微分方程課件

微分方程模型是在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或元件）動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，它是一種最基本的數(shù)學(xué)模型，利用它可得到描述系統(tǒng)（或元件）動態(tài)特性的其它形式的數(shù)學(xué)模型。

微分方程

系統(tǒng)x1(t)x2(t)y2(t)y1(t)

系統(tǒng)ax1(t)++bx2(t)ay1(t)+by2(t)一般微分方程：一、建立微分方程模型的步驟1、分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、工作原理以及信號傳遞變換過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量；2、從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，依次列寫各元件、部件關(guān)于中間變量的原始微分方程；3、消去中間變量，規(guī)一化得到一個(gè)描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程。二、典型系統(tǒng)微分方程模型列寫（一）電氣系統(tǒng)電阻、電感、電容是電路中最基本的三個(gè)元件。電氣系統(tǒng)遵循的基本定律為：克希荷夫電流定律和克希荷夫電壓定律，并由此來建立電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。電容兩端電壓為：圖2-1u0(t)Ui(t)CLR例2-1無源電器網(wǎng)如圖2-1所示，為輸入電壓，為輸出電壓，列寫其關(guān)于輸入輸出微分方程模型。解：設(shè)電路中電流為i(t)整理得:（二）機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)分為平動系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型的建立主要應(yīng)用牛頓定理來列寫。1、機(jī)械平動系統(tǒng)平動即直線運(yùn)動，其主要元件為質(zhì)量、彈簧、阻尼器。mf(t)x(t)質(zhì)量Cf(t)x1(t)x2(t)f(t)阻尼Kf(t)x1(t)x2(t)f(t)彈簧x2’(t)例2-2如圖(a)所示為組合機(jī)床動力滑臺銑平面時(shí)的情況。當(dāng)切削力變化時(shí)，滑臺可能產(chǎn)生振動，從而降低被加工工件的表面質(zhì)量。試列寫輸入輸出的微分方程模型。Fi(t)(a)Y0(t)工件解：首先將動力滑臺連同銑刀抽象成圖(b)所示的質(zhì)量—彈簧阻尼系統(tǒng)。

M—質(zhì)量；k—彈性系數(shù)；C—粘性阻尼系數(shù)；Fi(t)——輸入切削力；y0(t)——輸出位移。Fi(t)K(b)CM

根據(jù)牛頓第二定律，有：整理：2、機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)用途極其廣泛，其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是將平移的質(zhì)量、彈簧、阻尼器分別變成了轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧和旋轉(zhuǎn)阻尼。例2-2 如圖2-2所示旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，回轉(zhuǎn)體通過柔性軸（用扭轉(zhuǎn)彈簧K表示）與齒輪連接，回轉(zhuǎn)體的粘性摩擦系數(shù)為B。設(shè)齒輪扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)輸入量，回轉(zhuǎn)體扭轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)角輸出量。B-粘性液體圖2-2機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)K

解：齒輪轉(zhuǎn)動慣量為J，忽略軸承上的摩擦，則有：

消去中間變量，整理得微分方程：(三)機(jī)電系統(tǒng)

機(jī)電系統(tǒng)是由電氣系統(tǒng)與機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)構(gòu)成的，同時(shí)還遵循電磁學(xué)原理，由此可列出電機(jī)系統(tǒng)的微分方程模型。uaRaLaB_+if=常量+_ebM例2-3 如圖所示，電樞控制的電動機(jī)示意圖，電樞電壓Ua為輸入量，電動機(jī)角速度ω輸出量，B為電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量，D為轉(zhuǎn)子直徑，假定負(fù)載力矩為ML=0，試列寫出它的微分方程。解：當(dāng)電樞兩端加上電壓ua時(shí)，電樞電路中就產(chǎn)生電流ia，在磁場作用下產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩Mm，使電動機(jī)轉(zhuǎn)子加速轉(zhuǎn)動起來，獲得不斷加大的角速度ω。在磁場作用下，旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子又產(chǎn)生反電動勢eb。uaRaLaB_+if=常量+_ebM對于電樞回路電壓方