廣東省南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．計(jì)算（的結(jié)果為（）A．8﹣4 B．﹣8﹣4 C．﹣8+4 D．8+42．下列圖形中是中心對(duì)稱圖形的有()個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．43．下列結(jié)論正確的是（）A．三角形的外心是三條角平分線的交點(diǎn)B．平分弦的直線垂直于弦C．弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)的兩條弧D．直徑是圓的對(duì)稱軸4．直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓上有一點(diǎn)A與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)一周，點(diǎn)A與數(shù)軸上的點(diǎn)B重合，則B表示的實(shí)數(shù)是（）A． B． C． D．5．如圖，已知點(diǎn)在反比例函數(shù)上，軸，垂足為點(diǎn)，且的面積為，則的值為（）A． B． C． D．6．方程x2－4＝0的解是A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±47．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，其對(duì)稱軸為x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－32，y1)，(103，y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則y1＜y2A．①② B．②③ C．②④ D．①③④8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．9．一同學(xué)將方程化成了的形式，則m、n的值應(yīng)為（）A．m=1．n=7 B．m=﹣1，n=7 C．m=﹣1，n=1 D．m=1，n=﹣710．如圖，⊙O中，點(diǎn)D，A分別在劣弧BC和優(yōu)弧BC上，∠BDC=130°，則∠BOC=()A．120° B．110° C．105° D．100°二、填空題(每小題3分,共24分)11．拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸交于A、B，與y軸交于C，則△ABC的面積＝__．12．如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為_(kāi)___．13．如圖，一次函數(shù)＝與反比例函數(shù)＝（＞0）的圖像在第一象限交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在以B（7，0）為圓心，2為半徑的⊙B上，已知AC長(zhǎng)的最大值為，則該反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_________________________.14．計(jì)算sin245°+cos245°=_______．15．圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，那么它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是______度.16．△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是_____．17．飛機(jī)著陸后滑行的距離y（m）與滑行時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+60x，則飛機(jī)著陸后滑行_____m才停下來(lái)．18．某園進(jìn)行改造，現(xiàn)需要修建一些如圖所示圓形（不完整）的門，根據(jù)實(shí)際需要該門的最高點(diǎn)C距離地面的高度為2.5m，寬度AB為1m，則該圓形門的半徑應(yīng)為_(kāi)____m．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，E是正方形ABCD的CD邊上的一點(diǎn)，BF⊥AE于F，(1)求證：△ADE∽△BFA；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，求△BFA的面積，20．（6分）福建省會(huì)福州擁有“三山兩塔一條江”，其中報(bào)恩定光多寶塔（別名白塔），位于于山風(fēng)景區(qū)，利用標(biāo)桿可以估算白塔的高度.如圖，標(biāo)桿高，測(cè)得，，求白塔的高.21．（6分）如圖是由24個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格圖，每一個(gè)正方形的頂點(diǎn)都稱為格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．請(qǐng)按要求完成下列作圖，每個(gè)小題只需作出一個(gè)符合條件的圖形．（1）在圖1網(wǎng)格中找格點(diǎn)，作直線，使直線平分的面積；（2）在圖2網(wǎng)格中找格點(diǎn)，作直線，使直線把的面積分成兩部分．22．（8分）如圖，一個(gè)圓形水池的中央垂直于水面安裝了一個(gè)柱形噴水裝置OA，頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系式可以用表示，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C；（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并確定噴水裝置OA的高度；（2）噴出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？23．（8分）二次函數(shù)圖象過(guò)，，三點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，且，求二次函數(shù)的表達(dá)式.24．（8分）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．（1）如圖①，在對(duì)角互余四邊形ABCD中，∠B＝60°，且AC⊥BC，AC⊥AD，若BC＝1，則四邊形ABCD的面積為；（2）如圖②，在對(duì)角互余四邊形ABCD中，AB＝BC，BD＝13，∠ABC+∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖③，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝60°，以AC為邊在△ABC異側(cè)作△ACD，且∠ADC＝30°，若BD＝10，CD＝6，求△ACD的面積．25．（10分）如圖，在△ABC中，∠A為鈍角，AB=25，AC=39，，求tanC和BC的長(zhǎng).

26．（10分）如圖，已知平行四邊形中，，，.平行四邊形的頂點(diǎn)在線段上（點(diǎn)在的左邊），頂點(diǎn)分別在線段和上.（1）求證：；（2）如圖1，將沿直線折疊得到，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形是菱形；（3）如圖2，若四邊形是矩形，且，求的長(zhǎng).（結(jié)果中的分母可保留根式）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】先按照平方差公式與完全平方公式計(jì)算，同時(shí)按照二次根式的除法計(jì)算，再合并即可得到答案．【詳解】解：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的乘法與二次根式的除法運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．2、B【解析】∵正三角形是軸對(duì)稱能圖形；平行四邊形是中心對(duì)稱圖形；正五邊形是軸對(duì)稱圖形；正六邊形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，∴中心對(duì)稱圖形的有2個(gè)．故選B.3、C【分析】根據(jù)三角形的外心定義可以對(duì)A判斷；根據(jù)垂徑定理的推論即可對(duì)B判斷；根據(jù)垂徑定理即可對(duì)C判斷；根據(jù)對(duì)稱軸是直線即可對(duì)D判斷．【詳解】A．三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)的兩條弧，所以C選項(xiàng)正確；D．直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心、垂徑定理、圓的有關(guān)概念，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的知識(shí)．4、C【分析】因?yàn)閳A沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度是，再根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)及的值即可解答．【詳解】解：直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周，數(shù)軸上表示1的點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為圓的周長(zhǎng)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)的左邊．點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題比較簡(jiǎn)單，考查的是數(shù)軸的特點(diǎn)及圓的周長(zhǎng)公式．圓的周長(zhǎng)公式是：．5、C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k的幾何意義即可得出答案．【詳解】∵點(diǎn)在反比例函數(shù)，的面積為故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．6、C【分析】方程變形為x1=4，再把方程兩邊直接開(kāi)方得到x=±1．【詳解】解：x1=4，∴x=±1．故選C．7、C【解析】試題分析：根據(jù)題意可得：a<0，b>0，c>0，則abc<0，則①錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸為x=1可得：-b2a=1，則-b=2a，即2a+b=0，則②正確；根據(jù)函數(shù)的軸對(duì)稱可得：當(dāng)x=2時(shí)，y>0，即4a+2b+c>0，則③錯(cuò)誤；對(duì)于開(kāi)口向下的函數(shù)，離對(duì)稱軸越近則函數(shù)值越大，則點(diǎn)睛：本題主要考查的就是二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中等題.如果開(kāi)口向上，則a>0，如果開(kāi)口向下，則a<0；如果對(duì)稱軸在y軸左邊，則b的符號(hào)與a相同，如果對(duì)稱軸在y軸右邊，則b的符號(hào)與a相反；如果題目中出現(xiàn)2a+b和2a-b的時(shí)候，我們要看對(duì)稱軸與1或者-1的大小關(guān)系再進(jìn)行判定；如果出現(xiàn)a+b+c，則看x=1時(shí)y的值；如果出現(xiàn)a-b+c，則看x=-1時(shí)y的值；如果出現(xiàn)4a+2b+c，則看x=2時(shí)y的值，以此類推；對(duì)于開(kāi)口向上的函數(shù)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)則函數(shù)值越大，對(duì)于開(kāi)口向下的函數(shù)，離對(duì)稱軸越近則函數(shù)值越大.8、D【分析】先由圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，再過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，由垂徑定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，∵OD過(guò)圓心，∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，∴CD=OC×sin60°=2×=，∴BC=2CD=2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．9、B【解析】先把（x+m）1=n展開(kāi)，化為一元二次方程的一般形式，再分別使其與方程x1-4x-3=0的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分別相等即可．【詳解】解：∵（x+m）1=n可化為：x1+1mx+m1-n=0，∴，解得：故選：B．【點(diǎn)睛】此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是將一元二次方程化為一般形式，再根據(jù)題意列出方程組即可．10、D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ)可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圓周角定理即可得出．【詳解】解：∵四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠BDC=180°∵∠BDC=130°∴∠A=50°∴∠BOC=2∠A=100°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】先根據(jù)題意求出AB的長(zhǎng)。再得到C點(diǎn)坐標(biāo)，故可求解．【詳解】解：y＝0時(shí)，0＝x2﹣4x+1，解得x1＝1，x2＝1∴線段AB的長(zhǎng)為2，∵與y軸交點(diǎn)C（0，1），∴以AB為底的△ABC的高為1，∴S△ABC＝×2×1＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求解方法．12、1【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接OP，

∵PA⊥PB，

∴∠APB=90°，

∵AO=BO，

∴AB=2PO，

若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，

連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，

過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

則OQ=6、MQ=8，

∴OM=10，

又∵M(jìn)P′=4，

∴OP′=6，

∴AB=2OP′=1，

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置．13、或【解析】過(guò)A作AD垂直于x軸，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則根據(jù)A在y=x上得m=n，由AC長(zhǎng)的最大值為，可知AC過(guò)圓心B交⊙B于C，進(jìn)而可知AB=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，根據(jù)勾股定理列方程即可求出m的值，進(jìn)而可得A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出該反比例函數(shù)的表達(dá)式.【詳解】過(guò)A作AD垂直于x軸，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），∵A在直線y=x上，∴m=n，∵AC長(zhǎng)的最大值為，∴AC過(guò)圓心B交⊙B于C，∴AB=7-2=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，AB=5，∴m2+(7-m)2=52，解得：m=3或m=4，∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)＝（＞0）的圖像上，∴當(dāng)m=3時(shí)，k=9；當(dāng)m=4時(shí)，k=16，∴該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：或，故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，理解題意找出AC的最長(zhǎng)值是通過(guò)圓心的直線是解題關(guān)鍵.14、1【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】原式=()2+()2=+=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，需要熟記，比較簡(jiǎn)單．15、1【分析】易得圓錐的底面周長(zhǎng)，就是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式可得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的角度，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】∵圓錐底面半徑是3，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為6π，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)的扇形圓心角為n°，，解得n=1．故答案為1．【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的計(jì)算，用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)．16、1【分析】根據(jù)位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，∴△ABC與△A′B′C′的面積比是1：4，又△ABC的面積是3，∴△A′B′C′的面積是1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．17、600【分析】根據(jù)飛機(jī)從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數(shù)的最大值.【詳解】解：∵y=﹣x2+60x=﹣(x﹣20)2+600，∴x=20時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=600，即該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行600m才能停下來(lái).故答案為600.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用二次函數(shù)求最值問(wèn)題常用公式法或配方法得出是解題關(guān)鍵.18、【分析】過(guò)圓心作弦AB的垂線，運(yùn)用垂徑定理和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)圓心點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OC，∵點(diǎn)C是該門的最高點(diǎn)，∴，∴CO⊥AB，∴C，O，E三點(diǎn)共線，連接OA，∵OE⊥AB，∴AE==0.5m，設(shè)圓O的半徑為R，則OE=2.5-R，∵OA2=AE2+OE2，∴R2=（0.5）2+（2.5-R）2，解得：R=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明△ADE∽△BFA；（2）利用三角形的面積比等于相似比的平方，即可解答．【詳解】（1）證明：∵BF⊥AE于點(diǎn)F，四邊形ABCD為正方形，∴△ADE和△BFA均為直角三角形，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠FAB，∴△ADE∽△BFA；（2）解：∵AD=2，E為CD的中點(diǎn)，∴DE=1，∴AE=，∴，∵△ADE∽△BFA，∴，∵S△ADE=×1×2=1，∴S△BFA=S△ADE=．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的性質(zhì)與判定，熟記相似三角形的判定是解決第（1）小題的關(guān)鍵；第（2）小題中，利用相似三角形的面積比是相似比的平方是解決此題的關(guān)鍵．20、為米.【分析】先證明，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，從而代入求值即可.【詳解】解：依題意，得，，∴.∵，∴，∴.∵，，，∴，∴，∴，∴白塔的高為米.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是本題的解題關(guān)鍵.21、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)中線的定義畫出中線即可平分三角形面積；

（2）根據(jù)同高且底邊長(zhǎng)度比為1:2的兩個(gè)三角形的面積比為1:2尋找點(diǎn)，同時(shí)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可找出格點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖①，由網(wǎng)格易知BD=CD，所以S△ABD=S△ADC，作直線AD即為所求；（2）如圖②，取格點(diǎn)E，由AC∥BE可得，（或）,∴S△ACN=2S△ABN（或S△ABM=2S△ACM,），∴作直線AE即為所求．（選取其中一條即可）【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，三角形的面積，相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．22、（1），米；（2）米；（3）至少要米．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得拋物線的解析式，再求出時(shí)y的值即可得OA的高度；（2）將拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，求出y的最大值即可得；（3）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得．【詳解】（1）由題意，將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，故噴水裝置OA的高度米；（2）將化成頂點(diǎn)式為，則當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為，故噴出的水流距水面的最大高度是米；（3）當(dāng)時(shí)，，解得或（不符題意，舍去），故水池的半徑至少要米，才能使噴出的水流不至于落在池外．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23、【分析】根據(jù)題目所給信息可以得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5)，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得拋物線解析式．【詳解】解∵點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為∴又∵點(diǎn)在軸正半軸上∴點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為把，代入得，∴【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目信息得出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．24、（1）2；（2）36；（3）．【分析】（1）由AC⊥BC，AC⊥AD，得出∠ACB=∠CAD=90°，利用含30°直角三角形三邊的特殊關(guān)系以及勾股定理，就可以解決問(wèn)題；（2）將△BAD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△BCE，則△BCE≌△BAD，連接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE于G，作CF⊥BH于F．這樣可以求∠DCE=90°，則可以得到DE的長(zhǎng)，進(jìn)而把四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△BCD和△BCE的面積之和，△BDE和△CDE的面積容易算出來(lái)，則四邊形ABCD面積可求；（3）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，作CF⊥AD于F，DG⊥BC于G，則BE=CE=BC，證出△ABE是等邊三角形，得出∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE=CE，得出∠EAC=∠ECA==30°，證出∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，得出AC=AB，設(shè)AB=x，則AC=x，由直角三角形的性質(zhì)得出CF=3，從而DF=3，設(shè)CG=a，AF=y，證明△ACF∽△CDG，得出，求出y=，由勾股定理得出y2=(x)2-32=3x2-9，b2=62-a2=102-(2x+a)2，(2x+a)2+b2=132，整理得出a=，進(jìn)而得y=，得出[]2=3x2-9，解得x2=34-6，得出y2=()2，解得y=-3，得出AD=AF+DF=，由三角形面積即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AC⊥BC，AC⊥AD，∴∠ACB＝∠CAD＝90°，∵對(duì)角互余四邊形ABCD中，∠B＝60°，∴∠D＝30°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝1，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2，AC＝BC＝，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AC＝3，CD＝2AC＝2，∵S△ABC＝?AC?BC＝××1＝，S△ACD═?AC?AD＝××3＝，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2，故答案為：2；（2）將△BAD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△BCE，如圖②所示：則△BCE≌△BAD，連接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE于G，作CF⊥BH于F．∴∠CFH＝∠FHG＝∠HGC＝90°，∴四邊形CFHG是矩形，∴FH＝CG，CF＝HG，∵△BCE≌△BAD，∴BE＝BD＝13，∠CBE＝∠ABD，∠CEB＝∠ADB，CE＝AD＝8，∵∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠DBC+∠CBE+∠BDC+∠CEB＝90°，∴∠CDE+∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°，在△BDE中，根據(jù)勾股定理可得：DE＝＝＝10，∵BD＝BE，BH⊥DE，∴EH＝DH＝5，∴BH＝＝＝12，∴S△BED＝?BH?DE＝×12×10＝60，S△CED＝?CD?CE＝×6×8＝24，∵△BCE≌△BAD，∴S四邊形ABCD＝S△BCD+S△BCE＝S△BED﹣S△CED＝60﹣24＝36；（3）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，作CF⊥AD于F，DG⊥BC于G，如圖③所示：則BE＝CE＝BC，∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，∴AC＝AB，設(shè)AB＝x，則AC＝x，∵∠ADC＝30°，∴CF＝CD＝3，DF＝CF＝3，設(shè)CG＝a，AF＝y(tǒng)，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAC+∠DAC＝360°，∴∠DAC+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCG＝180°，∴∠DAC＝∠DCG，∵∠AFC＝∠CGD＝90°，∴△ACF∽△CDG，∴＝，即＝，∴y＝，在Rt△ACF中，Rt△CDG和Rt△BDG中，由勾股定理得：y2＝(x)2﹣32＝3x2﹣9，b2＝62﹣a2＝102﹣(2x+a)2，(2x+a)2+b2=132，整理得：x2+ax﹣16＝0，∴a＝，∴y＝＝×＝，∴[]2＝3x2﹣9，整理得：x4﹣68x2+364＝0，解得：x2＝34﹣6，或x2＝34+6（