2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算考情清單考點(diǎn)清單題型清單目錄題型1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程及其參數(shù)題型2曲線的公切線問(wèn)題考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是

=

,稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.注意f'(x)與f'(x0)的區(qū)別與聯(lián)系:f'(x)是一個(gè)函數(shù),f'(x0)是函數(shù)f'(x)在x0處的函數(shù)值(常數(shù)),所

以[f'(x0)]'=0.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率.相應(yīng)地,切線

方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),|f'(x)|的大小反映了f(x)圖象變

化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

'=

(g(x)≠0).考點(diǎn)3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)

數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.即練即清判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)求f'(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f'(x0).

(

)(2)函數(shù)y=xcosx-sinx的導(dǎo)數(shù)為y=xsinx.

(

)(3)曲線y=

在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為y=5x+2.

(

)××√題型1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程及其參數(shù)1.求曲線的切線方程有兩種情況:(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程,即求y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)求曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,此時(shí)P點(diǎn)一般不是切點(diǎn).步驟如下:①設(shè)切點(diǎn)為P'(x1,f(x1)).②寫出在點(diǎn)P'(x1,f(x1))處的切線方程:y-f(x1)=f'(x1)·(x-x1).③將P(x0,y0)代入切線方程,求出x1.④將x1代入y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)即可求出.2.已知切線方程求參數(shù)的方法當(dāng)曲線的切線方程是已知條件時(shí),常合理選擇以下三個(gè)條件的表達(dá)式解題:(1)切點(diǎn)在切線上;(2)切點(diǎn)在曲線上;(3)在切點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.例1

(2023全國(guó)甲文,8,5分)曲線y=

在點(diǎn)

處的切線方程為

(

)A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

解析

由y=

,可得y'=

,則y'|x=1=

,∴曲線在點(diǎn)

處的切線方程為y-

=

(x-1),即y=

x+

,故選C.

答案

C即練即清1.已知函數(shù)f(x)=x+

.若曲線y=f(x)存在兩條過(guò)點(diǎn)(2,0)的切線,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,1)∪(8,+∞)B.(-∞,-1)∪(8,+∞)C.(-∞,0)∪(8,+∞)D.(-∞,-8)∪(0,+∞)D題型2曲線的公切線問(wèn)題1.求曲線的公切線的方法設(shè)公切線l與曲線y=f(x)和y=g(x)的切點(diǎn)分別是P1(x1,f(x1))和P2(x2,g(x2)),求出切線方程分

別為y=f'(x1)x+f(x1)-x1

f'(x1)和y=g'(x2)x+g(x2)-x2g'(x2),則這兩條直線的斜率和縱截距分別

相等,即

解得x1和x2,代入切線方程求得公切線.2.已知公切線求參數(shù)值(范圍)的步驟(1)分別設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),求出兩曲線的切線方程;(2)根據(jù)斜率和縱截距相等列關(guān)于切點(diǎn)橫

坐標(biāo)的方程組;(3)消元得含參數(shù)的方程;(4)分離參數(shù),通過(guò)求函數(shù)的值域求參數(shù)的取值

范圍.3.判斷或證明公切線條數(shù)的步驟(1)分別設(shè)切點(diǎn),求出切線方程;(2)利用兩切線重合,建立關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組;(3)

消元得某一切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程;(4)通過(guò)判斷方程在規(guī)定范圍內(nèi)解的個(gè)數(shù)判斷公切線的

條數(shù).例2

(2016課標(biāo)Ⅱ理,16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)

的切線,則b=

.

解析

直線y=kx+b與曲線y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).由y=lnx+2得y'=

,由y=ln(x+1)得y'=

,∴k=

=

,∴x1=

,x2=

-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A

,-lnk+2