6.3 對數(shù)函數(shù)（十三大題型）-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練

第第頁6.3對數(shù)函數(shù)課程標準學習目標（1）理解對數(shù)函數(shù)的概念及圖象、性質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng).（2）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象理解反函數(shù)的概念，掌握對數(shù)型函數(shù)的有關性質(zhì)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學抽象素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng).（1）理解對數(shù)函數(shù)的概念.（2）初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).（3）能運用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關問題.知識點01對數(shù)函數(shù)的概念1、函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域為．2、判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．知識點詮釋：（1）只有形如的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)．（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應注意：①對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對含有字母的式子要注意分類討論．【即學即練1】（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對數(shù)函數(shù)（且），其中為常數(shù)，為自變量．對于選項A，符合對數(shù)函數(shù)定義；對于選項B，真數(shù)部分是，不是自變量，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項C，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項D，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)．故選：A．知識點02對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，知識點詮釋：關于對數(shù)式的符號問題，既受..的制約又受的制約，兩種因素交織在一起，應用時經(jīng)常出錯．下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考．以1為分界點，當，同側(cè)時，；當，異側(cè)時，．【即學即練2】（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為 B．為奇函數(shù)C．在定義域上是增函數(shù) D．的值域為【答案】AB【解析】對于選項,函數(shù)的定義域為，解得，即的定義域為，所以正確；對于選項,，即為奇函數(shù)，所以正確；對于選項,，在上為單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是減函數(shù)，所以不正確；對于選項,因為的定義域為，所以，即，所以不正確；故選：.知識點03底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標系內(nèi)，當時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠離x軸．（見下圖）【即學即練3】（2023·全國·高一專題練習）如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數(shù)，，的一個是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【解析】因為，（3）是，（4）是，又與關于軸對稱，（1）是．故選：B．知識點04反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．知識點詮釋：并不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．【即學即練4】33．（2023·高一?？颊n時練習）若函數(shù)的圖象與且的圖象關于直線對稱，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，即，解得：；與圖象關于對稱，.故選：A.

題型一：對數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2023·黑龍江雙鴨山·高一校考階段練習）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C．（，） D．【答案】B【解析】對于A，真數(shù)為，而不是，故A不是對數(shù)函數(shù)；對于B，底數(shù)為常數(shù)，且，真數(shù)為，且函數(shù)系數(shù)為1，故B是對數(shù)函數(shù)；對于C，真數(shù)為常數(shù)，而不是，故C不是對數(shù)函數(shù)；對于D，真數(shù)為，而不是，故D不是對數(shù)函數(shù)．故選：B．例2．（2023·高一?？颊n時練習）函數(shù)是以a為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，則等于A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)系數(shù)為1，即即或，因為對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于0，所以，，所以．例3．（2023·全國·高一專題練習）下列函數(shù)，其中為對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C變式1．（2023·全國·高一隨堂練習）若函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)為對數(shù)函數(shù)所以或，又且所以故選：B【方法技巧與總結(jié)】判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．題型二：利用對數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且【答案】C【解析】∵函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，∴，且，解得或，∴，故選：C．例5．（2023·高一課時練習）若函數(shù)的圖象過點，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【解析】由已知得，所以，解得：，故選：A．例6．（2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）設a與b均為實數(shù)，且，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)過的點即可求出，進而求出的值.令，由圖可知：，，即，解得：，故，故選：C.變式2．（2023·北京東城·高一?？计谥校┖瘮?shù)為對數(shù)函數(shù)，則．【答案】4【解析】由題意知，，故答案為：4.變式3．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則．【答案】1【解析】因為函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則，解得．故答案為：1.變式4．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝.【答案】1【解析】由題意得，解得或1，又且，所以故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】的系數(shù)為1題型三：求對數(shù)函數(shù)的表達式例7．（2023·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)過點，則的解析式為.【答案】【解析】設，結(jié)合已知有，∴，又且，∴，則，故答案為：.例8．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習）對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則對數(shù)函數(shù)的解析式為.【答案】【解析】設對數(shù)函數(shù)的解析式為(且)，由已知可得，即，解得，即函數(shù)解析式為，故答案為：例9．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市田家炳實驗中學?？茧A段練習），當；，則【答案】（答案不唯一）【解析】對于且定義域為，則，x、y為正數(shù)，滿足，，顯然滿足條件.故答案為：（答案不唯一）變式5．（2023·甘肅白銀·高一統(tǒng)考開學考試）寫出一個滿足且不是常數(shù)函數(shù)的函數(shù)：．【答案】（答案不唯一）【解析】若，則，故符合題意的函數(shù)可以為.故答案為：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他滿足條件的函數(shù)亦可）.變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)同時滿足（1）；（2），其中，則符合條件的一個函數(shù)解析式＝．【答案】（答案不唯一）【解析】由（2）知：在上遞減，由（1），結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)知：，則，綜上，且，故滿足要求.故答案為：（答案不唯一）變式7．（2023·全國·高一隨堂練習）已知為對數(shù)函數(shù)，，則．【答案】1【解析】設（，且），則，∴，即，∴，∴．故答案為：1.變式8．（2023·全國·高一專題練習）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的表達式為.【答案】【解析】設對數(shù)函數(shù)為，，因為對數(shù)函數(shù)的圖象過點，所以，即，解得，所以.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：對數(shù)型函數(shù)過定點問題例10．（2023·四川成都·高三?？茧A段練習）函數(shù)（且）的圖象恒過點．【答案】【解析】由函數(shù)，令，即，可得，所以函數(shù)恒過定點.故答案為：.例11．（2023·遼寧營口·高一?？茧A段練習）若函數(shù)，且的圖象過定點，則的坐標為．【答案】【解析】令得，又，所以函數(shù)過定點即的坐標為故答案為：例12．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象必過定點．【答案】【解析】函數(shù)，則：令，解得，當時．故函數(shù)的圖象必過定點為．故答案為：．變式9．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)（，且）的圖象恒過點．【答案】【解析】令，解得，此時，故（，且）的圖象恒過點.故答案為：變式10．（2023·高一課時練習）函數(shù)的圖象過定點．【答案】【解析】∵令，則，，∴該函數(shù)過定點．故答案為：變式11．（2023·高一課時練習）函數(shù)（且）恒過定點.【答案】【解析】令得，此時，所以函數(shù)恒過定點.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】令真數(shù)為1求解.題型五：對數(shù)函數(shù)的圖象問題例13．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)與（其中）的圖象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】對于A，因為，故為R上的減函數(shù)，其圖象應下降，A錯誤；對于B，時，為R上的減函數(shù)，為上增函數(shù)，圖象符合題意；對于C，時，為上增函數(shù)，圖象錯誤；對于D，時，為上增函數(shù)，圖象錯誤；故選：B例14．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)（為常數(shù)，其中）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)圖象可知函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合可知，當時，，當時，，故，故選：D例15．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定義域為且，因為，所以為奇函數(shù)，排除A，D，當時，，B錯誤，故選：C.變式12．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由已知得函數(shù)的定義域為，∵

，∴為奇函數(shù)，令，則，其中

，故，排除,令，，其中，故，排除,故選：.變式13．（2023·全國·高一專題練習）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，在上單調(diào)遞減，且過第一，第四象限，圖像向左平移個單位，得到，故函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，故選：．變式14．（2023·全國·高一專題練習）若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】變形為：，即在上恒成立，若，此時在上單調(diào)遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數(shù)的圖像，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故選：C變式15．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D【方法技巧與總結(jié)】“數(shù)”是數(shù)學的特征，它精確、量化，最有說服力；而“形”則形象、直觀，能簡化思維過程，降低題目的難度，簡化解題過程，把它們的優(yōu)點集中在一起就是最佳組合．利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡化了解題過程．正因為如此，數(shù)形結(jié)合成為中學數(shù)學的四個最基本的數(shù)學思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運用它來分析和解決問題．在涉及方程與不等式的問題時，往往構造兩個函數(shù)與，則=的實數(shù)解等價于兩個函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標；而的的解等價于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點的橫坐標的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問題得到順利地解決，而且分散了問題解決的難度、簡化了思維過程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來解決方程與不等式的問題．題型六：對數(shù)函數(shù)的定義域例16．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由題意可得，解得，即函數(shù)的定義域是.故答案為：例17．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【解析】已知函數(shù)的定義域為，所以，，所以函數(shù)的定義域為，又，且，解得，且，所以定義域為.故答案為：.例18．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】(-2,2)【解析】由題意得在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.變式16．（2023·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┖瘮?shù)的定義域為．（用區(qū)間表示）【答案】【解析】由對數(shù)函數(shù)定義域及函數(shù)解析式可知，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可解得，綜上可得；即定義域為.故答案為：變式17．（2023·云南曲靖·高一?？茧A段練習）求函數(shù)的定義域.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，即，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：變式18．（2023·高一課時練習）函數(shù)的定義域為.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.變式19．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】由函數(shù)的定義域為，得，恒成立．當時，，成立；當時，需滿足于是．綜上所述，m的取值范圍是．故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的定義域：求定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義．一般地，判斷類似于的定義域時，應首先保證．題型七：對數(shù)函數(shù)的值域與最值例19．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域是．【答案】【解析】∵，∴，即，即，則函數(shù)的值域為.故答案為：例20．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)最小值為0，設，所以只要滿足恒成立，函數(shù)對稱軸為，且，①，即時，滿足題意；②，即時，需滿足，即，得，此時實數(shù)的取值范圍是.綜上，實數(shù)的取值范圍是故答案為：.例21．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因為函數(shù)的定義域為，所以，恒成立.當時，，解得，不滿足題意，當時，a>0Δ=9?4a<0，解得.綜上：.（2）設，值域為，因為函數(shù)的值域為，所以.當時，，，，符合題意.當時，，所以.綜上：.變式20．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的最小值為．【答案】/【解析】因為，令，則，則，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.變式21．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】法一：因為存在，使得成立，所以與的值域有交集，因為，當時，，則，即的值域為，當時，為使有意義，則能成立，即能成立，即，因為，所以，此時，故的值域為，當與的值域沒有交集時，有或，則或，即或.所以當與的值域有交集時，.法二：因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以若存在，使得成立，則有，故，因為，則，所以，故，同時，在上能成立，即能成立，即，因為，所以，綜上：.故答案為：.變式22．（2023·河南駐馬店·高一河南省駐馬店高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】當時，的值域為；記，的值域為，的值域為，；當，即時，在上單調(diào)遞增，，解得：，；當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，解得：或，或；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.變式23．（2023·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎瘮?shù).若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】當時，函數(shù)不存在最大值，故，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以此時，若函數(shù)存在最大值，則，解得，又，所以的取值范圍為故答案為：變式24．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，設，則函數(shù)的值域為．【答案】【解析】由得：，即的定義域為，，令，則，令，則，，，即的值域為.故答案為：.變式25．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則的值域是.【答案】【解析】,單調(diào)遞增，，則的值域是。故答案為：變式26．（2023·全國·高一專題練習）設且，若函數(shù)的值域是，則的取值范圍是.【答案】【解析】由于函數(shù)且的值域是，故當時，滿足.若在它的定義域上單調(diào)遞增，當時，由，.若在它的定義域上單調(diào)遞減，，不滿足的值域是.綜上可得，.故答案為：變式27．（2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】，故當時，.故答案為:.變式28．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于【答案】2【解析】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，無解，綜上，a等于.故答案為：2.【方法技巧與總結(jié)】數(shù)形結(jié)合題型八：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用例22．（2023·全國·高一專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題設，令，而為增函數(shù)，∴要使在上是增函數(shù)，即在上為增函數(shù)且恒大于零，，可得，∴的取值范圍是.故答案為：例23．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）若函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，所以，即，解得.故答案為：.例24．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【解析】任取且，則，因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.變式29．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，解得，設，即求函數(shù)在中的減區(qū)間，即．故選：C．變式30．（2023·湖北荊州·高一沙市中學校考階段練習）若函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，且，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：A．變式31．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由條件可得得.設，易知其圖象的對稱軸為.∵函數(shù)為減函數(shù)，∴要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間，由二次函數(shù)性質(zhì)可得：函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：D.變式32．（2023·全國·高一專題練習）設函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，得，即函數(shù)的定義域為，令，由函數(shù)的對稱軸為：，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以當函數(shù)在上單調(diào)遞增時，所以根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知：，解得，故選：D.變式33．（2023·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，單調(diào)遞增且，所以當時，也單調(diào)遞增，則解得，所以.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】研究型復合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復合法來判定即可．復合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．研究對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅持“定義域優(yōu)先”的原則．題型九：比較指數(shù)冪的大小例25．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意顯然均大于0，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以有，所以，所以，同理可得，又因為在上單調(diào)遞增，所以有，所以，所以，綜上所述：.故選：A.例26．（2023·全國·高一專題練習）已知，，，則x，y，z的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，即；又，可得；而，即；綜上可得.故選：C例27．（2023·全國·高一專題練習）三個實數(shù)的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，，故，故選：B變式34．（2023·全國·高一專題練習）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以．故選：D變式35．（2023·全國·高一專題練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由在上單調(diào)遞減可知，，即；由對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，，即；又可知，即；所以可得.故選：A變式36．（2023·高一課時練習）設，，，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.變式37．（2023·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學?？计谀┤?，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)在R上為減函數(shù)，則，即，對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則．因此.故選：B．【方法技巧與總結(jié)】比較兩個對數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個對數(shù)值的大小，常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）比較同真數(shù)的兩個對數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對數(shù)換底公式化為同底的對數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關系比較大??；②利用對數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關系比較大小．（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過一個恰當?shù)闹虚g量來比較大?。}型十：解對數(shù)型不等式例28．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集為．【答案】【解析】因為，可得對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則原不等式等價于，解得，即原不等式的解集為.故答案為：.例29．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，且，故為偶函數(shù)，當時，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：例30．（2023·高一課時練習）使成立的實數(shù)x的集合是.【答案】【解析】由，可得,所以，即，所以故答案為：變式38．（2023·高一課時練習）若（a＞0，且a≠1），則a的取值范圍是．【答案】【解析】由知，故函數(shù)在上是增函數(shù)．所以由知，故a的取值范圍是.故答案為：變式39．（2023·全國·高一專題練習）不等式的解集是.【答案】【解析】易知，由可得；又函數(shù)在為單調(diào)遞減，所以可得，解得.故答案為：變式40．（2023·高一課時練習）若函數(shù)（其中a為常數(shù)，且）滿足，則的解集是.【答案】【解析】∵，∴是減函數(shù)，即，則由可得，解之得.故答案為：.變式41．（2023·全國·高一課堂例題）已知，，則關于的不等式的解集為．【答案】【解析】易知，且，原不等式可化為，即，兩邊同時平方得，即，所以．又，且，故，所以，從而，解得．故答案為：變式42．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知（且），則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】①當時，，得；②當時，，得.綜上所述，的取值范圍為，故答案為：變式43．（2023·高一課時練習）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，，則不等式的解集為．【答案】【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，則，所以時，時，時，所以不等式等價于或，即或，即或，解得或，即不等式的解集為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解題型十一：判斷對數(shù)函數(shù)的奇偶性例31．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，.(1)若的值域為，求滿足條件的整數(shù)的值；(2)若非常數(shù)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，，，求的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)的值域為，所以函數(shù)的值域包含，，當時，，其值域為，不滿足條件，當時，令，則函數(shù)的對稱軸為，當時，，即的值域為，所以，解得，當時，，則函數(shù)的值域為，即函數(shù)的值域為，不滿足條件，綜上所述，，所以滿足條件的整數(shù)的值為；（2）因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，即，解得或，由函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，所以，經(jīng)檢驗，符合題意，所以，即，由，，，得，，，只要即可，當時，，所以函數(shù)，則，，令，因為，所以，函數(shù)，當時，，則時，恒成立，符合題意；當時，函數(shù)的對稱軸為，當時，則時，恒成立，符合題意；當，即時，則時，，所以，不等式組無解；當，即時，則時，恒成立，符合題意；當，即時，則時，，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為.例32．（2023·上海徐匯·高一上海市第二中學?？计谀┰O為奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值；(2)若函數(shù)，求與兩個函數(shù)圖像的交點坐標．【解析】（1）因為為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)的任意都成立，所以，即，整理得，求解并驗證得或（舍）.（2）由得，整理得，解得，則交點縱坐標y=-2，即與兩個函數(shù)圖像的交點坐標為..例33．（2023·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值【解析】（1）由題意可知，若，則，則有，解得或，即函數(shù)的定義域為.（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，則有，即，化簡可得，解得，則，當時，，不滿足要求；當時，，也滿足要求；所以.變式44．（2023·高一?？颊n時練習）已知函數(shù)，(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)記函數(shù)，問：是否存在實數(shù)使得函數(shù)為偶函數(shù)？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）可知在區(qū)間上的單調(diào)遞減．證明如下：任取，則，，，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；（2），定義域為，假設存在這樣的使得函數(shù)為偶函數(shù)，則恒成立，即，化簡得，當時可使函數(shù)為偶函數(shù)．變式45．（2023·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學?？茧A段練習）已知是偶函數(shù)，(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）的定義域是，因為是偶函數(shù)，所以恒成立，所以，即，所以恒成立，所以；（2），，因為是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，所以不等式等價于，所以在上恒成立，設，，因為是增函數(shù)，是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，所以當時，，所以.變式46．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)若方程有解，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由已知可得，.因為為R上的偶函數(shù)，所以，即，即恒成立，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，故.（2）由（1）知，.令，則，當且僅當時等號成立，所以，即，所以.因為方程有解，即有解，所以，即.變式47．（2023·江蘇徐州·高三邳州市新城中學?？茧A段練習）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).(1)求的值；(2)設，若，求的取值范圍.【解析】（1）因為為奇函數(shù)，所以，即，即，所以，解得，，當，時，，令，解得或，定義域不符合要求，故不成立；當，時，，無意義，不成立；當，時，，定義域為，不符合要求；所以，，，滿足要求；則.（2）因為，，，即，即，因為，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，，即，令，則，所以，，，即，，所以，由題意得，當，即時，取得最大值，最大值為2，所以.【方法技巧與總結(jié)】斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關于原點對稱，則進行（2），如果定義域不關于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)。題型十二：反函數(shù)例34．（2023·天津和平·高二耀華中學?？茧A段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因為直線與直線關于直線對稱，顯然，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又因為的反函數(shù)為，所以，即，故選：A例35．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？茧A段練習）函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，解得，因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，故選：A．例36．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習）若函數(shù)的反函數(shù)，則（

）A．1 B．e C． D．【答案】D【解析】令，解得，即.故選：D變式48．（2023·浙江臺州·高一臺州一中?？计谥校┰O方程的根為，方程的根為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，作圖如下：由方程的根為，則函數(shù)與的交點為；由方程的根為，則函數(shù)與的交點為.由函數(shù)與的圖象關于對稱，且與垂直，則與關于直線對稱，即，，由題意可得：，，則，，所以.故選：A.變式49．（2023·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學?？奸_學考試）已知是定義在上的嚴格減函數(shù)，若，，那么其反函數(shù)是（

）A．定義在上的嚴格增函數(shù) B．定義在上的嚴格減函數(shù)C．定義在上的嚴格增函數(shù) D．定義在上的嚴格減函數(shù)【答案】B【解析】因為是定義在上的嚴格減函數(shù)，若，，則當時，，因為函數(shù)在定義域上的單調(diào)性與其反函數(shù)在定義域上的單調(diào)性相同，故函數(shù)是定義在上的嚴格減函數(shù).故選：B.變式50．（2023·河北衡水·高一?？奸_學考試）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖像關于直線對稱，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于與關于對稱，所以是的反函數(shù)，即，，原不等式即為，令，則，得或（舍），；故選：B.變式51．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)求的反函數(shù)；(2)若函數(shù)，當時，，求a的取值范圍．【解析】（1）令，所以，所以，解得，所以的反函數(shù)，．（2）因為，所以．設，所以，所以．設，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，值域為，當時，，即，所以，解得；當時，，即，所以，解得（舍）．綜上a的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來確定的，特別是當反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時，一定要注明反函數(shù)的定義域．題型十三：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例37．（多選題）（2023·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的值域為 D．圖象關于點中心對稱【答案】BC【解析】對于A，由，得，所以函數(shù)的定義域為，所以A錯誤；對于B，，令，可得該函數(shù)在單調(diào)遞減，又由于函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以復合函數(shù)在單調(diào)遞減，所以B正確；對于C，，令，該函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)的值域為，所以C正確；對于D，因為函數(shù)的定義域為，所以圖象不可能關于點中心對稱，所以D錯誤；故選：BC.例38．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若值域為，則 B．若定義域為，則C．若最大值為0，則 D．若最小值為1，則【答案】AC【解析】選項A：值域為，說明函數(shù)能取到所有大于0的數(shù)，當時，不滿足；當時，，解得：，選項正確；選項B：當定義域為時，函數(shù)恒成立，當時，恒成立；當時，，解得：，綜上，，選項錯誤；選項C：若最大值為0，即的最小值為，故有，解得：，選項正確；選項D：若最小值為1，即的最大值為，則有，無解，選項錯誤；故選：AC.例39．（2023·北京·高三北京四中?？茧A段練習）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集．【解析】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，又因為，解得，所以，，故當，時，是奇函數(shù)，故（2）設，則，因為，所以，，，所以，即，所以在上為增函數(shù)．（3）由于是上的函數(shù)，所以，解得，由為奇函數(shù)以及得，又在上為增函數(shù)．所以，故，解得，故，因此解集為變式52．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的圖像關于軸對稱．(1)求的值；(2)若函數(shù)，，求的最大值．【解析】（1）因為，則其定義域為，又的圖像關于軸對稱，所以恒成立，即恒成立，所以，由于的任意性，所以，故．（2）由（1）知：，，，所以，令，因為，所以，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，又因為函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸，所以分兩種討論，當，即時，，當，即時，，綜上所求．變式53．（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)的圖像恒過定點，且點又在函數(shù)的圖像上.(1)求實數(shù)的值；(2)將圖像上每一點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)的圖像，請寫出函數(shù)的表達式；(3)解不等式.【解析】（1）因為函數(shù)的圖像恒過定點，且點又在函數(shù)的圖像上，所以，所以，又，所以；（2）由（1）知，將圖像上每一點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得，再將圖像向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)的圖像，則；（3）即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的解集為.變式54．（2023·上海靜安·高三校考階段練習）已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值;(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明;(3)當時，若對于上的每一個的值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵是奇函數(shù)，∴在其定義域內(nèi)恒成立，即，故，∴恒成立，∴或1，當時，，不滿足真數(shù)大于0，舍去，當時，令，此時或，所以.（2）當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，理由如下：由（1）得令，則內(nèi)函數(shù)在上為減函數(shù)，而當時，外函數(shù)在上是增函數(shù)，當時，外函數(shù)在上是減函數(shù)，由復合函數(shù)內(nèi)外函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)得：∴當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù).（3）對于上的每一個的值，不等式恒成立，則在上恒成立，令，由（2）知，時，在上是增函數(shù)，又單調(diào)遞減，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以，即的取值范圍是【方法技巧與總結(jié)】如果函數(shù)的定義域為某個區(qū)間，則函數(shù)在這個區(qū)間的任何子集內(nèi)部都有意義；如果函數(shù)在區(qū)間上有意義，而的定義域為，則必有．考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的關系，提問方式靈活．靈活掌握轉(zhuǎn)化的思想，基礎知識扎實是解決此類問題的關鍵．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，而，所以.故選：B2．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：B.3．（2023秋·廣東深圳·高一深圳大學附屬中學校考期末）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同值函數(shù)”，給出下面四個函數(shù)，其中能夠被用來構造“同值函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要想能夠被用來構造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調(diào)，ABC選項，在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，ABC錯誤；D選項，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設，與函數(shù)，，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.故選：D4．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)（且）恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于（且），則函數(shù)（且）恒過定點．故選：D．5．（2023·全國·高一專題練習）為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL.據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小時末的酒精含量都比上一個小時末減少25%，那么此人在開車前至少要休息（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．4.1小時 B．4.2小時 C．4.3小時 D．4.4小時【答案】B【解析】設經(jīng)過小時，血液中的酒精含量為，則.由，得，則.因為，則，所以開車前至少要休息4.2小時.故選：B.6．（2023·全國·高一隨堂練習）當時，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】依題意可將指數(shù)函數(shù)化為，由可知；由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞減，且過定點，即可排除BC，由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，且過定點，排除D，故選：A7．（2022春·四川南充·高一四川省南充高級中學?？奸_學考試）關于函數(shù)，下列描述不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩個交點 D．若，但，則【答案】D【解析】因為，將關于y軸對稱，可得，將位于x軸下方的部分對折至x軸上方，可得，將向右平移2個單位，可得，據(jù)此可得的圖象，結(jié)合圖象可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩個交點，故A、B、C正確；例如：，可得滿足選項D條件，但，故D錯誤；故選：D.8．（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，可知的定義域為，可得，解得，關于不等式，即，整理得，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，結(jié)合，解得，所以不等式的解集為.故選：D.二、多選題9．（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點C．函數(shù)的最小值為D．函數(shù)的圖象關于直線對稱【答案】ABC【解析】函數(shù)的定義域為，則，對于A，，A正確；對于B，由，得，即或，解得或，因此函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，B正確；對于C，顯然，當且僅當，即時，函數(shù)取得最小值，C正確；對于D，由于，而數(shù)0不在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此函數(shù)的圖象關于直線不對稱，D錯誤.故選：ABC10．（2023·全國·高一專題練習）下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)且是奇函數(shù)；B．函數(shù)且的圖像恒過定點；C．的定義域為R，則；D．的值域為R，則.【答案】ABD【解析】函數(shù)且的定義域為R，，則是奇函數(shù)，故A正確；令，即，則，則函數(shù)且的圖像恒過定點，故B正確；若的定義域為R，則在R上恒成立，所以，解得，故C錯誤；若的值域為R，則在R上有解，所以，解得，故D正確.故選：ABD.11．（2023·全國·高一專題練習）若，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】依題意且，，所以，由于，所以，解得，所以BCD選項符合，A選項不符合.故選：BCD12．（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)則下列選項正確的是（

）A．函