2025版新教材高中數學第六章平面向量及其應用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.2-6.3.3平面向量的正交分解及坐標表示平面向量加減運算的坐標表示學案新人教A版必修第二冊

6．3.2～6.3.3平面對量的正交分解及坐標表示平面對量加、減運算的坐標表示【學習目標】(1)借助平面直角坐標系，駕馭平面對量的正交分解及坐標表示．(2)駕馭平面對量加減法運算的坐標表示．題型1平面對量的正交分解及坐標表示【問題探究1】衛(wèi)星運載火箭每一時刻的速度都有確定的大小和方向，為了便于分析，須要將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度．(1)如何將整個飛行過程中的速度分解為水平和豎直兩個方向的速度呢？(2)我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數對(即它的坐標)表示，那么如何表示坐標平面內的一個向量呢？例1如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j，{i，j}作為基底，分別用i，j表示OA，OB學霸筆記：求點、向量坐標的常用方法(1)求一個點的坐標：可利用已知條件，先求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標，該坐標就等于相應點的坐標．(2)求一個向量的坐標：首先求出這個向量的始點、終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標．跟蹤訓練1如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量{i，j}作為基底，若|a|＝2，θ＝45°，則向量a的坐標為()A．(1，1)B．(－1，－1)C．(2，2)D．(－2，－題型2平面對量加、減運算的坐標表示【問題探究2】設i，j分別是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.(1)依據向量的線性運算性質，分別用基底i，j表示向量a＋b，a－b.(2)向量的加、減運算，可以類比數的運算進行嗎？例2在?ABCD中，AC為一條對角線，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，求BD的坐標．題后師說平面對量坐標運算的策略跟蹤訓練2已知點A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，則向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)題型3平面對量加、減坐標運算的應用例3已知點A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若AP＝AB+AC，試求(1)點P在第一、三象限角平分線上；(2)點P在第一象限內．學霸筆記：(1)由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b?x1＝x2，且y1＝y(tǒng)2.(2)利用向量的坐標運算解題，主要是依據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、減運算的三角形、平行四邊形法則．跟蹤訓練3如圖，平面上A，B，C三點的坐標分別為(2，1)，(－3，2)，(－1，3)．(1)寫出向量AB，(2)假如四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標．隨堂練習1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，則a－b＝()A．(2，0)B．(0，1)C．(2，1)D．(4，1)2．假如用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則AB可以表示為()A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝AD，則頂點D的坐標為()A．(2，72)B．(2，－1C．(4，5)D．(1，3)4．已知點A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，則滿意GA+GB+課堂小結1.平面對量的正交分解及坐標表示．2．平面對量加、減運算的坐標表示．3．平面對量坐標運算的應用．6．3.2～6.3.3平面對量的正交分解及坐標表示平面對量加、減運算的坐標表示問題探究1提示：(1)將飛行速度分別向坐標軸投影，在xOy平面上分解為x，y軸上的向量即可．(2)在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的隨意一個向量a，由平面對量基本定理知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.例1解析：由題圖可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它們的坐標表示為OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，AB＝(－4，2)．跟蹤訓練1解析：由題意可得，a＝(2cos45°)i＋(2sin45°)j＝(2×22)i＋(2×22)答案：A問題探究2提示：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.(2)向量加、減的坐標運算可以完全類比數的運算進行．例2解析：∵AC＝AB+∴AD＝AC-∴BD＝AD-跟蹤訓練2解析：方法一設C(x，y)，則AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x=-4，方法二AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC-答案：A例3解析：(1)設點P的坐標為(x，y)，則AP＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，又∵AB＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，AC＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，∴AP＝AB+AC＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2∴x-λ若P在第一、三象限角平分線上，則9－λ＝2λ＋2，∴λ＝73(2)由(1)知，x=9若P在第一象限內，則9∴－1<λ<9.∴λ＝73時，點P－1<λ<9時，點P在第一象限內．跟蹤訓練3解析：(1)AB＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，AC＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，BC＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1)，(2)設D(x，y)，由AD＝BC＝(2，1)，可得x－2＝2，y－1＝1，所以x＝4，y＝2，故D(4，2)．[隨堂練習]1．解析：因為a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)，故選A.答案：A2．解析：因為A(2，3)，B(4，2)，所以AB＝(2，－1)，所以AB＝2i－j.故選C.答案：C3．解析：設點D(m，n)，則由題意得(4，3)＝(m，n－2)，解得m