八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)北師大版1

第頁(yè)《數(shù)學(xué)》（八年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（北師大版）第一章勾股定理1.勾股定理已知直角三角形,得邊的關(guān)系直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即
2.勾股定理的逆定理由邊的關(guān)系,判斷直角三角形如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系
,那么這個(gè)三角形是直角三角形。3.勾股數(shù)：滿足
的三個(gè)正整數(shù)a,b,c,稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有:（6,8,10）（3,4,5）（5,12,,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……規(guī)律:（1）、短直角邊為奇數(shù),另一條直角邊及斜邊是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù),兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且a＜b時(shí),如果
,那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如:（3,4,5）（5,12,,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶數(shù),2n(n＞1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別是：
如:（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4.常見題型應(yīng)用:（1）已知任意兩條邊的長(zhǎng)度,求第三邊/斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面積……（2）已知任意一條的邊長(zhǎng)以及另外兩條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,求各邊的長(zhǎng)度//斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面積……（3）判定三角形形狀:
銳角三角形,
直角三角形,
鈍角三角形判定直角三角形a..找最長(zhǎng)邊；b.比較長(zhǎng)邊的平方及另外兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；c.確定形狀第二章實(shí)數(shù)1.無(wú)理數(shù)的引入。無(wú)理數(shù)的定義無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。一、實(shí)數(shù)的概念及分類1.實(shí)數(shù)的分類 2.無(wú)理數(shù):無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。在理解無(wú)理數(shù)時(shí),要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)之,歸納起來(lái)有四類:（1）開方開不盡的數(shù),如
等根號(hào)a（a為非完全平方數(shù)或非立方數(shù)）。（2）有特定意義的數(shù),如圓周率π（π=3.14159265…),或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù),如
+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001…；0.585885888588885……(相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次加1等；（4）某些三角函數(shù)值,如sin60o等；二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值1.相反數(shù)實(shí)數(shù)及它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),零的相反數(shù)是零）,從數(shù)軸上看,互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果a及b互為相反數(shù),則有a+b=0,a=—b,反之亦成立。2.絕對(duì)值在數(shù)軸上,一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及原點(diǎn)的距離,叫做該數(shù)的絕對(duì)值。（|a|≥0）。零的絕對(duì)值是它本身,也可看成它的相反數(shù),若|a|=a,則a≥0；若|a|=-a,則a≤0。3.倒數(shù)如果a及b互為倒數(shù),則有ab=1,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4.數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí),要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想,理解實(shí)數(shù)及數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,并能靈活運(yùn)用。5.估算.注意：（1）近似計(jì)算時(shí)，中間過程要多保留一位；（2）要求記憶:


.三、平方根、算數(shù)平方根和立方根1.平方根和算術(shù)平方根:（1）概念:如果
,那么
是
的平方根,記作:
；讀作“正、負(fù)根號(hào)
”,其中
叫做
的算術(shù)平方根,讀作根號(hào)
。（2）性質(zhì)：①當(dāng)
≥0時(shí),
≥0；當(dāng)
＜０時(shí),
無(wú)意義；②＝；③。（區(qū)分②、③）性質(zhì):正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè),零的算術(shù)平方根是零。性質(zhì):一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。（3）開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算,叫做開平方。注意:
的雙重非負(fù)性:
2.立方根:（1）概念：若
,那么
是
的立方根（或三次方根）,記作：
；（2）性質(zhì):①
；②
；③
＝
性質(zhì):一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。注意：
,這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。區(qū)分:平方根、立方根的性質(zhì)根源:開平方是平方的逆運(yùn)算；開立方是立方的逆運(yùn)算。正數(shù)和負(fù)數(shù)的平方后為正,所以,只有非負(fù)數(shù)才可以開平方,因此一個(gè)非0正數(shù)開平方后有2個(gè)；而任何數(shù)的立方后的符號(hào)及原數(shù)的符號(hào)一致,所以,任何數(shù)都可以開立方,一個(gè)數(shù)開立方后只有1個(gè),符號(hào)及原數(shù)的符號(hào)也一致。四、實(shí)數(shù)大小的比較1.實(shí)數(shù)比較大小:正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù),右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小。在數(shù)軸上,右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。2.實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較:在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較:設(shè)a、b是實(shí)數(shù),（3）求商比較法:設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù),
（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù),則
。（5）平方法:①設(shè)
,則
②設(shè)
,則
。③同號(hào)的有理數(shù)及無(wú)理數(shù)、同號(hào)的無(wú)理數(shù)及無(wú)理數(shù)大小比較時(shí)常用平方法。如:比較
及
；
及
（6）倒數(shù)法：設(shè)
,則
；設(shè)
,則
規(guī)律:同號(hào)取倒（數(shù)）反向五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）1.含有二次根號(hào)“
”；被開方數(shù)
必須是非負(fù)數(shù),即:
。2、性質(zhì):（1）非負(fù)性（2）
（
中前提,被開方數(shù)
）（3）（中隱含被開方數(shù)）（4）；（）（前提根號(hào)要有意義）（5）
；（
）（前提式子和根號(hào)要有意義,）拓展:三個(gè)重要非負(fù)數(shù):
.注意:非負(fù)數(shù)之和為0
它們都是0.3、運(yùn)算結(jié)果若含有“
”形式,必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）六種運(yùn)算:加、減、乘、除、乘方、開方（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序先算乘方和開方,再算乘除,最后算加減,如果有括號(hào),就先算括號(hào)里面的。（3）運(yùn)算律加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律（4）及實(shí)數(shù)有關(guān)的概念:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),相反數(shù),倒數(shù),絕對(duì)值的意義及有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全一致；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律同樣成立。每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過來(lái),數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù),即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。因此,數(shù)軸正好可以被實(shí)數(shù)填滿。第三章位置的確定一、在平面內(nèi),確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念1.平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi),兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸,組成平面直角坐標(biāo)系。其中,水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸,取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸,取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面,叫做坐標(biāo)平面。2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置,把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分,分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)）,不屬于任何一個(gè)象限。3.點(diǎn)的坐標(biāo)的概念對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線,垂足在上x軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)（a,b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。點(diǎn)的坐標(biāo)用（a,b）表示,其順序是橫坐標(biāo)在前,縱坐標(biāo)在后,中間有“,”分開,橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì),當(dāng)
時(shí),（a,b）和（b,a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。平面內(nèi)點(diǎn)的及有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。4.不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征（1）、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征（結(jié)合圖形,過點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線,垂足在上x軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)
在坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎?負(fù)向?yàn)樨?fù)）點(diǎn)在第一象限點(diǎn)在第二象限點(diǎn)在第三象限點(diǎn)在第四象限（2）、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征點(diǎn)P(x,y)在x軸上
,x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上
,y為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)既在x軸上,又在y軸上
x,y同時(shí)為零,即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,0）即原點(diǎn)（3）、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x及y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x及y互為相反數(shù)（4）、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。（5）、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征①點(diǎn)P及點(diǎn)
關(guān)于x軸對(duì)稱（上下）
橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為
（x,-y）②點(diǎn)P及點(diǎn)
關(guān)于y軸對(duì)稱（左右）
縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為
（-x,y）③點(diǎn)P及點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù),即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為
（-x,-y）規(guī)律:關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變,另一個(gè)變相反；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,兩個(gè)分別變相反。(6)、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離（結(jié)合圖形理解）點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離:（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于（2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于（由勾股定理可得）三、坐標(biāo)變化及圖形變化的規(guī)律:坐標(biāo)（x,y）的變化坐標(biāo)（x，y）的變化圖形的變化x×a或y×a被橫向或縱向拉長(zhǎng)（壓縮）為原來(lái)的a倍x×a,y×a放大（縮?。樵瓉?lái)的a倍x×（-1）或y×（-1）關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱x×（-1）,y×（-1）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
或
,其中
沿x軸（）左（+）右或y軸（+）上（）下平移a個(gè)單位
,
,其中
沿x軸（
）左（+）右平移a個(gè)單位,再沿y軸（+）上（
）下平移a個(gè)單第四章一次函數(shù)一、函數(shù):一般地,在某一變化過程中有兩個(gè)變量x及y,如果給定一個(gè)x值,相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值,那么我們稱y是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量。二、自變量取值范圍使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實(shí)數(shù)）,分式（分母不為0）、二次根式（偶次根式）（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實(shí)際意義幾方面考慮。三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)（1）關(guān)系式（解析）法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示,這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟（1）列表:列表給出自變量及函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值（2）描點(diǎn):以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)（3）連線：按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)1.正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地,若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系可以表示成
（k,b為常數(shù),k
0）的形式,則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量,y為因變量）。特別地,當(dāng)一次函數(shù)
中的b=0時(shí)（即
）（k為常數(shù),k
0）,稱y是x的正比例函數(shù)。2.一次函數(shù)的圖像:所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3.一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征:①、一次函數(shù)
的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0,b）的直線；正比例函數(shù)
的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）的直線。②、由于一次函數(shù)
的圖象是一條直線,所以一次函數(shù)
的圖象也稱為直線
。③、由于兩點(diǎn)確定一條直線,因此在畫一次函數(shù)
的圖象時(shí),只要描出：及
軸的交點(diǎn)（令
,求出
）,及
軸的交點(diǎn)（令
,求出
）,即（
兩點(diǎn)即可,畫正比例函數(shù)
的圖象時(shí),只要描出點(diǎn)（0,0）,（1,
）即可。④、
的正負(fù)決定直線的傾斜方向,
的大小決定直線的傾斜程度,即
越大,直線及
軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡）,
越小,直線及
軸的相交的銳角度數(shù)越小（直線緩）。⑤、的正負(fù)決定直線及軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)
時(shí),直線及
軸的交于正半軸上。當(dāng)
時(shí),直線及
軸交于負(fù)半軸上。當(dāng)
時(shí),直線經(jīng)過原點(diǎn),是正比例函數(shù),正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4.一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。當(dāng)
＞0時(shí),
隨
的增大而增大,圖象從左到右呈上升趨勢(shì)；當(dāng)
＜0時(shí),
隨
的增大而減小,圖象從左到右呈下降趨勢(shì)。函數(shù)圖象性質(zhì)一次函數(shù)（1）當(dāng)
時(shí),
隨
的增大而增大,圖象必經(jīng)過一三象限。①
時(shí),過一二三象限②
時(shí),只過一三象限③
時(shí),過一三四象限時(shí)（2）當(dāng)
時(shí),
隨
的增大而減小,圖象必過二四象限。①
時(shí),過一二四象限②
時(shí),只過二四象限③
時(shí),過二三四象限③時(shí)，過二三四象限正比例函數(shù)圖象過原點(diǎn)⑴當(dāng)
時(shí),
隨
的增大而增大,圖象必過一三象限⑵當(dāng)
時(shí),
隨
的增大而減小,圖象必過二四象限。5.正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù),就是要確定正比例函數(shù)定義式
（k
0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式
（k
0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。（1）、確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件①由于正比例函數(shù)
中只有一個(gè)待定系數(shù)
,故只需一個(gè)條件（如一對(duì)
的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得
的值。②由于一次函數(shù)
中有兩個(gè)待定系數(shù)
,需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于
的方程,求得
的值,這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)
的值。（2）待定系數(shù)法先設(shè)式子中的未知系數(shù),再根據(jù)條件求出未知系數(shù),從而求出式子的方法叫做待定系數(shù)法。（3）用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為。②將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,解方程（方程組）。③求出
的值,得函數(shù)表達(dá)式。6.一次函數(shù)及一元一次方程的關(guān)系:任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為:kx+b=0（k、b為常數(shù),k≠0）的形式.而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù),k≠0）.當(dāng)函數(shù)值
時(shí),即kx+b=0就及一元一次方程完全相同.結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù),k≠0）的形式.所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值
時(shí),求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看,這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它及x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．7、一次函數(shù)
的圖象及坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法:及
軸的交點(diǎn):令
,求出
,得
；及
軸的交點(diǎn)：令
,求出
,得
第五章二元一次方程組1.二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。2.二元一次方程的解適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。3.二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組。4二元一次方程組的解二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解,叫做這個(gè)二元一次方程組的解。5.二元一次方程組的解法（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法（無(wú)論是代入消元法還是加減消元法,其目的都是將“二元一次方程”變?yōu)椤耙辉淮畏匠獭?所謂之“消元”）6.一次函數(shù)及二元一次方程（組）的關(guān)系:（1）一次函數(shù)及二元一次方程的關(guān)系:每個(gè)二元一次方程都可以看成一次函數(shù),直線y=kx+b上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)
都是它所對(duì)應(yīng)的二元一次方程
的解
（2）一次函數(shù)及二元一次方程組的關(guān)系:求二元一次方程組的解,可看成求兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)。二元一次方程組的解可看作兩個(gè)一次函數(shù)和
的圖象的交點(diǎn)
。反之,可以通過求二元一次方程組的解,求出兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)當(dāng)函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí),說(shuō)明相應(yīng)的二元一次方程組有解；當(dāng)函數(shù)圖象