題意得：1+4.7%故選：A．9．小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°【答案】B【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對(duì)稱的性質(zhì)得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BOE=12∠AOBB.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判斷；C.由對(duì)稱的性質(zhì)得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過O作GM⊥OH，可得∠GOD=∠BOH，由對(duì)稱性質(zhì)得∠BOH=∠COH同理可證∠AOM=∠BOH，即可判斷；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF=90°，由對(duì)稱得∠AOB=∠DOC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，△OAB與△ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=12∠AOB∴∠BOF+∠DOF=90°，∴OB⊥OD，結(jié)論正確，故不符合題意；B.∠BOC不一定等于∠AOB，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得△OAB≌△ODC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，∴OE=OF，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過O作GM⊥OH，∴∠GOD+∠DOH=90°，∵∠BOH+∠DOH=90°，∴∠GOD=∠BOH，由對(duì)稱得∠BOH=∠COH，∴∠GOD=∠COH，同理可證∠AOM=∠BOH，∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．10．已知二次函數(shù)y=x2?2ax+aa≠0的圖象經(jīng)過AaA．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得y1>a B．無論實(shí)數(shù)aC．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得y2<0 D．無論實(shí)數(shù)a【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為x=??2a2=a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為a,a?a2，再分情況討論，當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)a<0【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為y=x∴二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為x=??2a2=a當(dāng)x=a2時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，0<a∴a>y當(dāng)a<0時(shí)，a<a∴a?a故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)a>0時(shí)，0<a<2a<3a，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，y2當(dāng)a<0時(shí)，3a<2a<a<0，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，y2>a，不一定大于故C正確符合題意；D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分11．因式分解：x2+x=．【答案】x【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【詳解】解：x12．不等式3x?2<1的解集是．【答案】x<1【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1，求解即可解．【詳解】解：3x?2<1，3x<3，x<1，故答案為：x<1．13．學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識(shí)，隨機(jī)抽取了12名學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識(shí)測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是．（單位：分）【答案】90【分析】本題考查了中位數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的求法，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，排序后，位于中間位置的數(shù)為中位數(shù)），結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：∵共有12個(gè)數(shù)，∴中位數(shù)是第6和7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是(90+90)÷2=90；故答案為：90．14．如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為．

【答案】2【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到HD=DG=1，進(jìn)而得到S△DGH，同理可得S△AHE=S△EFB=S△CGF=【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=90°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，∴HD=DG=1，∴S同理可得S△AHE∴四邊形EFGH的面積為4?1故答案為：2．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A,B都在第一象限．若A1,2，則點(diǎn)B【答案】2,1【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)A1,2得出k=2，設(shè)Bn，m，則nm=k=2，結(jié)合完全平方公式的變形與應(yīng)用得出m+2【詳解】解：如圖：連接OA∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與⊙O交于A,B∴2=設(shè)Bn，∵OB=OA=∴m則m+n∵點(diǎn)B在第一象限∴m+n=3把nm=k=2代入得m+∴m經(jīng)檢驗(yàn)：m1∵A∴B故答案為：216．無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對(duì)帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識(shí)，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f【答案】128【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出∠ADQ=40°，∠1=∠PDQ=30°，由AB∥QD得到∠BAD=∠ADQ=40°，求出F2=BD=AD?sin∠BAD=256，求出∠BDC=90°?∠1=60°在【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，∴∠ADQ=∠PDA?∠PDQ=70°?30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，∵AB∥QD，∴∠BAD=∠ADQ=40°，在Rt△ABD中，F(xiàn)=AD=400，∠ABD=90°∴F2由題意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC+∠1=90°，∴∠BDC=90°?∠1=60°在Rt△BCD中，BD=256,∠BCD=90°∴f2故答案為：128三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計(jì)算：(?1)0【答案】4【分析】本題考查零指數(shù)冪、絕對(duì)值、算術(shù)平方根等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪、絕對(duì)值、算術(shù)平方根分別計(jì)算即可；【詳解】解：原式=1+5?2=4．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，∠AEB=∠AFD，求證：BE=DF．【答案】見解析【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得AB=AD，∠B=∠D，再根據(jù)全等三角形的判定證明△ABE≌△ADFAAS【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵∠AEB=∠AFD，∴△ABE≌△ADFAAS∴BE=DF．19．（8分）解方程：3x+2【答案】x=10．【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：3x+2方程兩邊都乘x+2x?2，得3去括號(hào)得：3x?6+x解得x=10．經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的根．20．（8分）已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分：乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．(1)求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；(2)若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請(qǐng)給予證明：若不能，請(qǐng)舉例說明．【答案】(1)86；(2)不能，舉例見解析．【分析】本小題考查加權(quán)平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，（1）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的意義求解即可．【詳解】（1）由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為15000（2）不能．舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為14000因?yàn)?5<86，所以不能判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高．21．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D,△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)?3,4【分析】本題考查二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀等.（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)Pm,n，因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以m<0,n>0．依題意，得S△PDBS△CDB=2，即可得出nCO=2，求出n=2CO=4【詳解】（1）解：將A?2,0,C0,?2得4?2b+c=0c=?2解得b=1c=?2所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x（2）設(shè)Pm,n，因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以m<0,n>0依題意，得S△PDBS△CDB=2，即由已知，得CO=2，所以n=2CO=4．由m2解得m1所以點(diǎn)P坐標(biāo)為?3,4．22．（10分）如圖，已知直線l1∥l(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與(2)在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點(diǎn)A,B,C分別在l,l1,【答案】(1)見解析；(2)△ABC的面積為1或52【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：（1）先作出與l2的垂線，再作出夾在l（2）分∠BAC=90°,AB=AC；∠ABC=90°,BA=BC；∠ACB=90°,CA=CB三種情況，結(jié)合三角形面積公式求解即可【詳解】（1）解：如圖，直線l就是所求作的直線．（2）①當(dāng)∠BAC=90°,AB=AC時(shí)，∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l∴AB=AC=2∴S②當(dāng)∠ABC=90°,BA=BC時(shí)，分別過點(diǎn)A,C作直線l1的垂線，垂足為M,N∴∠AMB=∠BNC=90°．∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1∴CN=2,AM=1．∵∠MAB+∠ABM=90°，∠NBC+∠ABM=90°，∴∠MAB=∠NBC，∴△AMB≌△BNC，∴BM=CN=2．在Rt△ABM中，由勾股定理得A∴AB=5∴S③當(dāng)∠ACB=90°,CA=CB時(shí)，同理可得，S△ABC綜上所述，△ABC的面積為1或5223．（10分）已知實(shí)數(shù)a,b,c,m,n滿足3m+n=b(1)求證：b2(2)若a,b,c均為奇數(shù)，m,n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【答案】(1)證明見解析；(2)m,n不可能都為整數(shù)，理由見解析．【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．（1）根據(jù)題意得出b=a3m+n,c=amn，進(jìn)而計(jì)算（2）分情況討論，①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?m+n=b所以b=a3m+n則b===a因?yàn)閍,m,n是實(shí)數(shù)，所以a2所以b2（2）m,n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m,n都為整數(shù)，其可能情況有：①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．①當(dāng)m,n都為奇數(shù)時(shí)，則3m+n必為偶數(shù)．又3m+n=ba，所以因?yàn)閍為奇數(shù)，所以a3m+n必為偶數(shù)，這與b②當(dāng)m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則mn必為偶數(shù)．又因?yàn)閙n=ca，所以因?yàn)閍為奇數(shù)，所以amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾．綜上所述，m,n不可能都為整數(shù)．24．（12分）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．

圖1

圖2

圖3(1)直接寫出ADAB(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（

）圖4A．

B．C．

D．(3)卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價(jià)（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計(jì)方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【答案】(1)2；(2)C；(3)見解析．【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊和題意可知，GH=AE+FB，AH=DH，四邊形EFNM是正方形，得到EM=EF，即AG=EF，即可求解；（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；（3）由題意可得，每張型號(hào)Ⅲ卡紙可制作10個(gè)正方體，每張型號(hào)Ⅱ卡紙可制作2個(gè)正方體，每張型號(hào)Ⅰ卡紙可制作1個(gè)正方體，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，GH=AE+FB，AH=DH，∵四邊形EFNM是正方形，∴EM=EF，即AG=EF，∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，∵AH=DH，∴ADAB∴ADAB的值為：2（2）解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對(duì)應(yīng)面上，“祥”和“意”在對(duì)應(yīng)面上，而對(duì)應(yīng)面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形，且字體相反，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．（3）解：卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費(fèi)用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm，則要制作一個(gè)邊長為10∴型號(hào)Ⅲ卡紙，每張卡紙可制作10個(gè)正方體，如圖：型號(hào)Ⅱ卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個(gè)正方體，如圖：型號(hào)Ⅰ卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個(gè)正方體，如圖：∴可選擇型號(hào)Ⅲ卡紙2張，型號(hào)Ⅱ卡紙3張，型號(hào)Ⅰ卡紙1張，則10×2+2×3+1×1=27（個(gè)