2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)-第二章-一元二次方程-回顧與思考【課件】

第二章一元二次方程回顧與思考數(shù)學(xué)九年級上冊BS版要點(diǎn)回顧典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01要點(diǎn)回顧1.一元二次方程的相關(guān)定義.（1）一元二次方程：只含有

未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為

的整式方程叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中

叫做二次項(xiàng)，

叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做

，

叫做一次項(xiàng)系數(shù)；

叫做常數(shù)項(xiàng).（3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一個(gè)

2

ax2

a

一次項(xiàng)

b

c

2.一元二次方程的常見解法.（1）直接開平方法.（2）配方法：將一元二次方程配方，化為（x＋m）2＝n的形

式，再直接開平方求解.（3）公式法：當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

的根是x＝

?.（4）因式分解法：

方程的左邊可化成兩個(gè)一次因式的乘積（x

＋P）（x＋Q），右邊為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解.

3.一元二次方程根的判別式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式是Δ＝

?

（1）當(dāng)Δ

0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Δ

0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)Δ

0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；（4）當(dāng)Δ

0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.b2

－4

ac

＞

＝

≥

＜

4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

特別地，如果一元二次方程x2＋Px＋Q＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，

x2，那么x1＋x2＝

，x1x2＝

?.5.以兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）

是

?.

－P

Q

x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0

列一元二次方程解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）審：審題，設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系；（2）列：列出符合題意的方程；（3）解：解方程，檢驗(yàn)解是否符合題意；（4）答：書寫答案.6.實(shí)際問題與一元二次方程.數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02典例講練要點(diǎn)一

一元二次方程的相關(guān)定義

已知關(guān)于x的方程（m－2）x｜m｜－3x－4＝0是一元二次方

程，則m的值為

?.－2

【點(diǎn)撥】一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）是整式方程（方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)）；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.三者缺一不可.

1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（

C

）A.2x＋1＝0B.y2＋x＝1C.x2＋1＝02.若關(guān)于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋｜a｜－1＝0的一個(gè)根是0，則實(shí)數(shù)a的值為

?.C－1

要點(diǎn)二

解一元二次方程

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（2x－1）2＝9；

（2）（x－1）（2x＋1）＝3x－3；（3）x2＋x－8＝0；

（4）2x2－x－3＝0.解：（1）直接開平方，得2x－1＝±3.∴2x－1＝3，或2x－1＝－3.∴x1＝2，x2＝－1.（2）方程可變形為（x－1）（2x＋1）＝3（x－1），移項(xiàng)，得（x－1）（2x＋1）－3（x－1）＝0.∴（x－1）（2x－2）＝0.∴（x－1）2＝0.∴x1＝x2＝1.

【點(diǎn)撥】解一元二次方程的一般順序：先觀察是否可以直接開平方，然后考慮是否可以因式分解，再考慮配方法是否方便，最后考慮公式法.

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（x－1）2－4＝0；解：x1＝3，x2＝－1.（2）（x－1）（2x－3）＝2x－3；

（3）x2＋2x－15＝0；解：x1＝－5，x2＝3.（4）x2－x－3＝0.

要點(diǎn)三

根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系

已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋（2m－3）x＋m2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

【點(diǎn)撥】求參數(shù)的值時(shí)，注意檢驗(yàn).求由兩根構(gòu)成的代數(shù)式的值時(shí)，將待求值的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為含兩根的和與積的代數(shù)式，然后再整體代入求值.與兩根有關(guān)的幾個(gè)代數(shù)式的變形：

（2）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；（3）（x1＋a）（x2＋a）＝x1x2＋a（x1＋x2）＋a2；

－3

2.已知關(guān)于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）證明：∵Δ＝m2－4（m－2）＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4＞0，∴無論m取任何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

要點(diǎn)四

一元二次方程的應(yīng)用

直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商對一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，那么每天可賣出20件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件.（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，則每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元.為提高市場競爭

力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？

【點(diǎn)撥】列一元二次方程解應(yīng)用題是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的條件找出等量關(guān)系，列方程求解，求出方程的根后要注意檢驗(yàn)根是否符合題意.

2

2.某蛋雞養(yǎng)殖場為了響應(yīng)黨中央的扶貧政策，今年起采用“場內(nèi)＋農(nóng)戶”養(yǎng)殖模式，同時(shí)加強(qiáng)對蛋雞的科學(xué)管理，使得蛋雞的產(chǎn)蛋率不斷提高.三月份和五月份的產(chǎn)蛋量分別是2.5萬千克與3.6萬千克.現(xiàn)假定該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月增長率相同.（1）求該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率.解：（1）設(shè)該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為x.根據(jù)題意，得2.5（1＋x）2