2025年高考數(shù)學一輪復習（基礎(chǔ)版）課時精講第7章　§7.4　空間直線、平面的垂直（原卷版）

第第頁§7.4空間直線、平面的垂直課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()2．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β3．如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法錯誤的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形4．過平面外一點P的斜線段是過這點的垂線段的eq\f(2\r(3),3)倍，則斜線與平面α所成的角是________．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點C.(1)若點D是AC的中點，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．跟蹤訓練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．跟蹤訓練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值．課時精練一、單項選擇題1．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β2．若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部4．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是()A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n二、多項選擇題5．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F(xiàn)，C，D四點共面6.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB的中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC＝2eq\r(3).則下列說法正確的有()A．CD⊥平面EDPB．四棱錐P－EBCD外接球的體積為4eq\r(3)πC．二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)D．直線PC與平面EDP所成角的正切值為eq\r(2)三、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有________個．8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為eq\f(\r(5)－1,2)，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值約為________．四、解答題9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為點P，且使平面PBD⊥平面BC