高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理1-1-1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用課件新人教A版選修2-3

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用目標(biāo)定位重點(diǎn)難點(diǎn)1.掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.重點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用．難點(diǎn)：正確理解“完成一件事”的含義.1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．推廣：如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．m＋n

m1＋m2＋…＋mn

2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．推廣：如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝____________種不同的方法．m·n

m1·m2·…·mn

1．某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少要買其中一本，則購買方法共有(

)A．1種 B．2種C．3種 D．4種【答案】C2．某商場(chǎng)共有4個(gè)門，購物者若從一個(gè)門進(jìn)，則必須從另一個(gè)門出，則不同走法的種數(shù)是(

)A．8 B．7C．11 D．12【答案】D3．一個(gè)科技小組有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)，從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科比賽，共有不同的選派方法________種．【答案】84．有4名同學(xué)參加3項(xiàng)不同的比賽，每名學(xué)生必須且只需參加一項(xiàng)比賽，則不同的結(jié)果有________種．【答案】81【例1】一班有學(xué)生50人，其中男生30人；二班有學(xué)生60人，其中女生30人；三班有學(xué)生55人，其中男生35人．(1)從中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同選法？(2)從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？【解題探究】利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可．分類加法計(jì)數(shù)原理【解析】(1)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席有3類不同的選法．第一類，從一班選一名，有50種不同的方法；第二類，從二班選一名，有60種不同的方法；第三類，從三班選一名，有55種不同的方法．故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席的選法共有50＋60＋55＝165種．【解析】(1)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席有3類不同的選法．第一類，從一班選一名，有50種不同的方法；第二類，從二班選一名，有60種不同的方法；第三類，從三班選一名，有55種不同的方法．故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席的選法共有50＋60＋55＝165種．(2)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部部長(zhǎng)有3類不同的選法．第一類，從一班男生中選有30種不同的方法；第二類，從二班男生中選有30種不同的方法；第三類，從三班女生中選有20種不同的方法．故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部部長(zhǎng)有30＋30＋20＝80種不同的方法．8運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理要注意“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法．1．有三個(gè)袋子，分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)，白色小球5個(gè)，黃色小球4個(gè)，若從三個(gè)袋子中任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？【解析】從三個(gè)袋子中任取一個(gè)小球，有3類不同方案．第1類，從第一個(gè)袋子中任取一個(gè)紅色小球，有6種不同的取法；第2類，從第二個(gè)袋子中任取一個(gè)白色小球，有5種不同的取法；第3類，從第三個(gè)袋子中任取一個(gè)黃色小球，有4種不同的取法．其中，從這三個(gè)袋子的任意一個(gè)袋子中取一個(gè)小球都能獨(dú)立地完成“任取一個(gè)小球”這件事，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(種)．【例2】某商店現(xiàn)有甲種型號(hào)電視機(jī)10臺(tái)，乙種型號(hào)電視機(jī)8臺(tái)，丙種型號(hào)電視機(jī)12臺(tái)，從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選1臺(tái)檢驗(yàn)，有多少種不同的選法？【解題探究】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可．分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】某商店現(xiàn)有甲種型號(hào)電視機(jī)10臺(tái)，乙種型號(hào)電視機(jī)8臺(tái)，丙種型號(hào)電視機(jī)12臺(tái)，從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選1臺(tái)檢驗(yàn)，有多少種不同的選法？【解題探究】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可．分步乘法計(jì)數(shù)原理【解析】從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選1臺(tái)檢驗(yàn)可分三步完成．第一步，從甲種型號(hào)中選1臺(tái)，有10種不同的方法；第二步，從乙種型號(hào)中選1臺(tái)，有8種不同的方法；第三步，從丙種型號(hào)中選1臺(tái)，有12種不同的方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得10×8×12＝960(種)．因此共有960種不同的方法．8運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理要注意“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法.【例3】某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的1種樂器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？【解題探究】本題涉及分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，在分類中又包含分步．兩個(gè)原理的應(yīng)用【解析】由題意知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(稱為“多面手”)，只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人．按“多面手”的選法分為兩類．(1)“多面手”入選，則有6＋2＝8種選法；(2)“多面手”不入選，則有6×2＝12種選法．因此選法共有8＋12＝20(種)．8在解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真閱讀題目?jī)?nèi)容，弄清楚題意，才能正確地選擇解題方法，另外要把兩個(gè)原理理解透徹，否則解題時(shí)易發(fā)生分類不全或分類有疊加的現(xiàn)象，即“重復(fù)”和“遺漏”．3．設(shè)有5幅不同的國(guó)畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同選法？(2)從這些國(guó)畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種的畫布置房間，有幾種不同的選法？【解析】(1)分為三類，從國(guó)畫中選，有5種不同選法；從油畫中選，有2種不同選法；從水彩畫中選，有7種不同選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14種選法．(2)分為三步，國(guó)畫、油畫、水彩畫各有5,2,7種不同選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70種選法．(3)分為三類，1幅選自國(guó)畫，1幅選自油畫，有5×2＝10種選法；1幅選自國(guó)畫，1幅選自水彩畫，有5×7＝35種選法；1幅選自油畫，1幅選自水彩畫，有2×7＝14種選法．再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有10＋35＋14＝59種不同選法．【示例】甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍，每門學(xué)科只有一名冠軍產(chǎn)生，有多少種不同的冠軍獲得情況？未選準(zhǔn)分步依據(jù)致錯(cuò)錯(cuò)解一：分4步完成這件事．第1步，第一名同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠軍，有可能1個(gè)也沒獲得，也可能獲得1個(gè)或2個(gè)或全部，因此，共有4種不同情況；同理，第2,3,4步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠軍，都各自有4種不同情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×4×4×4＝44＝256種不同的冠軍獲得情況．錯(cuò)解二：分4步完成這件事．第1步，第一名同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠軍，有3種不同情況；同理，第2,3,4步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠軍，都各自有3種不同情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×3×3×3＝34＝81種不同的冠軍獲得情況．錯(cuò)因分析：要完成的“一件事”是“爭(zhēng)奪3門學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽的冠軍且每門學(xué)科只有一名冠軍產(chǎn)生”．但錯(cuò)解一、二中都有可能出現(xiàn)某一學(xué)科冠軍被2人、3人，甚至4人獲得的情形，另外錯(cuò)解一中還可能出現(xiàn)某一學(xué)科沒有冠軍產(chǎn)生的情況．正解：可先舉例說出其中的一種情況，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)知識(shí)競(jìng)賽的冠軍分別是甲、甲、丙，可見研究的對(duì)象是“3門學(xué)科”，只有3門學(xué)科各產(chǎn)生一名冠軍，才完成了這件事，而4名同學(xué)不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分3步．第1步，產(chǎn)生第1個(gè)學(xué)科冠軍，它一定被其中一名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得情況；第2步，產(chǎn)生第2個(gè)學(xué)科冠軍，因?yàn)閵Z得第1個(gè)學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭(zhēng)奪第2個(gè)學(xué)科的冠軍，所以第2個(gè)學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭(zhēng)奪，有4種不同的獲得情況；第3步，同理，產(chǎn)生第3個(gè)學(xué)科冠軍，也有4種不同的獲得情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×4×4＝43＝64種不同的冠軍獲得情況．警示：用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問題時(shí)，哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù)．1．“分類”是加法原理的標(biāo)志，要做到：(1)遵從分類標(biāo)準(zhǔn)，即在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．(2)遵從分類原則，即分類不重不漏，要注意類與類之間的獨(dú)立性和并列性．分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法．2．“分步”是乘法原理的標(biāo)志：(1)遵從分步標(biāo)準(zhǔn)，即一類中的分步標(biāo)準(zhǔn)的一致性．(2)遵從分步原則，即分步要做到步驟關(guān)聯(lián)，步驟連續(xù)，步驟獨(dú)立，確保對(duì)每一類事件的分步不重不漏．1.(2019年內(nèi)蒙古月考)書架上有不同的語文書10本，不同的英語書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，現(xiàn)從中任選一本閱讀，不同的選法有(

)A.22種B.350種 C.32種 D.20種【答案】A

【解析】任選一本有三類選法，即選語文書、英語書、數(shù)學(xué)書，不同的選法分別有10種，7種，5種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法有10+7+5=22種.故選A.

2.(2019年天津期末)四大名著是中國(guó)文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》、《西游記》(每種名著至少有5本)，若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為()A.45B.54 C.44 D.55【答案】A

【解析】每一名同學(xué)都有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的借閱方案種數(shù)為4×4×4×4×4=45.故選A.3.(2020年郴州模擬)用六種不同的顏色給如圖所示的六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有

種.【答案】4320【解析】分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×4×3＝4320(種)不同的涂色方法.4．7名學(xué)生中，有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，另2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋，現(xiàn)在從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？【解析】按“多面手”的選法分為三類．多面手不選，有3×2＝6種選法；多面手選1人，有2×5＝10種選法；多面手選2人，有2種選法．因此共有6＋10＋2＝18種選法．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞【答案】4320【解析】分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4