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第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4.4生活中的優(yōu)化問題舉例1.優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為__________.2.用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路首先要分析問題中各量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系,并確定函數(shù)的定義域,再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),提出優(yōu)化方案,使問題得以解決,在這個(gè)過程中,導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.優(yōu)化問題3.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟(1)分析實(shí)際問題各量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式_________;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程___________;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使___________的點(diǎn)的數(shù)值的大小,最大(小)者為________;(4)寫出實(shí)際問題的答案.y=f(x)f′(x)=0f′(x)=0最優(yōu)解4.解應(yīng)用題,首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實(shí)際問題抽象成____________,就是從實(shí)際問題出發(fā),抽象概括,利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的____________,再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究,得到數(shù)學(xué)結(jié)論,然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到___________中進(jìn)行檢驗(yàn),其思路如下:讀題(文字處理)→建模(數(shù)據(jù)擬合)→求解(數(shù)學(xué)問題)→反饋(還原實(shí)際).?dāng)?shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題
設(shè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),已知路程s(單位:m)是時(shí)間t(單位:s)的函數(shù):s=3t2+2t+1.(1)求從t=2變到t=3時(shí),s關(guān)于t的平均變化率,并解釋它的實(shí)際意義.(2)求當(dāng)t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.(3)求當(dāng)t=2時(shí)的加速度.
導(dǎo)數(shù)在物理中的意義(3)設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的速度為vm/s,則v(t)=s′(t)=6t+2.∴v′(t)=6.∴v′(2)=6.∴當(dāng)t=2時(shí)的加速度為6m/s2.【點(diǎn)評(píng)】在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域中,有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量.例如中學(xué)物理中,速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),線密度是質(zhì)量關(guān)于長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù),功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等.1.一個(gè)電路中,流過的電荷量Q(單位:C)關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)為Q(t)=3t2-lnt.(1)求當(dāng)t從1變到2時(shí),電荷量Q關(guān)于t的平均變化率,并解釋它的實(shí)際意義;(2)求Q′(2),并解釋它的實(shí)際意義.導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計(jì)算可知c′(98)=25c′(90).它表示純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率大約是純凈度為90%左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的25倍.這說明,水的純凈度越高,需要的凈化費(fèi)用就越多,而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.2.當(dāng)銷售量為x,總利潤(rùn)為L(zhǎng)=L(x)時(shí),稱L′(x)為銷售量為x時(shí)的邊際利潤(rùn),它近似等于銷售量為x時(shí),再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤(rùn).某糕點(diǎn)加工廠生產(chǎn)A類糕點(diǎn)的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是C(x)=100+2x+0.02x2,R(x)=7x+0.01x2.求邊際利潤(rùn)函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別是200kg,250kg和300kg時(shí)的邊際利潤(rùn).解:總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x)=5x-100-0.01x2,邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)′(x)=5-0.02x.當(dāng)日產(chǎn)量分別是200kg,250kg和300kg時(shí)的邊際利潤(rùn)分別是L′(200)=1(元),L′(250)=0(元),L′(300)=-1(元)
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