第10講柱、錐、臺(tái)的表面積高二數(shù)學(xué)（滬教版2020必修三）（解析版）

第10講柱、錐、臺(tái)的表面積（核心考點(diǎn)講與練）

Q考點(diǎn)考向

名稱(chēng)

表面積

柱體

S表面積=S側(cè)+2S底

（棱柱和圓柱）

錐體

S表面積=Stw+S底

（棱錐和圓錐）

臺(tái)體

S表面積=SIIIJ+S上+S下

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）

求多面體只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多

的表面積面體的表面積

求旋轉(zhuǎn)體可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要

的表面積搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則

通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱

兒何體的

體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積

表面積

Q能力拓展

題型一：棱柱表面積的有關(guān)計(jì)算

一、填空題

1.（2021?上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）已知直棱柱的底面周長(zhǎng)為12,高為4,則

這個(gè)棱柱的側(cè)面積等于.

【答案】48

【分析】根據(jù)直棱柱的側(cè)面積公式直接求解即可

【詳解】因?yàn)橹崩庵牡酌嬷荛L(zhǎng)為12,高為4,

所以這個(gè)棱柱的側(cè)面積為12x4=48,

故答案為：48

2.（2021?上海浦東新?高二期中）一個(gè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為1,高為2,則它的表面積是

【答案】10

【分析】利用正四棱柱的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】因?yàn)檎睦庵酌孢呴L(zhǎng)為1,高為2,

所以它的表面積為2x1x1+4x1x2=10,

故答案為：10

3.（2021.上海市市西中學(xué)高二期中）在斜三棱柱A8C-A4G中，底面AMC是邊長(zhǎng)為2的

等邊三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為2,其中一條側(cè)棱AA與底面△ABC兩邊AB,AC所在直線夾角為45。,

則該斜三棱柱的側(cè)面積為.

【答案】4+4夜

【分析】首先證得CC|_L81G，然后分別求出三個(gè)側(cè)面的面積相加即可求出結(jié)果.

【詳解】

過(guò)點(diǎn)用作8也，必于M，因?yàn)镹GAm=/用片"，則AGA“24A〃，所以

ZC,MA,==90,即又因?yàn)閑用口81M="，所以平面80附，

又因?yàn)間Gu平面qGM,所以AA_L8G，又因?yàn)锳A〃GG，所以CG，B|G，則該斜

三棱柱的側(cè)面積為—x2x2x^——x2x2+2x2=4忘+4,

22

故答案為：4a+4.

4.（2021?上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）已知一個(gè)直四棱柱的底面是菱形，一個(gè)底面的面

積為4,兩個(gè)對(duì)角面（過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面）面積分別為5和6,那么它的表面積為.

【答案】2病+8

【分析】設(shè)直四棱柱底面菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6（〃＜。），高為〃，根據(jù)題意可得必=8,

ah=5,hh=6,求得然后求出直四棱柱的底面菱形的邊長(zhǎng)，即可求出菱形的面積.

【詳解】解：設(shè)直四棱柱底面菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4/〃＜與，高為h,

因?yàn)榈酌娴拿娣e為4,兩個(gè)對(duì)角面（過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面）面積分別為5和6,

所以出＞=8,ah=5,bh=6,

所以"=半’所以"=為'"=裝‘

故直四棱柱的底面菱形的邊長(zhǎng)為=碧，

所以直四棱柱的表面積為4x?x巫+2x4=2病+8.

＜152

故答案為：2病+8.

5.（2021.上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）已知一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)是一個(gè)正方體的頂點(diǎn)，

那么正方體的表面積是正四面體的表面積的倍.

【答案】6

【分析】正方體的棱長(zhǎng)為“，則正四面體的棱長(zhǎng)為■，分別求出正方體和正四面體的表面

積，即可得解.

【詳解】解：如圖所示，正四面體的頂點(diǎn)是一個(gè)正方體的頂點(diǎn)，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，則正四面體的棱長(zhǎng)為夜a,

則S正方體改）

Sow體=45會(huì)＞=4x#x（&aJ=2GA

所以=

D正四面體Z75a

所以正方體的表面積是正四面體的表面積的G倍.

故答案為：＞/3.

二、解答題

6.（2017?上海市七寶中學(xué)高二期中）圖1是某儲(chǔ)蓄罐的平面展開(kāi)圖，其中

NGCD=NEDC=NF=90°,h.AD=CD^DE=CG,FG=FE,若將五邊形COEFG看成

底面，為高，則該儲(chǔ)蓄罐是一個(gè)直五棱柱.

（1）圖2為面ABCD的直觀圖，請(qǐng)以此為底面將該儲(chǔ)蓄罐的直觀圖畫(huà)完整；

（2）已知該儲(chǔ)蓄罐的容積為V=1250CM',求制作該儲(chǔ)蓄罐所須材料的總面積S（精確到整

數(shù)位，材料厚度，按犍及投幣口的面積忽略不計(jì)）

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）691加

【分析】（【）根據(jù)儲(chǔ)蓄罐的平面展開(kāi)圖，直接畫(huà)出儲(chǔ)蓄罐的宜觀圖即可；

（2）設(shè)AD=a,求出五邊形CDEFG的面積，利用幾何體的體積，求出。，然后求幾何體

的表面積.

【詳解】（1）儲(chǔ)蓄罐的直觀圖如下圖所示；

（2）設(shè)=△￡：%是等腰直角三角形，EF=FG=—a,

2

則五邊形CDEFG的面積為〃+；x半〃52

—a

4

得容積V=SCO￡FGXAO=；43=[250,解得：?=10,

其展開(kāi)圖的面積S=5片+J/+缶2=5001+2夜卜691,

因此制作該儲(chǔ)蓄罐所需材料的總面積約為691cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查組合體的展開(kāi)圖和幾何體的體積的簡(jiǎn)單應(yīng)用，意在考查空間想象能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

題型二：圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算

一、填空題

1.（2021?上海?閔行中學(xué)高二期中）如圖，一個(gè)實(shí)心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底邊長(zhǎng)為4,

高為3,若在中間鉆一個(gè)圓柱形孔后其表面積沒(méi)有變化，則孔的半徑為一.

【答案】3

【分析】利用圓柱的上下底面的面積和等于圓柱的側(cè)面積即可求解.

【詳解】設(shè)孔的半徑為r,..?一個(gè)實(shí)心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底邊長(zhǎng)為4,高為3,

在中間鉆一個(gè)圓柱形孔后其表面積沒(méi)有變化，.?.2、兀戶=27n■xB,解得r=3,

孔的半徑為3.

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征和和側(cè)面積公式.

2.（2021?上海市金山中學(xué)高、二期末）將邊長(zhǎng)為4的正方形繞著其一邊旋轉(zhuǎn)2點(diǎn)7r，得到的幾何

體的表面積為

【答案】32+誓

【分析】作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體的表面包括兩個(gè)正方形、兩個(gè)扇形和圓柱

側(cè)面的一部分，由此可求得幾何體的表面積.

【詳解】如下圖所示：

旋轉(zhuǎn)后的幾何體的表面包括兩個(gè)正方形、兩個(gè)扇形和圓柱側(cè)面的一部分，

1164九"

故幾何體的表面積為16+16+2x§xl6;r+3x8;rx4=32+-^-.

故答案為：32+”.

3.（2021?上海?華師大二附中高二期中）將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所

得幾何體的體積為27〃,則該幾何體的全面積為.

【答案】36萬(wàn)

【分析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為則￡=%/a=27萬(wàn)，解得。=3,根據(jù)全面積公式計(jì)算即可.

【詳解】將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為27萬(wàn)，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為〃，則.”=277，解得a=3,

???該圓柱的全面積為S=2乃X3X3+2XIX32=36萬(wàn)，

故答案為：36萬(wàn).

4.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）在如圖所示的斜截圓柱（截面與底面不平行）中，已

加圓柱底面的直徑為4cm,母線長(zhǎng)最短5cm,最長(zhǎng)8cm,則斜截圓柱的側(cè)面積為

cm2

【答案】26乃

【分析】將相同的兩個(gè)幾何體，對(duì)接為圓柱，然后求出新圓柱側(cè)面積的一半即可.

【詳解】解：將相同的兩個(gè)幾何體，對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開(kāi)的面積為斜截圓柱的側(cè)

面積的兩倍，

所以斜截圓柱的側(cè)面積S=（5+8）x2^x2x-=26^cw2.

故答案為：267

5.（2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二期中）若圓柱的底面半徑為2,高為1,則圓柱的

全面積是.

【答案】12萬(wàn)

【分析】根據(jù)題意使用圓柱的底面積、側(cè)面積公式，分別算出該圓柱的底面積和側(cè)面積，從

而得出該圓柱的全面積.

【詳解】；圓柱的底面半徑為r=2,

,圓柱的底面圓面積$=萬(wàn)/=47.

又???圓柱的高為1,二圓柱的母線長(zhǎng)百，

，圓柱的側(cè)面積s2=2亓〃=2兀X2XI=4兀.

所以，該圓柱的全面積為5=25+5=2x4乃+4萬(wàn)=12*

故答案為：12萬(wàn).

二、解答題

6.（2021?上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）四邊形A8C3是圓柱。。的軸截面，E為底面圓

周上的一點(diǎn)，AE=245,BE=4,AD=5.

（1）求證：平面ADE;

（2）求圓柱的表面積.

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）48萬(wàn)

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明跖，平面AOE；

（2）先求出圓柱底面圓的半徑，進(jìn)而可根據(jù)圓柱的表面積公式，求出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：：平面是圓柱。。的軸截面，

A￡）_L平面/WE,：BEu平面/USE,AAD±BE,

乂E為底面圓周上一點(diǎn)，A8為直徑，,AEL8E，

又AOcAE=A,，BE_L平面AZJE

（2）在AABE中

,AE=2>/5，BE=4,??AB=VAE2+BE2=6，

.?.底面圓的半徑廠=3,又???AD=5

，圓柱側(cè)面積為2萬(wàn)x3x5=30萬(wàn)，

上下兩底面面積為乃X32X2=18萬(wàn)，

二圓柱的表面積為30%+18=48乃.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，以及圓柱的表面積公式，需要考生熟記線面垂

直的判定定理以及幾何體的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題型.

題型三：棱錐表面積的有關(guān)計(jì)算

一、填空題

1.（2021?上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）己知正三棱錐O-ABC的底面邊長(zhǎng)為4,

高為2,則此三棱錐的側(cè)面積為.

【答案】8G

【分析】畫(huà)出滿足題意的三棱錐P-ABC圖形，根據(jù)題意，作出高，利用直角三角形，求出

此三棱錐的側(cè)面上的高，即可求出棱錐的側(cè)面積.

【詳解】由題意作出圖形如圖：

因?yàn)槿?棱錐P-ABC足正一棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影。是底面的中心,

在三角PZ*中，PD=2,￡>F=—,

3

???PF=R=半

則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為3x、4x逑=8萬(wàn).

23v

故答案為：8G.

2.（2021?上海?閔行中學(xué)高二期中）棱長(zhǎng)都是2的三棱錐的表面積為.

【答案】473

【分析】先計(jì)算一個(gè)等邊三角形的面積，再計(jì)算4個(gè)等邊三角形的面積和.

【詳解】棱長(zhǎng)都是2的三棱錐的四個(gè)面都是等邊三角形，每個(gè)等邊三角形的面積

S=1x2x2xsin60=>/3,所以三棱錐的表面積是4石.

故答案為：4G

3.（2021?上海市大同中學(xué)高二期末）一個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為6,則

此三棱錐的側(cè)面積為.

【答案】18

【分析】畫(huà)出滿足題意的三棱錐尸-ABC圖形，根據(jù)題意，畫(huà)出高，利用直角三角形，求出

此三棱錐的側(cè)面上的高，即可求出棱錐的側(cè)面積.

【詳解】由題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

因?yàn)槿忮FP-A8C是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影D是底面的中心，

在三角形PDF中：

因?yàn)槿切蜳DF三邊長(zhǎng)P￡>=1,DF=6

所以/￥"=2,

則這個(gè)棱錐的側(cè)面積S=3x；x6xl=18.

故答案為18.

【點(diǎn)睛】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查數(shù)形結(jié)合思

想，還考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題，棱錐的側(cè)面積是每一個(gè)側(cè)面的面積之和.

4.（2021?上海市吳淞中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為1,則該三棱

錐的側(cè)面積為

【答案】273.

【分析】畫(huà)出滿足題意的三棱錐尸-圖形，根據(jù)題意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱

錐的側(cè)面上的高,即可求出棱錐的側(cè)面積.

【詳解】由題意作出圖形如圖：

因?yàn)橐焕忮FP-ABC是正：棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影。是底面的中心,

在三角PD尸中，

;三角形PDF三邊長(zhǎng)PD=1,DF=立,

3

則這個(gè)棱錐的側(cè)面積片=3x,x2x拽=2后.

惻23

故答案為：2G.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征.需要作出高，構(gòu)造直角三角形進(jìn)行邊長(zhǎng)的求解.屬于

中等題型.

題型四：圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算

一、單選題

1.（2021.上海浦東新?高二期中）一個(gè)平行于圓錐（其底面半徑和母線均為定值）底面的平

面將圓錐分成上下兩部分，設(shè)圓錐所分的上下兩部分的側(cè)面積分別為x,>,則函數(shù)y=

的圖像大致是（）

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為"，母線長(zhǎng)為/，則圓錐的側(cè)面積為；F”，則由題意可得

x+y=7rrlf從而可得結(jié)論

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為"，母線長(zhǎng)為/，則圓錐的側(cè)面積為了“，

因?yàn)閳A錐所分的上下兩部分的側(cè)面積分別為x,y,

所以x+y=i〃，Qpy=7trl-x,

因?yàn)槿f(wàn)〃為常數(shù)，所以函數(shù)y=/（x）的圖像大致是條線段，

故選：B

二、填空題

2.（2021?上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2,圓心角為90。的

扇形，則這個(gè)圓錐的全面積是.

【答案】q

4

【分析】先根據(jù)5=/。歸2求出圓錐的側(cè)面面積，再根據(jù)展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)

求出底面圓的半徑，進(jìn)而求出底面面積，相加得到圓錐的全面積.

【詳解】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖面積為乎22=%，圓錐的底面網(wǎng)半彳仝設(shè)為,，則2a=[x2,解

]1JT54

得：所以底面圓面積為兀/=兀，則圓錐的全面積為萬(wàn)十

2444

故答案為：~~

4

3.（2021?上海市南洋模范中學(xué)高二期中）已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的中心角為點(diǎn)，圓錐

底面周長(zhǎng)為2萬(wàn)，則這個(gè)圓錐的表面積為.

【答案】4萬(wàn)

【分析】利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/，底面半徑為「，

則2夕=2]，解得r=l,

又圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的中心角為27r?，

貝1J§"=2兀，解得/=3,

2

所以圓錐的表面積為S=nrl+nr=47r

故答案為：4*

4.（2021?上海市市西中學(xué)高二期中）已知圓錐的底面半徑為3,母線與底面所成角為60,

則圓錐側(cè)面積等于.

【答案】1甌

【分析】畫(huà)出圓錐的直觀圖，結(jié)合題意，求得圓的底面半徑和母線長(zhǎng)，利用側(cè)面積公式，即

可求解.

【詳解】根據(jù)題意，可得。4=3,/%0=6。，如圖所示，

在直向ASQ4中，可得SO==6,即圓錐的母線長(zhǎng)為2叢，

cos60

所以圓錐的側(cè)面積為S=卯7=7x3x6=18乃.

故答案為：181.

5.（2021.上海市徐匯中學(xué)高二期中）用一個(gè)半徑為10厘米的半圓紙片做成一個(gè)忽略接縫的

無(wú)底圓錐，放在水平桌面上，被一陣風(fēng)吹倒，如圖所示，則它的最高點(diǎn)到桌面的距離為

【答案】53厘米

【分析】如圖所示，設(shè)用B為軸截面，過(guò)點(diǎn)4作利用圓的周長(zhǎng)公式解得底面直徑

AB=10,在△物8中解三角形，即可得出.

【詳解】如圖所示，

設(shè)網(wǎng)B為軸截面，過(guò)點(diǎn)A作乃xAB=10萬(wàn)，解得AB=10,

△租8是等邊三角形,

，AO=ABsin60°=10x@=56.

2

...它的最高點(diǎn)到桌面的距離為cm.

故答案為：5^cm.

6.（2021?上海交大附中高二期中）圓錐的側(cè)面積是底面積的5倍，那么這個(gè)圓錐的母線與

軸所成角的正弦值為.

【答案】|

【分析】由已知中圓錐的側(cè)面積是底面積的5倍，可得圓錐的母線是圓錐底面半徑的5倍,

在軸截面中，求出母線與底面所成角的余弦值，進(jìn)而可得母線與軸所成角.

【詳解】解：設(shè)圓錐母線與軸所成角為，，

?.?圓錐的側(cè)面積是底面積的5倍，

,?2———3,

兀廣r

即圓錐的母線是圓錐底面半徑的5倍，故圓錐的軸截面如下圖所示：

r|

貝Ijsin6=7=g,

故母線與軸所成角的正弦值為g;

故答案為：—

7.（2021?上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）以邊長(zhǎng)為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,

將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積等于.

【答案】島

【分析】首先確定旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)相同的圓錐，然后根據(jù)正三角形的邊長(zhǎng)求圓錐的底面圓半徑

和母線，求出圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)體的表面積.

【詳解】由題意，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)相同圓錐的組合體，如下圖：

因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為1,易知正三角形的高為亞，

2

故圓錐的底面半徑為正，高為），母線長(zhǎng)為1,

22

故圓錐的側(cè)面積為』x2%x且xl=史乃，

222

又因?yàn)樾D(zhuǎn)體的表面積是由兩個(gè)圓錐側(cè)面積之和，

所以旋轉(zhuǎn)體體積V=2x近T=&.

2

故答案為：也兀.

8.（2021?上海市亭林中學(xué)高二期中）圓錐底面半徑為1cm,母線長(zhǎng)為2cm,則圓錐的表面

積是?

【答案】37rcm2

【分析】根據(jù)圓錐的表面積公式，由題中條件，可直接得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閳A錐底面半徑為1cm,母線長(zhǎng)為2cm,

所以圓錐的底面積為小『=;rcm2,側(cè)面積為:22乃=2%cm?.

則圓錐的表面積為萬(wàn)+2萬(wàn)=3萬(wàn)5?.

故答案為：3^-cm2

9.（2021?上海虹口.高二期末）已知圓錐的主視圖為如圖所示，則該圓錐的側(cè)面積是

3

【答案】6兀

【分析】本題可根據(jù)圓錐的主視圖確定圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，即可求出該圓錐的側(cè)面積.

【詳解】由圓錐的主視圖易知，圓錐的底面半徑為白，母線長(zhǎng)為4,

則該圓錐的側(cè)面積5=兀倉(cāng)44=6無(wú)，

故答案為：67t.

三、解答題

10.（2021.上海.高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，高為20，底

面半徑為2.

（1）求該圓錐的側(cè)面積；

（2）設(shè)04、0B為該圓錐的底面半徑，且NAO8=90。，M為線段A8的中點(diǎn)，求直線PM

與直線。8所成的角的正切值.

【答案】（1）8萬(wàn)；（2）Vl3.

【解析】（1）利用圓錐側(cè)面積公式即可：（2）通過(guò)中點(diǎn)作輔助線即可.

【詳解】解：（1）QP_L底面048

由題意商〃=2括，底面半徑r=2,

所以母線/=4

圓錐的側(cè)面積S==-x2^-x2x4=&r

22

（2）取。4的中點(diǎn)為N,因?yàn)镸為A8的中點(diǎn)

所以MNUOB,/PMN就是直線PM與直線0B所成的角.

因?yàn)镺8_LOA,OBLOP.

所以08_L平面PCM,MN_L平面PO4,MNLPN

在Rt4PNM中,fW=亞+守=屈，MN=g（）B=1.

所以NPMN的正切值為岳.

即直線PM與直線。8所成的角正切值為而.

Q鞏固提升

一、填空題

1.（2021?上海市松江二中高二階段練習(xí)）圓錐的底面半徑為2,母線與軸所成角為該圓

O

錐的全面積為.

【答案】12萬(wàn)

【分析】求出圓錐的底面積和側(cè)面積，相加即為全面積

【詳解】已知廠=2,且母線與軸所成角為J

所以母線/=4

所以側(cè)面積為祝=8乃，底面積為42=4萬(wàn)

S=Trrl+7rr2=127

故答案為：12萬(wàn)

2.（2021?上海浦東新?高二期中）一個(gè)圓柱的底面半徑為女m,高為4cm,則它的側(cè)面積為

cm2.

【答案】24萬(wàn)

【分析】由圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】解：圓柱的底面半徑為3cm,高為4cm，則它的側(cè)面積為27x3x4=24icm2,

故答案為：24萬(wàn).

3.（2021.上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知圓錐底面半徑為2,母線長(zhǎng)為3,則圓錐的表面積

為.

【答案】10rt

【分析】先算出圓錐底面周長(zhǎng)，進(jìn)而算出側(cè)面積和底面積，最后得到答案.

【詳解】由題意，底面周長(zhǎng)為2萬(wàn)x2=4%,則圓錐表面積為：；x4乃x3+/x22=10%.

故答案為：10兀

4.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓

柱的側(cè)面積為

【答案】44

【分析】圓柱側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘以高.

【詳解】依題意，圓柱底面周長(zhǎng)等于2汝1=2萬(wàn)，故側(cè)面積等于24—2=4萬(wàn)

故答案為：4萬(wàn)

5.（2020.上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）已知矩形ABCD中，AB=\,BC=2,若將

矩形ABCO繞著AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，則該圓柱的表面積為.

【答案】12萬(wàn)

【分析】根據(jù)圓柱的表面積公式求得所求的表面積.

【詳解】依題意可知圓柱的底面半徑為2,高為1,

所以圓柱的表面枳為2^-x22+2^x2xl=12^".

故答案為：12萬(wàn)

6.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二期中）若一個(gè)圓錐的底面面積為4%母線長(zhǎng)為3,則它的側(cè)

面積為.

【答案】6兀

【分析】由已知條件求出底面半徑，從而可求出圓錐的側(cè)面積

【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則萬(wàn)戶=4乃，得r=2,

所以圓錐的側(cè)面積為萬(wàn)H=2x3萬(wàn)=6萬(wàn)，

故答案為：6萬(wàn)

7.（2021.上海市市西中學(xué)高二期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則這個(gè)圓錐

側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是.

【答案】丁

二:〉進(jìn)而結(jié)合扇形得面積公式即

［分析］由題意得產(chǎn)+析=/以及"/=2X萬(wàn)/得到

可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐得地面半徑為，母線為/，高為〃，則產(chǎn)+〃2=尸，由題意知］〃=2*》/,

所以J”、，設(shè)圓錐得側(cè)面展開(kāi)圖得圓心角為a,則1/=乃“，所以卜（2r『=2",

h=>/3r22

即a=1，

故答案為：

8.（2021?上海市第三女子中學(xué)高二期末）面積為4的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,

所得的幾何體的側(cè)面積為.

【答案】版

【分析】由旋轉(zhuǎn)體定義可得，正方體繞一邊旋轉(zhuǎn)之后得到圓柱，圓柱側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)矩形,

圓柱底面周長(zhǎng)即為矩形的長(zhǎng)，圓柱的母線長(zhǎng)即為矩形的寬，山此即得該幾何體的側(cè)面積.

【詳解】由已知條件可得，面積為4的正方形邊長(zhǎng)為2,

繞其一邊旋轉(zhuǎn)之后得到的為圓柱，且此圓柱的母線長(zhǎng)為2,底面半徑也為2,

所以，該圓柱的側(cè)面積為：S斛=2?！?27tx2'2=8兀，

故答案為：阮.

9.（2021?上海?華師大二附中高二期中）某圓錐的底面積為41，側(cè)面積為8萬(wàn)，則該圓錐的

母線與底面所成角的大小為一.

【答案】y

【分析】根據(jù)圓錐底面面積公式以及圓錐側(cè)面面積公式，求出底面半徑和母線長(zhǎng)，即可得出

結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,，母線長(zhǎng)為/,

則;r，=4?,解得r=2,

萬(wàn)〃=2%/=8"，解得/=4,

設(shè)該圓錐的母線與底面所成角為3,

217T

所以cos6=-=—,0<6><-,

422

TT

所以

故答案為：y

10.（2022?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期末）已知某圓錐的高為4,體積為12萬(wàn)，則其側(cè)面

積為.

【答案】157

【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為廣，由圓錐的體積丫=（仃2〃，可解得「的值，再由勾股定理

求得圓錐的母線長(zhǎng)/,而側(cè)面積S=a/,代入數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r,圓錐的體積丫=；7^//=；^^4=12兀，解得r=3.

圓錐的母線長(zhǎng)/=，產(chǎn)+共2=5,...側(cè)面積S—m-l—15s-.

故答案為：15兀

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計(jì)算，理解圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)

生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2021.上海.高二專(zhuān)題練習(xí)）正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為。，6,側(cè)棱長(zhǎng)為;（4+b）,

則此棱臺(tái)的側(cè)面積為.

【答案】2（a+b）\[ab

【分析】作出正四棱臺(tái)A5CD-A4G",則正四棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形，過(guò)耳作

與汽，48交48于點(diǎn)",先求出斜高|gN|,再求出等腰梯形A圈A8的面積，可得出答案.

【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)ABC。-ABIGR,則正四棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形.如圖

在側(cè)面\BXAB中，過(guò)用作用N，AB交AB『點(diǎn)N,

因?yàn)锳NAS為等腰梯形，所以=

所以忸M=-加砰=（等J-（與j=ab

所以側(cè)面積為：4sA4A8=4乂審x瓢=2（a+b）友

故答案為：2（a+6）\/i"

【點(diǎn)睛】本題考查求正四棱臺(tái)的側(cè)面積，考查正四棱臺(tái)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2020?上海?曹楊二中高二期末）若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3,高為2.則這個(gè)正四棱錐的

全面積為;

【答案】24

【解析】由題意畫(huà)出圖形，求出正四棱錐的斜高，再由正方形及三角形面積公式求解.

【詳解】如圖所示，

四棱錐P-ABC。為正四棱錐，高OP=2,底面邊長(zhǎng)鉆=3.

過(guò)。作OGL8C,垂足為G,連接PG,則斜高PG=J22+（|/=,.

，正四棱錐的全面積是S=3X3+4X；X3X|=24.

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查正四棱錐的全面積求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

二、解答題

13.（2021.上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，圓錐底面半徑為1,高為2.

(1)求圓錐內(nèi)接圓柱(一底面在圓錐底面上，另一底面切于圓錐側(cè)面)側(cè)面積的最大值；

(2)圓錐內(nèi)接圓柱的表面積是否存在最大值？說(shuō)明理由；

(3)若圓錐的底面半徑為小高為6,試討論圓錐內(nèi)接圓柱的全面積是否存在最大.

【答案】(1/(2)不存在，理由見(jiàn)解析⑶存在最大值

【分析】(1)依題意作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為，(0</<1)，高為h,利用

三角形相似得到〃=2(1-r),再利用基本不等式求出面積的最大值；

(2)由(1)可得S1g柱全酈,=2/—(-1尸+1],根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；

(3)依題意可得S全=2兀酎，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(1)

解：作出軸截面如下圖所示，

設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為一(。v1),IWJ為〃，§圓柱側(cè)面=2n而，由77s△AQS,所以

篝=若，所以一=g，所以人=2(1—力，5WWJiSi=4^r(l-r)<4^-')=兀

/iC/DC/rlXZ

當(dāng)且僅當(dāng)r=l-r，即r=0.5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)側(cè)面積最大；

(2)解：由(1)可得

SIH柱金面積=21/+2]/=2萬(wàn)/+4加'(1一r)=24[-(廠一1)2+1]，而Ovrcl,故不存在最大值;

(3)解：設(shè)圓柱底面半徑為r(O<r<。)，高〃，由所以典=竺，所以

所以S全=2兀r?+2兀??〃=2兀fl-—^jr2+/?r

當(dāng)1-，＞0,即6＜。，二次函數(shù)/。）=2乃—開(kāi)口向上，在（0M）內(nèi)無(wú)最大值

b

當(dāng)1=0,即b=a,一次函數(shù)/"）=2萬(wàn)初■在（0,a）內(nèi)也無(wú)最大值

a

當(dāng)1-2＜0,即3°,二次函數(shù)開(kāi)口向下，若區(qū)間內(nèi)存在最大值，則對(duì)稱(chēng)軸、e（o,a）

a2（b-a）

所以匕＞2a,綜上當(dāng)且僅當(dāng)匕＞為（圓錐高大于底面半徑）時(shí)，圓錐的內(nèi)接圓柱的全面積存

在最大值；

14.（2021?上海?高二專(zhuān)題練習(xí)）已知等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）全面積為S,求內(nèi)

接正四棱柱的全面積.

［卷案］2（l+2＞/^）,S

3萬(wàn)

【分析】先設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為R,得到內(nèi)接正四棱柱的底邊長(zhǎng)，以及高，根據(jù)圓柱的

表面積公式，求得a=9■，再由正四棱柱的表面積公式，即可求出結(jié)果.

67r

【詳解】設(shè)等邊圓柱底面圓半徑為R,

則它