2014年高考文科數(shù)學(xué)全國卷1(含詳細(xì)答案)

數(shù)學(xué)試卷第=④，則選A．【提示】求函數(shù)的周期可畫圖，也可用定義或公式直接計(jì)算?！究键c(diǎn)】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。8.【答案】B【解析】根據(jù)三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等?？傻脦缀误w如下圖所示?！咎崾尽咳晥D還原成實(shí)物圖，掌握常見幾何體的三視圖的特征?！究键c(diǎn)】三視圖的考查。9.【答案】D【解析】根據(jù)題意由成立，則循環(huán)，即；又由成立，則循環(huán)，即；又由成立，則循環(huán)，即；又由不成立，則出循環(huán)，輸出?！咎崾尽克惴▎栴}根據(jù)題目一步一步寫出運(yùn)行的結(jié)果?！究键c(diǎn)】算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)。10.【答案】A【解析】根據(jù)拋物線的定義：到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，又拋物線的準(zhǔn)線方程為：，則有：，即有，可解得?！咎崾尽繏佄锞€的焦點(diǎn)弦問題注意轉(zhuǎn)化：到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以互相轉(zhuǎn)化【考點(diǎn)】拋物線的方程和定義11.【答案】C【解析】根據(jù)題中函數(shù)特征，當(dāng)時(shí)，函數(shù)顯然有兩個(gè)零點(diǎn)且一正一負(fù)；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得：，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：和時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，顯然存在負(fù)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得：，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：和時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，欲要使得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為正，則滿足：，即得：，可解得：，則?！咎崾尽烤€性規(guī)劃問題，根據(jù)條件畫出可行域，把目標(biāo)直線平移，找到最優(yōu)解?！究键c(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用，分類討論的運(yùn)用12.【答案】B【解析】根據(jù)題中約束條件可畫出可行域如下圖所示，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為：，又由題中可知，當(dāng)時(shí)，z有最小值：，則，解得：；當(dāng)時(shí)，z無最小值。故選B【提示】函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程有解或者兩個(gè)函數(shù)的圖像有交點(diǎn)的問題?！究键c(diǎn)】線性規(guī)劃的應(yīng)用。第Ⅱ卷二、填空題13.【答案】【解析】根據(jù)題意顯然這是一個(gè)古典概型，其基本事件有：數(shù)1，數(shù)2，語；數(shù)1，語，數(shù)2；數(shù)2，數(shù)1，語；數(shù)2，語，數(shù)1；語，數(shù)2，數(shù)1；語，數(shù)1，數(shù)2共有6種，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有4種，則其概率為：?！咎崾尽壳蠼飧怕蕟栴}可用列舉法?！究键c(diǎn)】古典概率的計(jì)算。14.【答案】A【解析】根據(jù)題意可將三人可能去過哪些城市的情況列表如下：A城市B城市C城市甲去過沒去去過乙去過沒去沒去丙去過可能可能可以得出結(jié)論乙去過的城市為：A．【提示】①根據(jù)邏輯推理，②可用反證法的思想?！究键c(diǎn)】命題的邏輯分析。15.【答案】【解析】由于題中所給是一個(gè)分段函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，由，可解得：，則此時(shí)：；當(dāng)時(shí)，由，可解得：，則此時(shí)：，綜合上述兩種情況可得：【提示】①轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組，最后取并集②畫出函數(shù)的圖像，只要找在直線下方的圖像對應(yīng)的x的求值范圍即為不等式的解集。【考點(diǎn)】分段函數(shù)，解不等式16.【答案】150【解析】根據(jù)題意，在中，已知，易得：；在中，已知，易得：，由正弦定理可解得：，即：；在中，已知，易得：?！咎崾尽堪岩蟮倪吇揭粋€(gè)已知的三角形中去求解?！究键c(diǎn)】空間幾何體，仰角的理解，解三角形的運(yùn)用。三、解答題17.【答案】（1）（2）?！窘馕觥浚?）方程的兩根為2，3，由題意得。設(shè)數(shù)列的公差為d，則，故，從而。所以的通項(xiàng)公式為。（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，由（1）知，則，。兩式相減得所以?！咎崾尽浚?）根據(jù)題中所給一元二次方程，可運(yùn)用因式分解的方法求出它的兩根為2，3，即可得出等差數(shù)列中的，運(yùn)用等差數(shù)列的定義求出公差為d，則，故，從而。即可求出通項(xiàng)公式（2）由第（1）小題中已求出通項(xiàng)，易求出：，寫出它的前n項(xiàng)的形式：，觀察此式特征，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)差比數(shù)列，故可采用錯(cuò)位相減的方法進(jìn)行數(shù)列求和，即兩邊同乘，即：，將兩式相減可得：，所以?！究键c(diǎn)】一元二次方程的解法，等差數(shù)列的基本量計(jì)算，數(shù)列的求和。18.【答案】（1）（2）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為100，質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為104.（3）不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?！窘馕觥浚?）（2）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為。質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為。（3）質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為，由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?！咎崾尽浚?）根據(jù)頻率分布表與頻率分布直方圖的關(guān)系，先根據(jù)：頻率=頻數(shù)÷總數(shù)計(jì)算出各組的頻率，再根據(jù)：高度=頻率／組距計(jì)算出各組的高度，即可以組距為橫坐標(biāo)高度為縱坐標(biāo)作出頻率分布直方圖。（2）根據(jù)題意欲計(jì)算樣本方差先要計(jì)算出樣本平均數(shù)，由平均數(shù)計(jì)算公式可得：質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為，進(jìn)而由方差公式可得：質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為：；（3）根據(jù)題意可知質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為，由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?！究键c(diǎn)】頻率分布表，頻率分布直方圖，平均數(shù)與方差的計(jì)算19.【答案】（1）詳見解析（2）三棱柱的高為?！窘馕觥浚?）連結(jié)，則O為與的交點(diǎn)。因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以。又平面，所以，故平面ABO。由于平面ABO，故。（2）作，垂足為D，連結(jié)AD，作，垂足為H。由于，，故平面AOD，所以，又，所以平面ABC．因?yàn)?，所以為等邊三角形，又，可得。由于，所以，由，且，得，又O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面ABC的距離為。故三棱柱的高為?！咎崾尽浚?）根據(jù)題意欲證明線線垂直通?？赊D(zhuǎn)化為證明線面垂直，又由題中四邊形是菱形，故可想到連結(jié)，則O為與的交點(diǎn)，又因?yàn)閭?cè)面為菱形，對角線相互垂直；又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可得：平面ABO，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)：由于平面ABO，故（2）要求三菱柱的高，根據(jù)題中已知條件可轉(zhuǎn)化為先求點(diǎn)O到平面ABC的距離，即：作，垂足為D，連結(jié)AD，作，垂足為H，則由線面垂直的判定定理可得平面ABC，再根據(jù)三角形面積相等：，可求出的長度，最后由三棱柱的高為此距離的兩倍即可確定出高?！究键c(diǎn)】線線，線面垂直的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到面的距離，等面積法的應(yīng)用20.【答案】（1）（2）的方程為；的面積為?！窘馕觥浚?）圓C的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，設(shè)，則，，由題設(shè)知，故，即。由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是。（2）由（1）可知M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。由于，故O在線段PM的垂直平分線上，又在圓上，從而。因?yàn)榈男甭蕿?，所以的斜率為，故的方程為。又，O到的距離為，，所以的面積為?！咎崾尽浚?）先由圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化可將圓C的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，根據(jù)求曲線方程的方法可設(shè)，由向量的知識和幾何關(guān)系：，運(yùn)用向量數(shù)量積運(yùn)算可得方程：（2）由第（1）中所求可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，加之題中條件，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而，不難得出的方程為；結(jié)合面積公式可求又的面積為?！究键c(diǎn)】曲線方程的求法，圓的方程與幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系21.【答案】（1）（2）?！窘馕觥浚?）圓C的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，設(shè)，則，，由題設(shè)知，故，即。由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是。（2）由（1）可知M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而。因?yàn)镺N的斜率為3，所以的斜率為，故的方程為。又，O到的距離為，，所以的面積為?！咎崾尽浚?）根據(jù)曲線在某點(diǎn)處的切線與此點(diǎn)的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，可先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得：，利用上述關(guān)系不難求得，即可得（2）由第（1）小題中所求b，則函數(shù)完全確定下來，則它的導(dǎo)數(shù)可求出并化簡得：根據(jù)題意可得要對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，則可分以下三類：（Ⅰ）若，則，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，所以。（Ⅱ）若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。所以，存在，使得的充要條件為，無解則不合題意。（Ⅲ）若，則。綜上，a的取值范圍是。【考點(diǎn)】曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用，分類討論的應(yīng)用22.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）由題設(shè)知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以，由已知得，故。（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，則由知，故O在直線MN上。又AD不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故，即。所以，故，又，故。由（1）知，，所以為等邊三角形。【提示】（1）根據(jù)題意可知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，利用對角互補(bǔ)的四邊形有外接圓這個(gè)結(jié)論可得：，由已知得，故（2）不妨設(shè)出的中點(diǎn)為，連結(jié)，則由，由等腰三角形三線合一可得：，故在直線上，又AD不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故，即，所以，故，又，故，由（1）知，，所以為等邊三角形?！究键c(diǎn)】圓的幾何性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)23.【答案】（1）曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線的普通方程為。（2）最大值為；最小值為?！窘馕觥浚?）曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線的普通方程為。（2）曲線C上任意一點(diǎn)到的距離為。則，其中為銳角，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為。當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為?！咎崾尽浚?）根據(jù)題意易得：曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線的普通方程為（2）由第（1）中設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得：距離為，則，其中為銳角，且，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為。當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為?！究键c(diǎn)】橢圓的參數(shù)方程，直線的參數(shù)方