2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)-專題7-相似三角形中常作的輔助線【課件】

第四章圖形的相似專題7相似三角形中常作的輔助線數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01專題解讀◎問(wèn)題綜述

在幾何圖形的研究中，常常需要添加輔助線來(lái)幫助解決問(wèn)題.在相似三角形的有關(guān)問(wèn)題中，常用的輔助線有：（1）過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)構(gòu)造“A”型或“X”型；（2）過(guò)一點(diǎn)作垂線來(lái)構(gòu)造“垂直”型.在作輔助線時(shí)，要考慮所添加的輔助線是否能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形或得到成比例的線段或等角、等線段，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明創(chuàng)造條件.數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練類型一

作平行線構(gòu)造“A”型或“X”型

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心.如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，求證：AD＝3GD.

【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形.一般是過(guò)已知比例線段（或求證比例線段）的端點(diǎn)或分點(diǎn)構(gòu)造“A”型或“X”型相似.

類型二

作垂線構(gòu)造“垂直”型

如圖，從?ABCD的頂點(diǎn)C分別向AB和AD的延長(zhǎng)線引垂線

CE和CF，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：AB·AE＋AD·AF＝AC2.

【點(diǎn)撥】熟練掌握輔助線的作法并能根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解此題的關(guān)鍵.題中若有直角，則可考慮作垂線.

類型三

作延長(zhǎng)線構(gòu)造相似三角形

如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD的平分線

CH⊥AB于點(diǎn)H，BH＝3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△

HBC的面積.解：如圖，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)P.∵CH⊥AB，CH平分∠BCD，∴CB＝CP，且BH＝PH.

∵BH＝3AH，∴PA∶AB＝1∶2.∴PA∶PB＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴S△PAD∶S△PBC＝1∶9.

【點(diǎn)撥】對(duì)于一些梯形問(wèn)題，若題目中的條件難以統(tǒng)一起來(lái)使用，可考慮延長(zhǎng)對(duì)邊，構(gòu)造三角形，運(yùn)用相似三角形的知識(shí)來(lái)解決.

如圖，在Rt△ABC中，已知CD為斜邊AB上的高，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB于點(diǎn)G.

求證：

FG2＝

CF·BF.

類型四

坐標(biāo)系中構(gòu)造平行線（或垂線）化斜為直

【點(diǎn)撥】在解決與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的問(wèn)題（或函數(shù)問(wèn)題）中，常常將面積關(guān)系或其他已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，然后將線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，達(dá)到化斜為直的目的.

【解析】如答圖，分別過(guò)點(diǎn)A，P作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)B作這兩條平行線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

∵點(diǎn)

P

，Q

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴O

為

PQ

的中點(diǎn).∴S△AOQ=S△AOP，S△BOQ=S△BOP.∵S△AOQ∶

S△BOQ＝5∶4，∴S△AOP∶S△BOP＝5∶4.∴AP∶BP＝5∶4.∴BP∶AB＝4∶9.答圖∵AE∥PF，∴△PFB∽△AEB.