2024-2025學年度北師版九上數(shù)學4.5相似三角形判定定理的證明【課外培優(yōu)課件】

第四章圖形的相似5相似三角形判定定理的證明

1.下列命題中是真命題的是（

C

）A.有一個角相等的直角三角形都相似B.有一個角相等的等腰三角形都相似C.有一個角是120°的等腰三角形都相似D.兩邊成比例且有一角相等的三角形都相似C2.如圖，在四邊形

ABCD

中，已知∠

ADC

＝∠

BAC

，則補充下

列條件后仍不能判定△

ADC

和△

BAC

相似的是（

C

）A.

CA

平分∠

BCD

C.

AC2＝

BC

·

CD

D.∠

DAC

＝∠

ABC

C3.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部

分）與△

ABC

相似的是（

B

）（第3題圖）ABCDB4.如圖，若

AE

∶

AB

＝

，則△

AEF

∽△

ABC

；若

∠

E

＝

，則△

AEF

∽△

ABC

.

（第4題圖）AF

∶

AC

∠

B

5.（2023·大慶）有一張矩形紙片

ABCD

如圖所示，點

N

在邊

AD

上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為

BN

，點

A

對應的點記為點

M

.

若點

M

恰好落在邊

DC

上，則圖中與△

NDM

一定相似的三角形

是

?.（第5題圖）△

MCB

6.如圖，在Rt△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，

AB

＝10，

BC

＝

6，∠

ABC

的平分線

BE

交

AC

于點

E

，過點

C

作

CD

∥

AB

交

BE

的延長線于點

D

，則

DE

＝

?.（第6題圖）

7.如圖，在△

ABC

中，已知點

D

是邊

AC

上的一點，∠

CBD

的

平分線

BE

交

AC

于點

E

，且

AE

＝

AB

，求證：

AE2＝

AD

·

AC

.

∴

AE2＝

AD

·

AC

.

8.如圖，已知點

E

，

F

在正方形

ABCD

的對角線

AC

上，且∠

EBF

＝45°.（1）若

BE

＝

BF

，求證：

AE

＝

CF

；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

BC

，∠

BAE

＝∠

BCF

＝45°.∵

BE

＝

BF

，∴∠

BEF

＝∠

BFE

.

∴∠

AEB

＝∠

CFB

.

∴△

ABE

≌△

CBF

.

∴

AE

＝

CF

.

（2）若

AB

＝4，求

AF

·

CE

的值.

9.如圖，將矩形

ABCD

沿

GH

對折，點

C

落在點

Q

處，點

D

落在

邊

AB

上的點

E

處，

EQ

與

BC

相交于點

F

.

若

AD

＝8，

AB

＝6，

AE

＝4，則△

EBF

的周長為

?.8

（第9題圖）

（第10題圖）①④

11.如圖，正方形

ABCD

的邊長為1，邊

AB

上有一動點

P

，連接

PD

.

將線段

PD

繞點

P

按順時針方向旋轉90°后，得到線段

PE

，

且

PE

交

BC

于點

F

，連接

DF

.

過點

E

作

EQ

⊥

AB

，交

AB

的延長

線于點

Q

.

（1）求線段

PQ

的長.

（2）點

P

在何處時，△

BFP

∽△

PFD

？并說明理由.

解：如答圖，連接

PF

，

DE

，

PF

與

DE

相交于點

O

，連接

OC

.

∵四邊形

ABCD

和四邊形

PEFD

都是矩形，∴∠

ADC

＝∠

PDF

＝90°，即∠

ADP

＋∠

PDC

＝∠

PDC

＋∠

CDF

.

∴∠

ADP

＝∠

CDF

.

∵∠

BCD

＝90°，

OE

＝

OD

，

在矩形

PEFD

中，

PF

＝

DE

，答圖

∴

OC

＝

OP

＝

OF

.

∴∠

OCF

＝∠

OFC

，∠

OCP

＝∠

OPC

.

又∵∠

OPC

＋∠

OFC

＋∠

PCF

＝180°，∴2∠

OCP

＋2∠

OCF

＝180°.∴∠

PCF

＝90°，即∠

PCD

＋∠

F