中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)+題型講練測(cè)第14講 二次函數(shù)的應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）

【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第14講二次函數(shù)的應(yīng)用目錄【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01最大利潤(rùn)/銷量問(wèn)題題型02方案選擇問(wèn)題題型03拱橋問(wèn)題題型04隧道問(wèn)題題型05空中跳躍軌跡問(wèn)題題型06球類飛行軌跡題型07噴泉問(wèn)題題型08圖形問(wèn)題題型09圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題題型10二次函數(shù)綜合問(wèn)題-線段、周長(zhǎng)問(wèn)題題型11二次函數(shù)綜合問(wèn)題-面積周長(zhǎng)問(wèn)題題型12二次函數(shù)綜合問(wèn)題-角度問(wèn)題題型13二次函數(shù)綜合問(wèn)題-特殊三角形問(wèn)題題型14二次函數(shù)綜合問(wèn)題-特殊四邊形問(wèn)題【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】題型01最大利潤(rùn)/銷量問(wèn)題1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過(guò)10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)y=?0.2x+8.4(1≤x≤10且x為整數(shù))．(2)李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是140元．【分析】（1）根據(jù)題意列出y=8.2?0.2(x?1)，得到結(jié)果．（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），利用（1）結(jié)果，列出銷售利潤(rùn)w與x的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大利潤(rùn)．【詳解】（1）解：由題意得y=8.2?0.2(x?1)=?0.2x+8.4∴批發(fā)價(jià)y與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=?0.2x+8.4(1≤x≤10，且x為整數(shù))．（2）解：設(shè)李大爺銷售這種水果每天獲得的利潤(rùn)為w元?jiǎng)tw=[12?0.5(x?1)?y]?10x=[12?0.5(x?1)?(?0.2x+8.4)]?10x=?3∵a=?3<0∴拋物線開口向下∵對(duì)稱軸是直線x=∴當(dāng)1≤x≤416時(shí)，w的值隨∵x為正整數(shù)，∴此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，w當(dāng)416≤x≤10時(shí)，w的值隨∵x為正整數(shù)，∴此時(shí)，當(dāng)x=7時(shí)，w∵140>138∴李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是140元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利用二次函數(shù)的增減性來(lái)解答，解題關(guān)鍵是理解題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案進(jìn)行解決．2．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）為推進(jìn)“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批圖書．已知購(gòu)買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購(gòu)買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元．(1)科技類圖書與文學(xué)類圖書的單價(jià)分別為多少元？(2)為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對(duì)科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)（文學(xué)類圖書售價(jià)不變）：購(gòu)買科技類圖書超過(guò)40本但不超過(guò)50本時(shí)，每增加1本，單價(jià)降低1元；超過(guò)50本時(shí)，均按購(gòu)買50本時(shí)的單價(jià)銷售．社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種圖書共計(jì)100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過(guò)60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購(gòu)書款？【答案】(1)科技類圖書的單價(jià)為38元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為26元．(2)社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元購(gòu)書款．【分析】（1）設(shè)科技類圖書的單價(jià)為x元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為y元，然后根據(jù)題意可列出方程組進(jìn)行求解；（2）設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購(gòu)書款，購(gòu)買科技類圖書m本，則文學(xué)類圖書有（100-m）本，由（1）及題意可分當(dāng)30≤m<40時(shí)，當(dāng)40≤m≤50時(shí)及當(dāng)50<m≤60時(shí)，進(jìn)而問(wèn)題可分類求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)科技類圖書的單價(jià)為x元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為y元，由題意得：2x+3y=1544x+5y=282，解得：x=38答：科技類圖書的單價(jià)為38元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為26元．（2）解：設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購(gòu)書款，購(gòu)買科技類圖書m本，則文學(xué)類圖書有（100-m）本，由（1）可得：①當(dāng)30≤m<40時(shí)，則有：w=38m+26100?m∵12＞0，∴當(dāng)m=30時(shí)，w有最小值，即為w=360+2600=2960；②當(dāng)40≤m≤50時(shí)，則有：w=38?m+40∵-1＜0，對(duì)稱軸為直線m=26，∴當(dāng)40≤m≤50時(shí)，w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m=50時(shí)，w有最小值，即為w=?50③當(dāng)50<m≤60時(shí)，此時(shí)科技類圖書的單價(jià)為78?50=28（元），則有w=28m+26100?m∵2＞0，∴當(dāng)m=51時(shí)，w有最小值，即為w=102+2600=2702；綜上所述：社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元的購(gòu)書款．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，注意分類討論．3．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）為增加農(nóng)民收入，助力鄉(xiāng)村振興．某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進(jìn)行草莓種植和銷售，已知草莓的種植成本為8元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）根據(jù)圖象信息，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤(rùn)．【答案】（1）y=?3x+216(8≤x≤32)【分析】（1）分為8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根據(jù)“利潤(rùn)＝（售價(jià)?成本）×銷售量”列出利潤(rùn)的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)．【詳解】解：（1）當(dāng)8≤x≤32時(shí)，設(shè)y＝kx＋b（k≠0），則22k+b=15032k+b=120解得：k=?3b=216∴當(dāng)8≤x≤32時(shí)，y＝?3x＋216，當(dāng)32＜x≤40時(shí)，y＝120，∴y=?3x+216(8≤x≤32)（2）設(shè)利潤(rùn)為W，則：當(dāng)8≤x≤32時(shí)，W＝（x?8）y＝（x?8）（?3x＋216）＝?3（x?40）2＋3072，∵開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝40，∴當(dāng)8≤x≤32時(shí)，W隨x的增大而增大，∴x＝32時(shí)，W最大＝2880，當(dāng)32＜x≤40時(shí)，W＝（x?8）y＝120（x?8）＝120x?960，∵W隨x的增大而增大，∴x＝40時(shí)，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利潤(rùn)為3840元．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題以利潤(rùn)問(wèn)題為背景，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、分段函數(shù)的表示、二次函數(shù)的性質(zhì)，本題解題的時(shí)候要注意分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍和函數(shù)的增減性，先確定函數(shù)的增減性，才能求得利潤(rùn)的最大值．題型02方案選擇問(wèn)題4．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）為響應(yīng)政府鞏固脫貧成果的號(hào)召，某商場(chǎng)與生產(chǎn)水果的脫貧鄉(xiāng)鎮(zhèn)簽訂支助協(xié)議，每月向該鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：銷售甲種水果每噸可獲利0.4萬(wàn)元，銷售乙種水果獲利如下表所示：銷售x（噸）34567獲利y（萬(wàn)元）0.91.11.31.51.7(1)分別求銷售甲、乙兩種水果獲利y1（萬(wàn)元）、y2（萬(wàn)元）與購(gòu)進(jìn)水果數(shù)量(2)若只允許商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)并銷售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？(3)支助協(xié)議中約定，商場(chǎng)每個(gè)月向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸，且m，n滿足n=20?1【答案】(1)y1=0.4x，(2)當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量小于1.5噸時(shí)，銷售乙種水果獲利大；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量等于1.5噸時(shí)，銷售兩種水果獲利一樣；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量大于1.5噸時(shí)，銷售甲種水果獲利大；(3)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為2和18噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大為4.7萬(wàn)元．【分析】（1）通過(guò)表格信息建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）通過(guò)購(gòu)買數(shù)量來(lái)選擇哪種水果即可；（3）建立二次函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題即可．【詳解】解：（1）由題意得y1在直角坐標(biāo)系中描出以x,y坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，易得y2設(shè)y2=kx+b，則解得k=0.2b=0.3∴y（2）當(dāng)y1=y解得x=1.5；∴當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量小于1.5噸時(shí)，銷售乙種水果獲利大；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量等于1.5噸時(shí)，銷售兩種水果獲利一樣；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量大于1.5噸時(shí)，銷售甲種水果獲利大．（3）當(dāng)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸時(shí)，獲得利潤(rùn)：w=0.4m+0.2n+0.3=0.4m+0.220?即w=?0.1m2+0.4m+4.3當(dāng)m=2時(shí)，n=18，w有最大值，答：當(dāng)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為2和18噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大為4.7萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意熟練掌握函數(shù)關(guān)系的建立，求出解析式．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）2023年國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某經(jīng)銷商準(zhǔn)備采購(gòu)一批風(fēng)箏，已知用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍，一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)比一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)多20元．(1)求一只A，B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：A型風(fēng)箏售價(jià)的一半與A型風(fēng)箏銷量的和總是等于130，B型風(fēng)箏的售價(jià)為120元/只．該經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B型風(fēng)箏共300只，其中A型風(fēng)箏m50≤m≤150【答案】(1)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為100元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為80元；(2)當(dāng)購(gòu)進(jìn)50只A型風(fēng)箏，80只B型風(fēng)箏時(shí)，銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為13000元．【分析】（1）設(shè)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x+20元，根據(jù)“用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍”列分式方程，解之即可求解；（2）設(shè)銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得w=?2m?30【詳解】（1）解：設(shè)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x+20元，根據(jù)題意得20000x+20解得x=80，經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是所列方程的解，且符合題意，∴x+20=80+20=100，答：一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為100元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為80元；（2）解：設(shè)銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w=[2(130?m)?100]m+120?80整理得w=?2m?30∵?2<0，50≤m≤150∴當(dāng)m=50時(shí)，w取得最大值，最大值為13000，此時(shí)130?m=130?50=80，答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)50只A型風(fēng)箏，80只B型風(fēng)箏時(shí)，銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為13000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)．6．（2020·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）垃圾分類作為一個(gè)公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會(huì)各個(gè)方面共同發(fā)力．洛陽(yáng)市某超市計(jì)劃定制一款家用分類垃圾桶，獨(dú)家經(jīng)銷，生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計(jì)費(fèi)，定制不超過(guò)200套時(shí)．每套費(fèi)用60元；超過(guò)200套后，超出的部分8折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費(fèi)用為56元1套(1)該超市定制了這款垃圾桶多少套？(2)超市經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)此款垃圾桶售價(jià)定為80/套時(shí)，平均每天可售出20套；售價(jià)每降低1元．平均每天可多售出2套，售價(jià)下降多少元時(shí)．可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大？【答案】(1)該超市定制這款垃圾桶300套(2)售價(jià)下降7元時(shí)，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大【分析】（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，根據(jù)題意，列出方程，即可；（2）設(shè)售價(jià)下降m元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意，列出方程，解出方程，即可．【詳解】（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，∵56<60，∴x>200，∴60×200+60×x?200解得：x=300，答：該超市定制了這款垃圾桶300套．（2）設(shè)售價(jià)下降m元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)為y元，∴y=80?56?my=?2m∵?2<0且0<m<24，∴當(dāng)m=7時(shí)，y有最大值，答：售價(jià)下降7元時(shí)，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程和二次函數(shù)的運(yùn)用，根據(jù)題意，列出等式．7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）某商家購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，現(xiàn)有線上和線下兩種銷售方式，售價(jià)均為x元/件（10<x<24）．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線上的銷售量為600件；線下的銷售量y（單位：件）與售價(jià)x（單位：元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，線上銷售利潤(rùn)與線下銷售利潤(rùn)相等；(3)若商家準(zhǔn)備從線上和線下兩種銷售方式中選一種，怎樣選擇才能使所獲利潤(rùn)較大．【答案】(1)y=?100x+2400(2)18元(3)當(dāng)10<x<18時(shí)選擇線上銷售利潤(rùn)大；當(dāng)18<x<24時(shí)選擇線下銷售利潤(rùn)大；當(dāng)x=18時(shí)候，兩種銷售方法利潤(rùn)一樣【分析】（1）根據(jù)表格可知y與x滿足一次函數(shù)的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)即可；（2）利用銷售利潤(rùn)=銷售數(shù)量×（銷售單價(jià)?銷售成本），結(jié)合題意列代數(shù)式，即可解答；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和（2）中求得的結(jié)果，即可解答．【詳解】（1）解：∵y與x滿足一次函數(shù)的關(guān)系，∴設(shè)y=kx+bk≠0將x=14,y=1000；x=13,y=1100代入得：14k+b=100013k+b=1100解得：k=?100b=2400∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?100x+2400；（2）解：根據(jù)題意得：線上銷售利潤(rùn)為W1線下銷售利潤(rùn)為W2當(dāng)W1=解得x1=18或答：當(dāng)售價(jià)為18元時(shí)，線上銷售利潤(rùn)與線下銷售利潤(rùn)相等；（3）解：由（2）知，當(dāng)10<x<18時(shí)，W1∴當(dāng)10<x<18時(shí)選擇線上銷售利潤(rùn)大；當(dāng)18<x<24時(shí)，W1∴當(dāng)18<x<24時(shí)選擇線下銷售利潤(rùn)大．綜上，當(dāng)10<x<18時(shí)選擇線上銷售利潤(rùn)大；當(dāng)18<x<24時(shí)選擇線下銷售利潤(rùn)大；當(dāng)x=18時(shí)候，兩種銷售方法利潤(rùn)一樣．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用（銷售問(wèn)題），能結(jié)合題意列出正確的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．題型03拱橋問(wèn)題8．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬AB=20m，當(dāng)水位上升3m時(shí)，水面寬(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)有一條船以5km/?的速度向此橋徑直駛來(lái)，當(dāng)船距離此橋35km，橋下水位正好在AB處，之后水位每小時(shí)上漲0.25m，當(dāng)水位達(dá)到CD處時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛【答案】(1)y=?(2)水面寬是15m【分析】（1）以拱橋最頂端為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)解析式為y=ax（2）計(jì)算出船行駛到橋下的時(shí)間，由這個(gè)時(shí)間按計(jì)算水位上升的高度，從而得出此時(shí)水面寬度，再比較就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2(a不等于0)，橋拱最高點(diǎn)O到水面CD則D(5,??)，B(10,???3)∴25a=??100a=???3解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：由題意，得船行駛到橋下的時(shí)間為：35÷5=7小時(shí)，水位上升的高度為：0.25×7=1.75米．設(shè)此時(shí)水面寬為EF，，由（1）知：B10,?4∴F縱坐標(biāo)為?4+1.75=?2.25，把y=?2.25代入y=?1?2.25=?1解得：x1=?7.5，∴EF=7.5??7.5∵15m∴船的速度不變，它能安全通過(guò)此橋．答：該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛35km時(shí)，水面寬是15【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，有理數(shù)大小的比較的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．9．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(1)拱門上的點(diǎn)的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x23681012豎直高度y45.47.26.440根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出“門高”（拱門的最高點(diǎn)到地面的距離），并求出拱門上的點(diǎn)滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(2)一段時(shí)間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.288(x?5)2+7.2，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)間的距離）為d1，“新拱門”的跨度為d2，則d1__________d2【答案】(1)y=?0.2(2)>【分析】（1）由表格得當(dāng)x=2時(shí)，y=4，當(dāng)x=10時(shí)，y=4，從而可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）由表格可以直接求出d1，由y=?0.288(x?5)2【詳解】（1）解：由表格得：∵6?2=10?6，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為6,7.2，∴y=a(x?6)∴a(2?6)解得：a=?0.2，∴y=?0.2(x?6)（2）解：由表格得當(dāng)x=12時(shí)，y=0，原拱門中：d1=12（新拱門中：當(dāng)y=0時(shí)，?0.288解得：x1=0，∴d2=∵12>10，∴d故答案：>．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解函數(shù)中自變量和應(yīng)變量的實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東佛山·?？既＃┕磐駚?lái)，橋給人們的生活帶來(lái)便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無(wú)阻，中國(guó)橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，則這條橋主橋拱的半徑是______(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4(3)如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2m【答案】(1)25(2)y=?(3)此時(shí)橋A的水面寬度為821m，橋B【分析】（1）設(shè)ABC所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接OA,OD，則OB⊥AC，AD=CD=20m，再設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則OA=OB=rm，OD=（2）以水面所在直線為x軸，MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，則N5,0（3）根據(jù)（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)，再利用垂徑定理即可得此時(shí)橋A的水面寬度；根據(jù)（2）的結(jié)論求出y=2【詳解】（1）解：如圖，設(shè)ABC所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接OA,OD，

由垂徑定理得：點(diǎn)O,D,B共線，則OB⊥AC，AD=CD=1設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則OA=OB=r∴OD=OB?BD=r?10在Rt△AOD中，AD2解得r=25，故答案為：25．（2）解：如圖，以水面所在直線為x軸，MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：N5,0則設(shè)橋拱拋物線的解析式為y=ax將點(diǎn)N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以橋拱拋物線的解析式為y=?4（3）解：如圖，橋A中，由（1）可知：OF=25m

由題意得：OB⊥FG,DE=2m∴OE=17m在Rt△EOF中，EF=由垂徑定理得：FG=2EF=821即此時(shí)橋A的水面寬度為821如圖，橋B中，y=?4

當(dāng)y=2時(shí)，?4解得x=522所以此時(shí)橋B的水面寬度為52答：此時(shí)橋A的水面寬度為821m，橋B的水面寬度為【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型04隧道問(wèn)題11．（2022·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖1是某條公路的一個(gè)單向隧道的橫斷面．經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB＝4米．為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離和到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE=x米，EF=y米．通過(guò)取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道頂面到路面AB的最大高度為______米；(2)請(qǐng)你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系，描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出可以表示隧道頂面的圖象．(3)今有寬為2.4米，高為3米的貨車準(zhǔn)備在隧道中間通過(guò)（如圖2）．根據(jù)隧道通行標(biāo)準(zhǔn)，其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．結(jié)合所畫圖象，請(qǐng)判斷該貨車是否安全通過(guò)：______（填寫“是”或“否”）．【答案】(1)3.99(2)見解析(3)是【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值；（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系；（3）在y=?0.2475x?22+3.99中，令x=0.8【詳解】（1）解：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為3.99；故答案為：3.99；（2）解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，（3）解：將D(0,3)代入y=ax?24a+3.99=3，解得：a=?0.2475，∴拋物線的表達(dá)式為y=?0.2475x?2在y=?0.2475x?22+3.99y=?0.24750.8?23.6336?3=0.6336>0.5∴車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離大于0.5米，∴該貨車能安全通過(guò)；故答案為：是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．12．（2023·河南信陽(yáng)·二模）2023年3月15日新晉高速全線通車，它把山西往河南路程由2小時(shí)縮短為1小時(shí)前期規(guī)劃開挖一條雙向四車道隧道時(shí)，王師傅想把入口設(shè)計(jì)成拋物線形狀（如圖），入口底寬AB為16cm，入口最高處OC為12.8(1)求拋物線解析式；(2)王師傅實(shí)地考察后，發(fā)現(xiàn)施工難度大，有人建議拋物線的形狀不變，將隧道入口往左平移2m，最高處降為9.8(3)雙向四車道的地面寬至少要15米，則（2）中的建議是否符合要求？【答案】(1)拋物線解析式為y=?0.2(2)拋物線解析式為y=?0.2(3)不符合要求，理由見解析【分析】（1）根據(jù)圖形和題意設(shè)出拋物線解析式，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求拋物線解析式即可；（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．【詳解】（1）由圖知，此拋物線對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)C(0,12.8)，故設(shè)拋物線解析式為y=ax把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：64a+12.8=0，解得a=?0.2，∴拋物線解析式為y=?0.2x（2）由題意可知，拋物線向左平移2m，向下平移使最高點(diǎn)降為9.8∴拋物線解析式為y=?0.2(x+2)（3）（2）中的建議不符合要求，理由：令y=?0.2x2+0.8x+9則?0.2x整理得x2解得x1=?5，∴x∵14<15，∴（2）中的建議不符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．題型05空中跳躍軌跡問(wèn)題13．（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為?32,?10．運(yùn)動(dòng)員（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處A

(1)求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線的解析式并求出入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，恰好距點(diǎn)E的水平距離為5米，問(wèn)該運(yùn)動(dòng)員此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(3)在該運(yùn)動(dòng)員入水點(diǎn)的正前方有M，N兩點(diǎn)，且EM=212，EN=272，該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=a（x??）2+k，且頂點(diǎn)C距水面4米，若該運(yùn)動(dòng)員出水點(diǎn)【答案】(1)y=?54(2)該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了，理由見解析(3)1【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a0x?12+54（2）求出距點(diǎn)E水平距離為5米的點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可進(jìn)行判斷；（3）分別求出當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N時(shí)的a的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=將0,0代入解析式得：a∴拋物線的解析式為y=?令y=?10，則?10=?解得：x∴入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)4（2）解：距點(diǎn)E的水平距離為5米，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為：x=5?將x=72∵?∴該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了（3）解：∵EM=212，EN=272∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：9,?10∵該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=a（x??）y=a(x?∴當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，把點(diǎn)M9,?10代入得：a=同理，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N12,?10時(shí)，a=由點(diǎn)D在MN之間可得：1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．涉及了拋物線的頂點(diǎn)式、求拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)等．熟記二次函數(shù)的相關(guān)形式是解題關(guān)鍵．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）跳臺(tái)滑雪簡(jiǎn)稱：“跳雪”，選手不借助任何外力，從起滑臺(tái)P處起滑，在助滑道PE上加速，從跳臺(tái)E處起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．運(yùn)動(dòng)員從P點(diǎn)起滑，沿滑道加速，到達(dá)高度OE=42m的E點(diǎn)后起跳，運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線．建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，OM=38m，ON=114m，設(shè)MN

甲運(yùn)動(dòng)員起跳后，與跳臺(tái)OE水平距離xm、豎直高度y水平距離x010203040豎直高度y4248504842(1)求甲運(yùn)動(dòng)員空中運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線的關(guān)系式；(2)運(yùn)動(dòng)員得分由距離得分＋動(dòng)作分＋風(fēng)速得分組成．距離得分：運(yùn)動(dòng)員著陸點(diǎn)到跳臺(tái)OE水平距離為50m，即得到60分，每比50m遠(yuǎn)1米多得2分；反之，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員著陸點(diǎn)每比50m近1米扣2分．距離分計(jì)算采取“2舍3入法”，如60.2米計(jì)為60米，60.3動(dòng)作得分：由裁判根據(jù)運(yùn)動(dòng)員空中動(dòng)作的優(yōu)美程度打分．風(fēng)速得分：由逆風(fēng)或者順風(fēng)決定．甲運(yùn)動(dòng)員動(dòng)作分、風(fēng)速加分如下表：距離分動(dòng)作分風(fēng)速加分50?2.5請(qǐng)你計(jì)算甲運(yùn)動(dòng)員本次比賽得分．【答案】(1)y=?(2)127.5分【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得結(jié)論；（2）先確定MN的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，解方程組可得x的值，代入到總分的式子即可算出．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)10,48，30,48∴對(duì)稱軸是：直線x=10+30∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：20,50，設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員空中運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線的關(guān)系式為：y=ax?20將代入得0,42代入得：a0?202+50=42∴甲運(yùn)動(dòng)員空中運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線的關(guān)系式為：y=?1（2）解：∵OM=38∴M(0,設(shè)MN的解析式為y=kx+b，∴b=38114k+b=0，解得k=?∴MN的解析式為y=?1當(dāng)?1解得：x1=60，則60+2×60?50∴甲運(yùn)動(dòng)員本次比賽得分127.5分．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于：會(huì)用待定系數(shù)法求解析式、能求出與x軸的交點(diǎn)．15．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）某校開展“陽(yáng)光體育”活動(dòng)，如圖①是學(xué)生在操場(chǎng)玩跳長(zhǎng)繩游戲的場(chǎng)景，在跳長(zhǎng)繩的過(guò)程中，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線型，如圖②所示是以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立的平面直角坐標(biāo)系（甲位于點(diǎn)O處，乙位于x軸的D處），正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)握繩的手分別設(shè)為A點(diǎn)、B點(diǎn)，且AB的水平距離為6米，他們到地面的距離AO與BD均為0.9米，繩子甩到最高點(diǎn)C處時(shí)，最高點(diǎn)距地面的垂直距離為1.8米．(1)請(qǐng)求出該拋物線的解析式；(2)跳繩者小明的身高為1.7米，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，求小明站在距甲同學(xué)多遠(yuǎn)時(shí)，繩子剛好過(guò)他的頭頂上方；(3)經(jīng)測(cè)定，多人跳長(zhǎng)繩時(shí)，參與者同方向站立時(shí)的腳跟之間距離不小于0.4米時(shí)才能安全起跳，小明與其他3位同學(xué)一起跳繩，如果這3名同學(xué)與小明身高相同，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們是否可以安全起跳？【答案】(1)y=?0.1(2)小明站在距甲2米或4米時(shí)，繩子剛好過(guò)他的頭頂上方(3)他們可以安全起跳，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為3,1.8，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax?32+1.8，將點(diǎn)A（2）將y=1.7代入y=?0.1x?32+1.8（3）由（2）可知當(dāng)y=1.7時(shí)，x1=2，x2=4，可以站立跳繩的距離為4?2=2米，小明與其他3位同學(xué)一起跳繩需要站立的最短距離為【詳解】（1）解：由題意設(shè)拋物線的解析式為y=ax?3將點(diǎn)A0,0.9代入y=ax?32∴該拋物線的解析式是y=?0.1x?3（2）解：將y=1.7代入y=?0.1x?3解得x1=2，∴小明站在距甲2米或4米時(shí)，繩子剛好過(guò)他的頭頂上方．（3）解：他們可以安全起跳，理由如下：當(dāng)y=1.7時(shí)，x1=2，∴可以站立跳繩的距離為4?2=2米，又∵4?1×0.4=1.2∴1.2<2，∴他們可以安全起跳．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的表達(dá)式，和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．題型06球類飛行軌跡16．（2023·陜西西安·交大附中分校?？家荒＃┛ㄋ柺澜绫昝缆淠唬谝粓?chǎng)比賽中，球員甲在離對(duì)方球門30米處的O點(diǎn)起腳吊射（把球高高地挑過(guò)守門員的頭頂，射入球門），假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時(shí)，足球達(dá)到最大高度8米．如圖所示，以球員甲所在位置O點(diǎn)為原點(diǎn)，球員甲與對(duì)方球門所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果葡萄牙球員C羅站在球員甲前3米處，C羅跳起后最高能達(dá)到2.88米，那么C羅能否在空中截住這次吊射？【答案】(1)y=?(2)能【分析】（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；（2）將x=3代入函數(shù)表達(dá)式，與2.88相比較即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意可得，足球距離點(diǎn)O(30?14)=16米時(shí)，足球達(dá)到最大高度8米，設(shè)拋物線解析式為：y=a(x?16)把(0,0)代入解析式得：0=a(0?16)解得：a=?1故拋物線解析式為：y=?1（2）當(dāng)x=3時(shí)，y=?1故C羅能在空中截住這次吊射．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．17．（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）手榴彈作為一種威力較大，體積較小，方便攜帶的武器，在戰(zhàn)爭(zhēng)中能發(fā)揮重要作用，然而想把手榴彈扔遠(yuǎn)，并不是一件容易的事．軍訓(xùn)中，借助小山坡的有利地勢(shì)，小剛在教官的指導(dǎo)下用模擬彈進(jìn)行一次試投：如圖所示，把小剛投出的手榴彈的運(yùn)動(dòng)路線看做一條拋物線，手榴彈飛行的最大高度為12米，此時(shí)它的水平飛行距離為6米，山坡OA的坡度為1:3．(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)山坡上A處的水平距離OE為9米，A處有一棵樹，樹高5米，則小剛投出的手榴彈能否越過(guò)這棵樹？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求飛行的過(guò)程中手榴彈離山坡的最大高度是多少米．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?13x2+4(2)能越過(guò)，理由見解析；(3)12112【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-6）2+12，將點(diǎn)（0，0）代入，求出a，得到拋物線解析式；（2）由坡比求出AE，將x=9代入函數(shù)解析式，與3+5=8比較可得結(jié)論；（3）由（2）知A的坐標(biāo)為（9，3），求出直線OA的解析式，作直線MNy軸，交拋物線于點(diǎn)M，交直線OA于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M（x，?13x2+4x），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，13x），求出MN=-13x2+4x-1【詳解】（1）解：由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-6）2+12，將點(diǎn)（0，0）代入，得36a+12=0，解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?13（x-6）2+12=?13x（2）能越過(guò)，理由如下：∵山坡OA的坡度為1:3，∴AE：OE=1：3，∵OE=9米，∴AE=3米，當(dāng)x=9時(shí)，y=?13（9-6）∵3+5=8<9，∴小剛投出的手榴彈能越過(guò)這棵樹；（3）由（2）知A的坐標(biāo)為（9，3），∴直線OA的解析式為y=1作直線MNy軸，交拋物線于點(diǎn)M，交直線OA于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M（x，?13x2+4x），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，1∴MN=-13x2+4x-13x=∴當(dāng)x=112時(shí)，MN有最大值，最大值為121∴飛行的過(guò)程中手榴彈離山坡的最大高度是12112【點(diǎn)睛】此題考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于二次函數(shù)的綜合題，正確掌握二次函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點(diǎn)O，守門員位于點(diǎn)A，OA的延長(zhǎng)線與球門線交于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×?xí)r間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，s=m；(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對(duì)足球后退過(guò)程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對(duì)足球向球門前進(jìn)過(guò)程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對(duì)足球后退，能否成功防守？試計(jì)算加以說(shuō)明；②若守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)并成功防守，求此過(guò)程守門員的最小速度．【答案】(1)30(2)?=?(3)①守門員不能成功防守；說(shuō)明見解析；②守門員的最小速度為359m/【分析】（1）由函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)信息可得答案；（2）由數(shù)據(jù)表得拋物線頂點(diǎn)（15，5），設(shè)解析式為?=a(s?15)（3）①設(shè)守門員到達(dá)足球正下方的時(shí)間為ts．由題意得15t=20+2.5t，解得t=85，再計(jì)算足球此時(shí)的高度即可；②由題意判斷：當(dāng)h=1.8m且守門員剛好到達(dá)足球正下方時(shí)，此時(shí)速度最?。偾蠼獯藭r(shí)足球飛行的水平距離s=27m【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象信息可得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：15，所以預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，s=30.故答案為：30（2）解：由數(shù)據(jù)表得拋物線頂點(diǎn)（15，5），故設(shè)解析式為?=a(s?15)把（12，4.8）代入?=a(s?15)2+5所以解析式為?=?1（3）解：設(shè)守門員到達(dá)足球正下方的時(shí)間為ts．①由題意得15t=20+2.5t，解得t=85，即s=24m把s=24代入解析式得?=165，而所以守門員不能成功防守．②當(dāng)h=1.8m且守門員剛好到達(dá)足球正下方時(shí)，此時(shí)速度最小．所以把h=1.8代入解析式得：1.8=?解得：s=27或s=3（不合題意舍去）所以足球飛行時(shí)間t=2715=95所以守門員速度為359m/s【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，理解題意，明確函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的含義是解本題的關(guān)鍵．19．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，春節(jié)期間，某同學(xué)燃放一種手持煙花，煙花彈的飛行路徑是一段拋物線，噴射出時(shí)距地面2米，在與他水平距離是20米，達(dá)到最大高度18米時(shí)爆炸．若是啞彈（在空中沒(méi)有爆炸的煙花彈），會(huì)繼續(xù)按原有的拋物線飛落，在他的正前方33米處有一棟高15米的居民樓（截面矩形ABCD與拋物線在同一平面上）．(1)求拋物線的解析式（不必寫出x的取值范圍），請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明若是啞彈，會(huì)落在幾層居民樓的外墻或窗戶上（每層樓高按3米計(jì)算）；(2)該同學(xué)沿x軸負(fù)半軸至少后退幾米，才能避免啞彈落在居民樓的外墻或窗戶上？（結(jié)果保留根號(hào)）(3)若居民樓寬AB=CD=12m，該同學(xué)沿x軸向居民樓走n米，可使啞彈落在樓頂CD上（不含點(diǎn)C，D），直接寫出n【答案】(1)y=?0.04x?20(2)該同學(xué)沿x軸負(fù)半軸至少后退152(3)13?5【分析】（1）依題意，設(shè)y=ax?202+18，將點(diǎn)0,2代入，待定系數(shù)法求解析式，將x=33代入求得y=（2）設(shè)拋物線解析式為y=?0.04x?20+m2+18（3）該同學(xué)沿x軸向居民樓走n米，則拋物線解析式為：y=?0.04x?20?n2+18，根據(jù)題意求得點(diǎn)D【詳解】（1）解：依題意，設(shè)y=ax?202+1820解得：a=?0.04，∴拋物線解析式為y=?0.04∵D33,15當(dāng)x=33時(shí)，y=?0.0433?20∵9<11.24<12，每層樓高按3米計(jì)算，∴若是啞彈，會(huì)落在4層居民樓的外墻或窗戶上；（2）設(shè)該同學(xué)沿x軸負(fù)半軸后退mm>0米，則拋物線解析式為y=?0.04x?20+m將33,0代入得，0=?0.0433?20+m解得：m=152?13或該同學(xué)沿x軸負(fù)半軸至少后退152（3）∵AB=CD=12，D33,15∴C45,15該同學(xué)沿x軸向居民樓走n米，則拋物線解析式為：y=?0.04將點(diǎn)D33,15，C得15=?0.0433?20?n2+18，解得：n=13?515=?0.0445?20?n2+18，解得：n=25?5∴13?5【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）小明發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式”與“間發(fā)式”兩種模式．在“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線．如圖1和圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xOy．

通過(guò)測(cè)量得到球距離臺(tái)面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：表1

直發(fā)式x02468101620…y3.843.9643.96m3.642.561.44…表2

間發(fā)式x024681012141618…y3.36n1.680.8401.402.4033.203…根據(jù)以上信息，回答問(wèn)題：(1)表格中m=________，n=________；(2)求“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；(3)若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為d1“間發(fā)式”模式下球第二次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為d2，則d1【答案】(1)3.84，2.52(2)y=?0.01(3)=【分析】（1）根據(jù)直發(fā)式”模式下，表1數(shù)據(jù)，可知對(duì)稱軸為直線x=4，根據(jù)對(duì)稱性即可求得m的值，根據(jù)在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，待定系數(shù)法求直線解析式，進(jìn)而將x=2代入即可求解．（2）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=ax?42+4（3）令y=0，即?0.01x?42+4=0，得出d1=24，設(shè)拋物線解析式為y1=ax?162+3.20，將點(diǎn)【詳解】（1）解：∵直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；由表1數(shù)據(jù)，可知對(duì)稱軸為直線x=4，∴當(dāng)x=8時(shí)的函數(shù)值與x=0時(shí)的函數(shù)值相等，∴m=3.84，∵在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，設(shè)直線解析式為y=kx+b，將點(diǎn)0,3.36，4,1.68代入得，b=3.364k+b=1.68解得：k=?0.42b=3.36∴y=?0.42x+3.36，當(dāng)x=2時(shí)，y=?0.42×2+3.36=2.52，故答案為：3.84，2.52．（2）“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；由（1）可得對(duì)稱軸為x=4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,4，設(shè)拋物線解析式為y=ax?42+4得，3.84=16a+4解得：a=?0.01∴拋物線解析式為y=?0.01（3）解：∵“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式為y=?0.01x?4令y=0，即?0.01x?4解得x=?16（舍去）或x=24∴d1∵在“間發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線，由表2可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為16,3.20設(shè)拋物線解析式為y1=ax?16得，0=64a+3.20解得：a=?0.05∴拋物線解析式為y令y=0，即?0.05x?16解得x=8（舍去）或x=24∴d2∴d1故答案為：=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．題型07噴泉問(wèn)題21．（2022·北京西城·統(tǒng)考一模）要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個(gè)噴水頭，記噴出的水與池中心的水平距離為xm，距地面的高度為ym．測(cè)量得到如下數(shù)值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對(duì)y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x,y，并畫出函數(shù)的圖象；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為_______m，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為_______m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(3)為了使水柱落地點(diǎn)與池中心的距離不超過(guò)3.2m，如果只調(diào)整水管的高度，其他條件不變，結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．【答案】(1)見解析；(2)出水口距地面的高度為2.44m，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為1.20m；(3)出水口至少需要降低0.52m．【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線畫出圖象；（2）設(shè)y=ax2+bx+2.44，將點(diǎn)(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出對(duì)稱軸即可；（3）根據(jù)水柱落地點(diǎn)與池中心的距離不超過(guò)3.2m，得出a，b不變，只有c改變，將x=3.2代入求解即可．【詳解】（1）如圖所示：（2）由圖象可得：當(dāng)x=0時(shí)，y=2.44，∴c=2.44，設(shè)y=ax2+bx+2.44，將點(diǎn)(1，3.49)，(2，3.04)代入得：3.49=a+b+2.443.04=4a+2b+2.44，解得：a=?0.75∴y=-0.75x2+1.8x+2.44，∴拋物線的對(duì)稱軸為：x=?b∴y=-0.75×1.22+1.8×1.2+2.44=3.52，∴出水口距地面的高度為2.44m，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為1.20m；（3）為了使水柱落地點(diǎn)與池中心的距離不超過(guò)3.2m，此時(shí)y=ax2+bx+c中，a，b不變，只有c改變，∴y=-0.75×3.22+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，∴出水口至少需要降低0.52m．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法．22．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為hm，如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為dm．當(dāng)OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，試求出d的取值范圍．【答案】(1)①y=?18(2)2≤d≤2【分析】（1）①設(shè)函數(shù)解析式為y=ax?22+2，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令y=0，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；②利用對(duì)稱軸得到點(diǎn)H0,1.5的對(duì)稱點(diǎn)為（2）根據(jù)EF=0.5，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值和最小值，從而得出答案．【詳解】（1）解：①由題意，得A2,2是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)y=a∵上邊緣拋物線過(guò)點(diǎn)H0,1.5∴1.5=4a+2，解得a=?1∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=?1當(dāng)y=0時(shí)，?18x?22+2=0∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為6,0，∴噴出水的最大射程OC為6m；②由①知，上邊緣拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，∴點(diǎn)H0,1.5的對(duì)稱點(diǎn)為4,1.5∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的．又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為6,0，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0；（2）∵EF=0.5，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5，∴0.5=?1解得x=2±23∵x>0，∴x=2+23當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)2<x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則x≤2+23∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，且x=0時(shí)，y=1.5>0.5，∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則0≤x≤2+23∵DE=3，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，∴d的最大值為2+23由下邊緣拋物線可知，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，∴d的最小值為2．綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤23【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．題型08圖形問(wèn)題23．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？【答案】(1)CG長(zhǎng)為8m，DG長(zhǎng)為4m(2)當(dāng)BC=72m時(shí)，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=1474【分析】（1）兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-72)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=72m時(shí)，y最大=1474m【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．24．（2020·山東日照·中考真題）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長(zhǎng)為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計(jì)）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）y=?6【分析】（1）由題意易得AM＝2ME，故可直接得證；（2）由（1）及題意得2AB+GH+3BC＝100，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2即可得出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）證明：∵矩形MEFN與矩形EBCF面積相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四塊矩形花圃的面積相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵籬笆總長(zhǎng)為100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即2AB+1∴AB=40?設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，則y=BC?AB=x40?∵AB=40?6∴EB=40解得x＜100∴y=?6【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到線段的等量關(guān)系，然后列出函數(shù)關(guān)系式即可．25．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+3x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?2,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,8)，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP,PB，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸l(1)求拋物線的解析式；(2)求直線BC的解析式；(3)求△BCP的面積最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)y=?x+8(3)△BCP的面積最大值為32【分析】（1）把點(diǎn)A(?2,0)，C(0,8)代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式，令y=0，可求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)Pt,?12t2+3t+8，則【詳解】（1）解：將A(?2,0)，C(0,8)代入y=ax∴4a?6+c=0c=8，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：令y=0，則?12x2+3x+8=0∴B(8,0)，且C(0,8)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴b=88k+b=0，解得k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+8．（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)Pt,?12∴PG=?1∴S△CBP∴當(dāng)t=4時(shí)，△BCP的面積有最大值，最大值為32，∴△BCP的面積最大值為32．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)特點(diǎn)及面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．26．（2023下·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）春回大地，萬(wàn)物復(fù)蘇，又是一年花季到．某花圃基地計(jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動(dòng)區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長(zhǎng)是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過(guò)560m2，求A，B，【答案】(1)(x2?60x+800)；(2)32m或10m(3)168000元【分析】（1）根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可直接得到答案；（2）根據(jù)A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根據(jù)花卉A與B的種植面積之和不超過(guò)560m2建立不等式，得到x≥8，再設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，得到y(tǒng)關(guān)于【詳解】（1）解：∵育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為xm，活動(dòng)區(qū)的邊長(zhǎng)為10m，∴花卉A的面積為：40?x20?x=(x花卉B的面積為：x40?x?10=(?x花卉C的面積為：x20?x=(?x故答案為：(x2?60x+800)；(?（2）解：∵A，B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元，∴A，B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2×x2?60x+800∵A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴200×x∴x2解方程得x=32或x=10，∴當(dāng)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為32m或10m時(shí)，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等；（3）解：∵花卉A與B的種植面積之和為：x2?60x+800+?∴?30x+800≤560，∴x≥8，∵設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，∴y=2x∴y=?5x∴y=?5(x?5)∴當(dāng)x≥8時(shí)，y隨x的增加而減小，∴當(dāng)x=8時(shí)，y最大，且y=?5(8?5)故A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值168000元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達(dá)式．題型09圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題27．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動(dòng)：同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積為2cm(2)求四邊形PQCA面積的最小值．【答案】(1)t=1s或2s時(shí)，△PBQ的面積為(2)四邊形PQCA面積的最小值為154【分析】（1）利用兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度表示出PB，BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出△PBQ的面積S△PBQ（2）利用配方法求出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得△PBQ面積的最大值，即得四邊形PQCA面積的最小值．【詳解】（1）解：由題意得：PB=3?tcm，S△PBQ由題意得：?t解得t=1或t=2，∴t=1s或2s時(shí)，△PBQ的面積為（2）解：∵S△PBQ=?t∵?1<0，∴當(dāng)t=32s時(shí)，△PBQ此時(shí)，四邊形PQCA面積取得最小值，最小值為12【點(diǎn)睛】此題是三角形和二次函數(shù)的綜合題，主要考查了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，三角形的面積，二次函數(shù)的應(yīng)用，難度適中，正確表示出PB，28．（2021下·吉林·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，以CP，CQ為鄰邊作矩形CPMQ．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q繼續(xù)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AB邊上時(shí)，t＝_________s；（3）設(shè)矩形CPMQ與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；【答案】（1）t，4—2t；（2）43；（3）【分析】（1）根據(jù)路程、速度、時(shí)間的關(guān)系即可求解；（2）先由運(yùn)動(dòng)知CP=2t，BP=4?2t，CQ=t，AQ=4?t，再判斷出ΔAQM∽ΔACB得出比例式，建立方程即可得出結(jié)論；（3）分三種情況，當(dāng)0<t?43時(shí)，直接是矩形的面積，當(dāng)43【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，∴CP=2t，CQ=t，∵AC=BC=4，∴BP=4?2t，故答案為：t，4?2t；（2）∵CP=2t，CQ=t，∴AQ=AC?CQ=4?t，BP=4?2t，∵四邊形CPMQ是矩形，∴QM=CP=2t，當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上時(shí)，∵QM//BC，∴ΔAQM∽ΔACB，∴AQAC∴4?t4∴t=4故答案為：43（3）當(dāng)0<t?4∵CQ=t．，CP=2t．∴S=CP?CQ=2t?t=2t當(dāng)43設(shè)QM與AB相交于點(diǎn)D，設(shè)PM與AB相交于點(diǎn)E．則PE=PB=4?2t，∴ME=MD=t?(4?2t)=3t?4．∴S==?5當(dāng)2<t?4時(shí)，如圖③，設(shè)QM與AB相交于點(diǎn)D．則MD=ME=t．∴S=S綜上所述：S={2【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．29．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)當(dāng)E、Q重合時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形BQPE的面積為S，當(dāng)線段PE在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)BE∥PQ時(shí)，求(4)是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)t=(2)S=2740(3)0或4(4)存在；2827或43或20【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)有：AQ=t，PD=t，AP=AD?PD=4?t，當(dāng)E、Q重合時(shí)，由PE∥DC，可得APAD（2）過(guò)Q點(diǎn)作QM⊥AD于M點(diǎn)，作QN⊥AB于N點(diǎn)，延長(zhǎng)PE交BC于點(diǎn)F，（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例的知識(shí)，可表示出FC=PD=t，PF=CD=3，BF=AP=4?t，PE=12?3t4，EF=34t，QM=35t，QN=45t，EC=54（4）在（1）、（2）中得出：AP=4?t，AQ=PD=t，EC=54t，PE=12?3t4，進(jìn)而可得AE=AC?CE=5?5t4，QE=AE?AQ=5?9t4，第一大類：當(dāng)點(diǎn)PE在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，分當(dāng)QE=PE時(shí)；當(dāng)QP=PE時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PT⊥QE于T點(diǎn)；當(dāng)PQ=QE時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作QG⊥PE于G點(diǎn)，三種情況討論；第二大類：當(dāng)點(diǎn)PE在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，此時(shí)△PEQ是鈍角三角形，則只有PE=QE一種情況，由AE=5?【詳解】（1）在矩形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，AD⊥CD，則有：AC=A根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)有：AQ=t，PD=t，∴AP=AD?PD=4?t，當(dāng)E、Q重合時(shí)，如圖，∵PE∥∴APAD∴4?t4=t即當(dāng)E、Q重合時(shí)，t=20（2）過(guò)Q點(diǎn)作QM⊥AD于M點(diǎn)，作QN⊥AB于N點(diǎn)，延長(zhǎng)PE交BC于點(diǎn)F，如圖，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)有：AQ=t，PD=t，即AP=AD?PD=4?t，在矩形ABCD中，由PE∥DC可得：四邊形PDCF、四邊形∴FC=PD=t，PF=CD=3，BF=AP=4?t，∵PE∥∴APAD即：4?t4∴PE=12?3t∴EF=PF?PE=3?12?3t∵QM⊥AD，CD⊥AD，∴QM∥∴AQAC=QM∴QM=3同理可得：QN=45t∵S△AQP=12×AP×QM，S△AQB=∴S△AQP=12×4?t×35∵S四邊形∴代入整理，可得：S=S∵線段PE在點(diǎn)Q右側(cè)，∵在（1）中求得當(dāng)E、Q重合時(shí)，t=20∴0≤t＜即：S=2740t（3）當(dāng)t≠0時(shí)，如圖，∵PQ∥∴∠PQE=∠BEQ，∴180°?∠PQE=180°?∠BEQ，∴∠PQA=∠BEC，在矩形ABCD中，有AD∥∴∠PAQ=∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，∴APAQ∵在（2）中得到EC=54t∴4?tt解得：t=45，或者經(jīng)檢驗(yàn)，t=0是方程的增根，舍去；當(dāng)t=0時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與A點(diǎn)重合，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則有E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴此時(shí)有：PQ∥綜上：當(dāng)BE∥PQ時(shí)，t=4（4）在（1）、（2）中得出：AP=4?t，AQ=PD=t，EC=54t∴AE=AC?CE=5?5t∴QE=AE?AQ=5?5t第一大類：當(dāng)點(diǎn)PE在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，當(dāng)QE=PE時(shí)，即有：12?3t4解得：t=43當(dāng)QP=PE時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PT⊥QE于T點(diǎn)，如圖，∵PT⊥QE，QP=PE，∴QT=TE=1∴AT=AQ+QT=t+5∵cos∠DAC=∴在Rt△APT中，cos∴52解得：t=28經(jīng)檢驗(yàn)，t=28即此時(shí)t=28當(dāng)PQ=QE時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作QG⊥PE于G點(diǎn)，如圖，∵QG⊥PE，PQ=QE，∴PG⊥GE，即G點(diǎn)為PE中點(diǎn)，∵PE∥CD，∴PE⊥AD，∴QG∥∴QEAQ∴QE=AQ，∴t=5?9t解得：t=20第二大類：當(dāng)點(diǎn)PE在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，此時(shí)△PEQ是鈍角三角形，則只有PE=QE一種情況，如圖，∵AE=5?5t4，∴QE=AQ?AE=t?5?∵PE=12?3t4，∴9t4解得t=8此時(shí)存在t=8綜上所述：t的值可以為：2827或43或2013【點(diǎn)睛】此題屬于相似三角形的綜合題，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論時(shí)要做到不重不漏，考慮問(wèn)題要全面．30．（2023·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交直線AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向左側(cè)作矩形PQMN，使QM=3PQ．設(shè)矩形PQMN與△ABC

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，求QM的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上時(shí)，求t的值；(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)連接BQ，沿直線BQ將矩形PQMN剪開的兩部分可以拼成一個(gè)無(wú)縫隙也不重疊的三角形時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)QM=3t(2)t=(3)S=(4)t=67或t=3【分析】（1）由題意可知：AP=tcm，再根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)即可求出PQ=3t（2）畫出圖形，由矩形的性質(zhì)得出MN=PQ=3tcm，PN=QM=3tcm．再根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求出BN=MN=3tcm，由AB=AP+PN+BN（3）分類討論：①當(dāng)0<t≤67時(shí)，此時(shí)，矩形PQMN與ΔABC重疊部分圖形的面積S=矩形PQMN的面積，利用矩形的面積公式解答即可；②當(dāng)67≤t<32時(shí)，此時(shí)，矩形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積S=五邊形PQEFN的面積，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得ME，MF的長(zhǎng)度，利用S=S矩形PQMN?S△MEF解答即可；③當(dāng)（4）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意可判斷MG=NG，即易證△QMG≌△BNGASA，得出QM=BN=PN=3tcm，最后列出關(guān)于t的等式，解出t即可；②當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合時(shí)，即得出AB=AP+BP，列出關(guān)于t的等式，解出t即可；③當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意可判斷PB=BN=12PN，從而可求出32t【詳解】（1）解：由題意可知AP=tcm∵∠A=60°，PQ⊥AB，∴PQ=tan∵QM=3∴QM=3tcm（2）解：如圖，

∵四邊形PQMN為矩形，∴MN=PQ=3t，∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴BN=MN∴AB=AP+PN+BN=(t+3t+3t)，∵AB=6cm∴t+3t+3t=4，解得：t=6（3）解：①當(dāng)0<t≤67時(shí)，此時(shí)，矩形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積S=矩形∴S=PQ?QM=3t×3②當(dāng)67≤t<

設(shè)矩形PQMN與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，此時(shí)，矩形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積S=五邊形PQEFN的面積，由題意：∠A=60°，AB=3，AP=t，QM=3t，∴AC=3，AQ=2t，∴CQ=3?2t，∵QM∥∴∠CQE=∠A=60°，∴EQ=CQ∴EM=QM?EQ=3t?(6?4t)=7t?6．∵∠MEF=∠CEQ=30°，∴MF=ME?tan∴S==3=3=?31∴S=?31③當(dāng)32≤t≤6時(shí)，如圖，設(shè)PQ交BC于點(diǎn)E，此時(shí)，矩形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積S為

由題意：∠A=60°，AB=3，AP=t，∴BP=AB?AP=6?t，∠B=30°，∴PE=BP?tan∴S====3綜上，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=3（4）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，

∵沿直線BQ將矩形PQMN剪開的兩部分可以拼成一個(gè)無(wú)縫隙也不重疊的三角形，∴MG=NG，又∵∠QMG=∠BNG=90°，∠QGM=∠BGN，∴△QMG≌△BNGASA∴QM=BN=PN=3t，∴AB=7t，∴7t=6，解得：t=6②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，

∴PB=QM=3t，∵AB=AP+BP=t+3t=4t，∴4t=6，解得：t=3③如圖，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)Q在AC的延長(zhǎng)線上，

∵沿直線BQ將矩形PQMN剪開的兩部分可以拼成一個(gè)無(wú)縫隙也不重疊的三角形，∴PB=BN=1∵PQ=3∴PN=QM=3∴PB=3∵AB=AP+BP=5∴52解得：t=12綜上可知，t的值為67或32或【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的邊角關(guān)系定理，分類討論的思想方法，此題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，利用含t的代數(shù)式表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．題型10二次函數(shù)綜合問(wèn)題-線段、周長(zhǎng)問(wèn)題31．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)，點(diǎn)B(3,0)，與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（1?2，-2）或（1?【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸，如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），根據(jù)軸對(duì)稱最短路徑可知AE與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q；（3）分兩種情況當(dāng)∠BPM=90°和當(dāng)∠PBM=90°兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)∴a?b?3=09a+3b?3=0∴a=1b=?2∴拋物線解析式為y=x（2）解：∵拋物線解析式為y=x2?2x?3=x?12∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知CQ=EQ，∴△ACQ的周長(zhǎng)=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周長(zhǎng)最小，則AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴當(dāng)A、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+QE最小，設(shè)直線AE的解析式為y=k∴?k∴k