2024-2025學年度北師版九上數(shù)學-專題7-相似三角形中常作的輔助線【課件】

第四章圖形的相似專題7相似三角形中常作的輔助線數(shù)學九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述

在幾何圖形的研究中，常常需要添加輔助線來幫助解決問題.在相似三角形的有關問題中，常用的輔助線有：（1）過一點作平行線來構造“A”型或“X”型；（2）過一點作垂線來構造“垂直”型.在作輔助線時，要考慮所添加的輔助線是否能夠構造出一組或多組相似三角形或得到成比例的線段或等角、等線段，從而為證明三角形相似或進行相關的計算與證明創(chuàng)造條件.數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練類型一

作平行線構造“A”型或“X”型

三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖，點G是△ABC的重心，求證：AD＝3GD.

【點撥】解答本題的關鍵是通過作平行線構造相似三角形.一般是過已知比例線段（或求證比例線段）的端點或分點構造“A”型或“X”型相似.

類型二

作垂線構造“垂直”型

如圖，從?ABCD的頂點C分別向AB和AD的延長線引垂線

CE和CF，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：AB·AE＋AD·AF＝AC2.

【點撥】熟練掌握輔助線的作法并能根據(jù)題意構造出相似三角形，利用全等三角形的性質進行線段的轉化是解此題的關鍵.題中若有直角，則可考慮作垂線.

類型三

作延長線構造相似三角形

如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD的平分線

CH⊥AB于點H，BH＝3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△

HBC的面積.解：如圖，延長BA，CD交于點P.∵CH⊥AB，CH平分∠BCD，∴CB＝CP，且BH＝PH.

∵BH＝3AH，∴PA∶AB＝1∶2.∴PA∶PB＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴S△PAD∶S△PBC＝1∶9.

【點撥】對于一些梯形問題，若題目中的條件難以統(tǒng)一起來使用，可考慮延長對邊，構造三角形，運用相似三角形的知識來解決.

如圖，在Rt△ABC中，已知CD為斜邊AB上的高，點E為CD的中點，AE的延長線交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB于點G.

求證：

FG2＝

CF·BF.

類型四

坐標系中構造平行線（或垂線）化斜為直

【點撥】在解決與平面直角坐標系有關的問題（或函數(shù)問題）中，常常將面積關系或其他已知關系轉化為線段關系，然后將線段關系轉化為坐標關系，達到化斜為直的目的.

【解析】如答圖，分別過點A，P作y軸的平行線，過點B作這兩條平行線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

∵點

P

，Q

關于原點對稱，∴O

為

PQ

的中點.∴S△AOQ=S△AOP，S△BOQ=S△BOP.∵S△AOQ∶

S△BOQ＝5∶4，∴S△AOP∶S△BOP＝5∶4.∴AP∶BP＝5∶4.∴BP∶AB＝4∶9.答圖∵AE∥PF，∴△PFB∽△AEB.