7.2 三角函數(shù)概念（十六大題型）-蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練

第第頁(yè)7.2三角函數(shù)概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過(guò)對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．（2）能通過(guò)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，提升邏輯推理素養(yǎng).（3）借助單位圓中三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出六組誘導(dǎo)公式，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（1）通過(guò)借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，了解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).（2）借助任意角三角函數(shù)的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（4）理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.知識(shí)點(diǎn)01三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體，離開(kāi)的、、等是沒(méi)有意義的，它們表示的是一個(gè)比值，而不是、、與的積．【即學(xué)即練1】（2023·四川達(dá)州·高一四川省萬(wàn)源中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．【即學(xué)即練2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是第二象限角，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵θ是第二象限角，∴,∴∴是第一或第三象限角，可得.故選：C.知識(shí)點(diǎn)03單位圓中的三角函數(shù)線圓心在原點(diǎn)，半徑等于1的圓為單位圓．設(shè)角的頂點(diǎn)在圓心，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于，過(guò)作垂直軸于，作垂直軸于點(diǎn)．以為原點(diǎn)建立軸與軸同向，與的終邊（或其反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)（或），則有向線段、、（或）分別叫作的余弦線、正弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線．有向線段：既有大小又有方向的線段．知識(shí)點(diǎn)詮釋：三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過(guò)單位圓與軸的正方向的交點(diǎn)的切線上；三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外．【即學(xué)即練3】（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）利用三角函數(shù)線比較大小(1)與；(2)與；(3)與.【解析】（1）與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線分別為有向線段如下圖所示：故，（2）與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線分別為有向線段由圖可得：．（3）與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線分別為有向線段所以知識(shí)點(diǎn)04同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡(jiǎn)寫(xiě)；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選?。炯磳W(xué)即練4】（2023·新疆和田·高一?？茧A段練習(xí)）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值為【答案】/【解析】由是第四象限角，則，.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)05誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角”；（4）；．【即學(xué)即練5】（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎?，且，化簡(jiǎn)并求的值.【解析】因?yàn)?，且，則，所以，，故.題型一：三角函數(shù)的定義例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以有，因?yàn)椋越鞘堑谒南笙藿?，所以角的最小正值為，故選：D例2．（2023·四川眉山·高一?？计谥校┮阎堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋扇呛瘮?shù)的定義可知，點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以：.故選：B.例3．（2023·貴州遵義·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】即，則故選：B變式1．（2023·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以，所以.故選：A變式2．（2023·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則下列各式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻且宰鴺?biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式3．（2023·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得.故選：C變式4．（2023·安徽蕪湖·高一校聯(lián)考期中）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，且，則，且，解得.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在的終邊上任選一點(diǎn)，P到原點(diǎn)的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．（2）當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．（3）若終邊在直線上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào)例4．（2023·北京海淀·高一北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則函數(shù)的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【解析】若為第一象限角，則，故，若為第二象限角，則，故，若為第三象限角，則，故，B正確；若為第四象限角，則，故.故選：B例5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，為第三象限角，∴，，，∴故選：C．例6．（2023·云南普洱·高一校考階段練習(xí)）的值為（

）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．0 D．不存在【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，，，所以，故選：A變式5．（2023·安徽六安·高一校考階段練習(xí)）若是第三象限角，則下列各式中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，所以，A正確；所以，B錯(cuò)誤；所以，C正確；所以，D正確.故選：B.變式6．（2023·湖南·高一湖南省東安縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，即C正確；又，符號(hào)不確定，即A,B不正確；，符號(hào)不確定，即D不正確.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個(gè)三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)．題型三：確定角所在象限例7．（2023·河南南陽(yáng)·高一南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則的終邊在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x軸的非負(fù)半軸上D．第二、四象限或在x軸上【答案】D【解析】因?yàn)?，可得，則是第一、四象限或x軸正半軸，又因?yàn)?，可得，則是二、四象限或x軸，所以是第四象限或x軸正半軸，所以，可得，令，可得，則在二象限或x軸負(fù)半軸；令，可得，則在四象限或x軸正半軸，綜上可得，的終邊在第二、四象限或在x軸上.故選：D.例8．（2023·甘肅武威·高一校考期中）若且，則為第（

）象限的角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】由三角函數(shù)的定義可知，時(shí)在第一、四象限；時(shí)在第二、四象限，所以且時(shí)，在第四象限.故選：D例9．（2023·山東·高一山東師范大學(xué)附中?？计谥校┮阎?，，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，，根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)與角的象限間的關(guān)系，可得角的終邊位于第四象限.故選：D.變式7．（2023·北京·高一北京市第九中學(xué)?？计谥校┰谥校瑸殁g角，則點(diǎn)（

）A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【解析】因?yàn)橹校瑸殁g角，所以為銳角，可得，，所以點(diǎn)在第四象限.故選：D．變式8．（2023·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，∴，，由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的非正半軸；由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，綜上所述，的終邊位于第三象限．故選:C變式9．（2023·河南南陽(yáng)·高一南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知角的終邊在第一象限或者第三象限，當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，，此時(shí)，不符合要求，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，，此時(shí)，符合要求，所以角的終邊在第三象限，故選：C變式10．（2023·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）已知是第四象限的點(diǎn)，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)槭堑谒南笙薜狞c(diǎn)，所以，，所以角的終邊位于第二象限.故選：B【方法技巧與總結(jié)】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數(shù)值的符號(hào)；（2）根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定角所在象限．題型四：三角函數(shù)線的應(yīng)用例10．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊于，如圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（2）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（3）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（4）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為．例11．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）利用單位圓，求適合下列條件的角α的集合．(1)；(2)．【解析】（1）如圖1，為直線與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)，可知，.設(shè)的終邊落在射線上，的終邊落在射線上，，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，，所以，，.又當(dāng)?shù)慕K邊落在射線或上時(shí)，有，所以，滿足條件的的集合為.（2）如圖2，為直線與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)，可知，.設(shè)的終邊落在射線上，的終邊落在射線上，，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，，所以，，.根據(jù)圖2可知，當(dāng)，且時(shí)，有.所以，當(dāng)時(shí)，由可得，.例12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求的角的取值范圍.【解析】因?yàn)閠an和tan都等于，利用三角函數(shù)的正切線（如圖）可知，角的終邊在圖中陰影部分（不包含y軸），將終邊所在的所有區(qū)域合并得，，即滿足的角的取值范圍為變式11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）利用三角函數(shù)線說(shuō)明(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若，則.【解析】（1）在直角坐標(biāo)系中作出單位圓，的終邊與單位圓交于P，的正弦線、正切線為有向線段MP，AT，則，．因?yàn)?，，，又所以，即．?）如圖所示，設(shè)單位圓與角的終邊分別交于，作軸于，作軸于，作于C，連接，則，所以，即．變式12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）利用三角函數(shù)線，寫(xiě)出滿足下列條件的角x的集合：(1)且；(2)．【解析】（1）分別作出三角函數(shù)線圖象如下所示：由圖（1）知當(dāng)且時(shí)，角滿足的集合.（2）由圖（2）知：當(dāng)時(shí)，角滿足的集合，即；所以的解集為.變式13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在單位圓中，角，的正弦線分別為，，若，求，之間的等量關(guān)系．【解析】由三角函數(shù)的定義知：，又，∴，∴，∴或，，∴或，.變式14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的定義域．【解析】要使原函數(shù)有意義，有，即．如圖，在單位圓中由可知角x的終邊落在由OA，OB及劣弧AB圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）．由可知角x的終邊落在由OC，OD及優(yōu)弧CD圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界），所以，所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋痉椒记膳c總結(jié)】三角函數(shù)線是幾何圖形來(lái)表示數(shù)，即用幾何方法表示三角函數(shù)值，是數(shù)形結(jié)合的有利工具，因此在三角證明求值等問(wèn)題中，常會(huì)有意想不到的作用．題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)例13．（2023·湖南益陽(yáng)·高一期末）在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，每轉(zhuǎn)一圈，則后的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在圓O上每逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一圈，那么后，到達(dá)P點(diǎn)，所以，而在中，且為圓的半徑，取的中點(diǎn)T，如圖，則，所以，則，所以故選：C例14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）點(diǎn)P從出發(fā)，沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)P從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，所以點(diǎn)Q是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以Q，又角的終邊與的終邊是相同的，所以，，所以.故答案為：A例15．（2023·江西師大附中高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P從出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作出半徑為的圓，由題意，，過(guò)作軸于點(diǎn)，則故選：B變式15．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知單位圓上第一象限一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由單位圓上第一象限一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即，所以，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.故選：B變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，滾珠，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿圓形軌道勻速運(yùn)動(dòng)，滾珠按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，滾珠按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來(lái)的速度大小反向運(yùn)動(dòng)．(1)求滾珠，第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及相遇點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動(dòng)的路程．【解析】（1）設(shè)、第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是，則，（秒，即第一次相遇的時(shí)間為4秒．設(shè)第一次相遇點(diǎn)為，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（2）第一次相遇時(shí)，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，故第二次相遇時(shí)，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為．【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求解題型六：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例16．（2023·上海靜安·高三上海市市西中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)為第二象限角，若，則.【答案】/【解析】為第二象限角，則，，若，則有，解得，所以.故答案為：.例17．（2023·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若，且為第二象限角，則．【答案】/【解析】因?yàn)?，且為第二象限角，所?故答案為：例18．（2023·北京昌平·高一北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？计谥校┮阎?，，則【答案】【解析】因?yàn)?，可得，故答案為?變式17．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，為第三象限角，則的值為.【答案】【解析】由題意可得，，即，且為第三象限角，則，，所以.故答案為：.變式18．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則.【答案】【解析】由結(jié)合條件可得，再由可得解.由，可得，所以，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”進(jìn)行變形，如等．（2）平方關(guān)系式需開(kāi)方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取．題型七：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問(wèn)題例19．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎?，則.【答案】【解析】因?yàn)?，則.故答案為：.例20．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，滿足，則．【答案】/【解析】依題意，，所以.故答案為：例21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則.【答案】【解析】，，解得：.故答案為：.變式19．（2023·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，則.【答案】【解析】，.故答案為：.變式20．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知，則的值等于；【答案】4【解析】．故答案為：4.變式21．（2023·高一單元測(cè)試）已知，則＝.【答案】【解析】因，則，又，則.故答案為：變式22．（2023·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）已知，則．【答案】/【解析】由題知，即，∴，且，∴，故答案為：變式23．（2023·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則．【答案】/【解析】.故答案為：變式24．（2023·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀┤簦瑒t．【答案】/0.4【解析】，解得，.故答案為：變式25．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案為：變式26．（2023·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，則的值是.【答案】【解析】因，則.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問(wèn)題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．題型八：與關(guān)系的應(yīng)用例22．（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】將兩邊同時(shí)平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C例23．（2023·廣東汕頭·高一?？计谥校┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，.故選：D.例24．（2023·高一單元測(cè)試）已知，A為第四象限角，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】可得，..又

A為第四象限角，又所以，.所以.答案：C.變式27．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）若是的一個(gè)內(nèi)角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以，則，故選：A.變式28．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，平方得，又故，則．故選：B.變式29．（2023·河南南陽(yáng)·高一社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，平方可得，可得，因?yàn)椋?，所以，又由，所?故選：B.變式30．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知與是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與是方程的兩個(gè)根，，兩邊平方得：，，得．即．故選：D．變式31．（2023·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)棰?，兩邊平方得，故，所以與異號(hào)，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故選：C變式32．（2023·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．隨的變化而變化 B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，由題意，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，所以或，所以，所以，故選：D.變式33．（2023·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┤?，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以?所以，.又，所以，所以.故選：A.變式34．（2023·山東煙臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，又，所以，即，得，所?故選：C.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)求值中常見(jiàn)的變形公式（1），，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：；.（2）求或的值，要根據(jù)的范圍注意判斷它們的符號(hào)．題型九：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例25．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)與求值(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例26．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：．【解析】由題知，，得且，當(dāng)時(shí)，，原式；當(dāng)時(shí)，，，原式；當(dāng)?shù)慕K邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有，所以，原式當(dāng)為第一象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第二象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第三象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第四象限角時(shí)，原式.綜上，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)為第二象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第三象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第四象限角時(shí)，原式.例27．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，求的值．【解析】由，平方可得，可得，又由，可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得.變式35．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）∵，∴，又∵，∴，又，∴，，∵，∴；（2）∵，∴．變式36．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)．(1);(2)【解析】（1）由同角的平方關(guān)系可得，.（2）原式變式37．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）因?yàn)?，所以．原式．【方法技巧與總結(jié)】化簡(jiǎn)要求（1）項(xiàng)數(shù)盡量少；（2）次數(shù)盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；（4）盡量不含根式；（5）能求值的盡可能求值．題型十：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例28．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求證：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）.故成立.（2）故成立.（3）.故成立.例29．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求證：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）左邊==右邊，故得證，（2）左邊==右邊，故得證，（3）左邊==右邊，故得證，（4）左邊==右邊，故得證例30．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，，求證：.【解析】因?yàn)?，，因此，所?變式38．（2023·河南許昌·高一校考期中）證明：.【解析】左邊右邊.所以.變式39．（2023·高一單元測(cè)試）求證:.【解析】方法一:左邊======右邊.方法二:左邊=====

=右邊.【方法技巧與總結(jié)】證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡(jiǎn)的原則，即從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊；還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果；有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便．但是，不管采取哪一種方式，證明時(shí)都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形”．化簡(jiǎn)證明過(guò)程中常用的技巧有：弦切互化，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等．題型十一：利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問(wèn)題例31．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，故選：D.例32．（2023·重慶·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B例33．（2023·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，故選：D.變式40．（2023·河南周口·高一校聯(lián)考期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.變式41．（2023·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A變式42．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）______．【答案】【解析】.故答案為:.變式43．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所?故選：C.【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為到間的角．（3）“小化銳”：用公式二或四將大于的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．題型十二：利用誘導(dǎo)公式求解給值求值問(wèn)題例34．（2023·上海崇明·高三校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：.【答案】【解析】∵，，，，，∴.故答案為：.例35．（2023·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.【答案】/【解析】因?yàn)椋?，且為第二象限角，則，解得或，因?yàn)?，整理可得，即，解得（舍）或，所以，，，所以，，因此?故答案為：.例36．（2023·廣東深圳·高一深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎慕K邊上有一點(diǎn)，則的值為.【答案】/【解析】因?yàn)榈慕K邊上有一點(diǎn)，可得則.故答案為：.變式44．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第三象限角，且，則．【答案】2【解析】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案為：2變式45．（2023·甘肅天水·高一秦安縣第一中學(xué)?？计谀┤簦畡t.【答案】【解析】由題意，，解得：，故答案為：.變式46．（2023·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）若，則.【答案】/【解析】由，得，解得，而，則，所以.故答案為：變式47．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知，則.【答案】/【解析】因?yàn)椋栽焦蚀鸢笧椋?變式48．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與射線（）重合，則.【答案】【解析】由題意，，且，，則由，解得，則.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】解決條件求值問(wèn)題的方法（1）解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．（2）可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型十三：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡(jiǎn)中的應(yīng)用例37．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：.（2）化簡(jiǎn)；（3）化簡(jiǎn)．（4）化簡(jiǎn)；（5）化簡(jiǎn)；（6）已知，求的值.【解析】（1）原式＝；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）由可得，.例38．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【解析】（1），，，故，故.（2）.例39．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.變式49．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）原式.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成，，的形式．②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)．（2）切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．（3）注意“1”的應(yīng)用：．（4）用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，若遇到的形式，需對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．題型十四：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)證明中的應(yīng)用例40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）證明:.【解析】左邊==右邊，故原等式成立.例41．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）左邊==右邊，原式成立.（2）左邊=右邊，原式成立.（3）左邊=右邊，原式成立.（4）左邊=右邊，原式成立.（5）左邊=右邊，原式成立.（6）左邊=右邊，原式成立.例42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）證明：【解析】證明：原式.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式的證明策略對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法．常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法．題型十五：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例43．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且為第三象限角．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因?yàn)?，且為第三象限角，結(jié)合可知.（2）由誘導(dǎo)公式可知，，，，因此由題意有.例44．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【解析】（1），因?yàn)?，所以，又，所以．?）由（1）知，因?yàn)椋?，令，則，，所以例45．（2023·河南駐馬店·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知且有意義，若角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，求的值及的值；（2）是否存在角，使等式同時(shí)成立.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.（注：對(duì)任意角，有成立）【解析】（1）因?yàn)椋?，所以是第三或第四象限角或y軸的非正半軸上的角，因?yàn)橛幸饬x，所以，所以是第一或第四象限或x軸的非負(fù)半軸上的角，綜上可知，角是第四象限角，因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，所以，解得，又是第四象限角，故，從而，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知；（2）因?yàn)榈仁酵瑫r(shí)成立，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，兩式平方后相加得，因?yàn)?，所以可得，即，因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，代入得，又，所以，此時(shí)也符合等式；當(dāng)時(shí)，代入得，又，所以，顯然此時(shí)不符合等式，綜上所述，存在，滿足條件.變式50．（2023·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知角的終邊在第二象限，且與單位圓交于點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)，求的值.【解析】（1）由點(diǎn)在單位圓上，則，解得，由點(diǎn)在第二象限角的終邊上，則.（2）由點(diǎn)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則，，，.變式51．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知是方程的根，求的值；（2）已知，，且，，求和的值.【解析】（1）由得：，，，，，，；（2）由得：…；由得：…；得：，，解得：，又，或，當(dāng)時(shí)，，，又，；當(dāng)時(shí)，，，又，；綜上所述：或.變式52．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩實(shí)根，且，求的值.【解析】∵是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，∴由韋達(dá)定理得，解得.又∵∴∴(舍去)，∴或，∵，∴或∴.【方法技巧與總結(jié)】解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形，將三角函數(shù)的角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這樣可避免公式交錯(cuò)使用時(shí)導(dǎo)致的混亂．題型十六：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值例46．（2023·安徽阜陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，則，因?yàn)椋裕?故選：A例47．（2023·四川樂(lè)山·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，則，則，所以，且，所以.故選：A例48．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.變式53．（2023·江蘇南京·高一南京師大附中校考期中）已知是第二象限，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由是第二象限，得，則，又，所以，所以.故選：A.變式54．（2023·陜西西安·交大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以，故選：.【方法技巧與總結(jié)】巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程．觀察所求角與已知角是否具有互余、互補(bǔ)等特殊關(guān)系．在轉(zhuǎn)化過(guò)程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常見(jiàn)的互余關(guān)系有，；，；，等．常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有，；，等．一、單選題1．（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）若，則α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】顯然，因此，從而，對(duì)于A，因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，A可能；對(duì)于B，因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，B不可能；對(duì)于C，因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，C可能；對(duì)于D，因?yàn)闉榈谒南笙藿牵?，D可能.故選：B2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出下列各式的值：①；②；③；④其中符號(hào)為負(fù)的是（）A．① B．②④ C．①③④ D．①②③【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義以及弧度制可知，即5弧度在第四象限，所以可得①；易知是第二象限角，所以，因此可知②；易知，且位于第四象限，所以③；根據(jù)三角函數(shù)定義可知，所以④；因此符號(hào)為負(fù)的是①②③故選：D．3．（2022上·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角函數(shù)的定義可得，則.故選：D4．（2023上·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?且，所以，即，，所以，故選：B5．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且為第二象限角,，則的值為（

）A．－ B．－C． D．－【答案】C【解析】因?yàn)?，且為第二象限角，所以，則故選:C.6．（2023上·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若的內(nèi)角A，B，C滿足，則A與B的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且A，B，C為的內(nèi)角，因?yàn)樗运曰?，若，則，此時(shí)不存在，故舍去；∴.故選：A.7．（2023下·北京石景山·高一北京市第九中學(xué)?？计谀┤羰侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，則這個(gè)三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】A是三角形的一個(gè)內(nèi)角，∴，又，平方得解得，故．為鈍角，即三角形為鈍角三角形．故選：C．8．（2023下·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）1988年3月14日，LanyShaw在舊金山科學(xué)博物館組織舉辦了最早的大型以為主題的活動(dòng)，之后博物館繼承了這一傳統(tǒng)，后來(lái)3月14日成為了國(guó)際圓周率日（日）.歷史上，求圓周率的方法有多種，其中的一種方法：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值.按照這種方法，的近似值的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長(zhǎng)為，則其內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，單位圓的外切正邊形的邊長(zhǎng)為，則其外切正邊形的周長(zhǎng)為，則有.故選：B.二、多選題9．（2022下·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）下列計(jì)算