三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)）專題09 平面向量（解析版）

專題09平面向量考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1：平面向量線性運(yùn)算2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時(shí)，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視．預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)．考點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)3：求模問(wèn)題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題考點(diǎn)4：求夾角問(wèn)題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)5：平行垂直問(wèn)題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問(wèn)題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)1：平面向量線性運(yùn)算1．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．考點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算2．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．3．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.4．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.5．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，可得，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無(wú)法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.考點(diǎn)3：求模問(wèn)題6．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【解析】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)椋?，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.7．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋裕瑥亩?故選：B.8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量滿足，所以.故選：B9．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D考點(diǎn)4：求夾角問(wèn)題10．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.11．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.12．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C考點(diǎn)5：平行垂直問(wèn)題13．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題））已知，且，則的值為．【答案】15【解析】，，解得．故答案為：15．14．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以即，故，故選：D.15．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量．若，則．【答案】/【解析】由題意知：，解得.故答案為：.16．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．17．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【解析】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問(wèn)題18．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】解法一：因?yàn)椋?，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)?，可知：?dāng)時(shí)，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，則，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為；故答案為：；.19．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.20．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D21．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為，若，則的最大值為【答案】【解析】方法一：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：，，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)．故答案為：；．22．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．【答案】【解析】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?故答案為：．23．（2023