高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語(yǔ)1-1-23四種命題四種命題間的相互關(guān)系素養(yǎng)課件新人教A版選修2-1

1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系目標(biāo)定位重點(diǎn)難點(diǎn)1.了解命題的逆命題、否命題、逆否命題，能寫出原命題的其他三種命題2.能利用四種命題間的相互關(guān)系判斷命題的真假重點(diǎn)：正確分析四種命題的相互關(guān)系難點(diǎn)：正確寫出原命題的否命題1．四種命題的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作___________；互逆命題

如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作__________；如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫作______________．把第一個(gè)叫作原命題時(shí)，另三個(gè)可分別稱為原命題的___________、__________、__________.互否命題互為逆否命題逆命題否命題逆否命題2．四種命題結(jié)構(gòu)3．四種命題之間的關(guān)系若q，則p

若?p，則?q

若?q，則?p

4．四種命題的真假性之間的關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有________真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性____________．相同的沒(méi)有關(guān)系1．命題“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的否命題是(

)A．若a，b都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)B．若a，b都不是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)C．若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)D．若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)【答案】C【解析】否命題是把原命題的條件和結(jié)論都否定，注意“都是”的否定為“不都是”．2．與命題“若m∈M，則n?M”等價(jià)的命題是(

)A．若m∈M，則n?MB．若n?M，則m∈MC．若m?M，則n∈MD．若n∈M，則m?M【答案】D【解析】寫出等價(jià)命題就是寫出原命題的逆否命題．3．一個(gè)命題與它的逆命題、否命題、逆否命題這4個(gè)命題中(

)A．真命題的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)B．真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)C．真命題的個(gè)數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)D．上述判斷都不正確【答案】B【解析】因“原命題”與“逆否命題”同真假，“逆命題”與“否命題”同真假，故真命題是成對(duì)出現(xiàn)的.3．一個(gè)命題與它的逆命題、否命題、逆否命題這4個(gè)命題中(

)A．真命題的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)B．真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)C．真命題的個(gè)數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)D．上述判斷都不正確【答案】B【解析】因“原命題”與“逆否命題”同真假，“逆命題”與“否命題”同真假，故真命題是成對(duì)出現(xiàn)的.4．若a≠0，則ab≠0的逆命題是__________________．【答案】若ab≠0，則a≠0四種命題間的轉(zhuǎn)換及真假性的判斷【解題探究】確定命題的條件與結(jié)論，利用相關(guān)知識(shí)判斷．【解析】(1)逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線同垂直于平面α.假命題．否命題：如果兩條直線不同垂直于平面α，那么這兩條直線不平行．假命題．逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不同垂直于平面α.真命題．1．由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件和結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件和結(jié)論互換的同時(shí)，進(jìn)行否定即得逆否命題．如果原命題含有大前提，在寫出原命題的逆命題、否命題、逆否命題時(shí)，必須注意各命題中的大前提不變．2．四種命題真假的判斷關(guān)鍵是牢記四種命題的概念，原命題與它的逆否命題同真同假，原命題的否命題與逆命題也互為逆否命題，同真同假，故只判斷二者中的一個(gè)即可．1．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．(1)若a≤1，則方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并平分弦所對(duì)的弧；(3)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形；(4)若m≤0或n≤0，則m＋n≤0.【解析】(1)逆命題：若方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根，則a≤1.真命題．否命題：若a>1，則方程x2－2x＋a＝0無(wú)實(shí)根．真命題．逆否命題：若方程x2－2x＋a＝0無(wú)實(shí)根，則a>1.真命題．(2)逆命題：若一條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦所對(duì)的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．真命題．否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的?。婷}．逆否命題：若一條直線不過(guò)圓心或不平分弦所對(duì)的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．真命題．(3)逆命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形等底等高．真命題．否命題：若兩個(gè)三角形不等底或不等高，則這兩個(gè)三角形不全等．真命題．逆否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形不等底或不等高．假命題．(4)逆命題：若m＋n≤0，則m≤0或n≤0.真命題．否命題：若m>0且n>0，則m＋n>0.真命題．逆否命題：若m＋n>0，則m>0且n>0.假命題．【例2】已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，求證：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.【解題探究】證明原命題等價(jià)于證明逆否命題．【證明】(方法一)原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．a(chǎn)＋b<0，即a<－b，b<－a.等價(jià)命題的應(yīng)用∵函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．(方法二)假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a.∵函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．這與已知條件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假設(shè)不成立，故a＋b≥0.原命題與它的逆否命題的真假性相同，所以在直接證明一個(gè)命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題來(lái)達(dá)到證明原命題的目的．此證法與反證法不同，反證法是通過(guò)否定結(jié)論的反面而達(dá)到目的，而逆否命題證法是證明原命題的等價(jià)命題成立．2．判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假．關(guān)鍵詞的否定易出錯(cuò)【示例】x，y∈R，寫出命題“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假．【錯(cuò)解】逆命題為：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，是真命題．否命題為：若x2＋y2≠0，則x，y全不為零，是假命題．逆否命題為：若x，y全不為零，則x2＋y2≠0，是真命題．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)因是對(duì)“x，y全為零”的否定，應(yīng)為“x，y不全為零”，而不是“x，y全不為零”．【正解】逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，是真命題．否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，是真命題．逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，是真命題．【警示】在對(duì)命題的條件和結(jié)論進(jìn)行否定時(shí)，不能一概在關(guān)鍵詞前加“不”，應(yīng)結(jié)合命題研究的對(duì)象進(jìn)行分析．一些常見的詞語(yǔ)與它的否定詞對(duì)照表如下：原詞語(yǔ)等于大于小于是都是至多n個(gè)至少n個(gè)能否定詞語(yǔ)不等于不大于不小于不是不都是至少n＋1個(gè)至多n－1個(gè)不能1．寫出一個(gè)命題的其他三種形式，關(guān)鍵是正確地將原命題改寫成“若p，則q”的形式及正確地對(duì)原命題的條件和結(jié)論進(jìn)行否定．對(duì)存在大前提的命題注意在寫其他三種命題時(shí)不要改變，另外在一個(gè)命題及其他三種形式中原命題是人為指定的，要注意它們之間的關(guān)系．2．在判斷命題的真假時(shí)，要注意互為逆否的兩個(gè)命題的等價(jià)性．1．命題“若a

＞b，則a＋c

＞b＋c”的否命題是(

)A．若a≤b，則a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，則a≤bC．若a＋c

＞b＋c，則a

＞bD．若a

＞b，則a＋c≤b＋c【答案】A

【解析】命題“若a＞b，則a＋c＞b＋c”的否命題是“若a

≤

b，則a

＋c

≤

b

＋c”．故選A．2．與命題“能被6整除的整數(shù)，一定能被3整除”等價(jià)的命題是(

)A．能被3整除的整數(shù)，一定能被6整除B．不能被3整除的整數(shù)，一定不能被6整除C．不能被6整除的整數(shù)，一定不能被3整除D．不能被6整除的整數(shù)，能被3整除【答案】B

【解析】即寫命題“若一個(gè)整數(shù)能被6整除，則這個(gè)整數(shù)一定能被3整除”的逆否命題．3．(2019年廣西玉林期末)若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是(

)A．互逆命題 B．互否命題C．互為逆否命題 D．以上都不正確【答案】A

【解析】設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若?A，則?B”，r為“若?B，則?A”．故q與r為互逆命題．4．給出命題“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________．【答案】3

【解析】原命題及逆命題都為真命題，故否命題、逆否命題也為真命題．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞3．(2019年廣西玉林期末)若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是(

)A．互逆命題 B．互否命題C．互為逆否命題 D．以上都不正確【答案】A

【解析】設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若?A，則?B”，r為“若?B，則?A”．故q與r為互逆命題．1．命題“若a

＞b，則