2021屆高三數(shù)學“小題速練”含答案解析05

2021屆高三數(shù)學“小題速練”5

答案解析

一、單項選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={x|d_5x_6<0},B={x\3x+}<3],則()

A.{x|0<x<6}B.{x|-l<x<0}C.{x|0<x<6}D.{x|x<0}

【答案】B

【解析】因為A={x|x2-5x-6<0}={x|-l<x<6},B13A+I<3|={%|x<0}

所以An8={x|-l<x<0}

故選：B

2.已知復數(shù)z=l+加滿足三￡=-i,其中I為復數(shù)z的共胸復數(shù)，則實數(shù)〃=()

z-z

A.-1B.2c.1D.1或-1

【答案】C

z-z=2bi

【解析】由題意得三=1一次，所以，所以由二二=—i,得1+Z??=—2bi2=2b?得b=1

z?N=1+z-z

故選：C.

3.若sma=—，則cos2a=

878

BC

A.9--9-D.-9-

【答案】B

【解析】由公式cos2a=1-2s譏2a可得結(jié)果.

,27

詳解：cos2a=1-Isin^a=1——=—

99

故選B.

f無無W()

4.函數(shù)的大致圖象為()

12,x=0

【答案】B

【解析】當X-”時，/(x)=x/f+00,可排除AD；當x<0時，/(x)=x*<0,可排除C.

故選：B.

5.已知a>l,則Tog“x<log"y”是"Ji?〈盯，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為a>l,所以由log“x<log“y,得0<x<y,

所以x-y<0,x2-xy=x(x-y)<0,

所以f〈盯，則充分性成立；

當x=-l,y=-2時:〈孫，但是logax,log”y無意義，故必要性不成立.

綜上，已知a>1,則“l(fā)og“x<log。y”是〈孫，，的充分不必要條件.

故選：A.

6.已知雙曲線/一2=1與拋物線丁=8%的一個交點為p1為拋物線的焦點，若歸耳=5,則雙曲線的

m

漸近線方程為（）

A.x±2y=0B.2x±y=0C.j3x+y=0D.x±0y=O

【答案】C

【解析】

24

由拋物線定義得號+2=5=*=3,;/=24=3?--=1=m=3,因此雙曲線的漸近線方程為

pm

2

/一事=0,百x±y=O,選C.

7.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，大概意思如下：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆

接雨水，天池盆盆口直徑為2尺8寸，盆底直徑為1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中積水深9寸，則平均降雨

量是（注：①平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②1尺等于10寸；③臺體的體積

丫=§1上+嚇+7^?7）〃）（）

A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸

【答案】A

【解析】作出圓臺的軸截面如圖所示:

由題意知，3歹=14寸，OC=6寸，》=18寸，OG=9寸,

即G是OF的中點,

:.GE為梯形OCBE的中位線,

:.GE=-----=10寸，即積水的上底面半徑為10寸，

2

，盆中積水的體積為g乃x（100+36+10x6）x9=588萬（立方寸），

又盆口的面積為142%=196%（平方寸），

平均降雨量是色坦=3寸，即平均降雨量是3寸，

196萬

故選:A

8.如圖，正方體48。。一4四。|。的棱長為2,點。為底面48。的中心，點？在側(cè)面88℃的邊界及

其內(nèi)部運動.若2OLOP，則△RGP面積的最大值為（）

C.75D.275

【答案】C

【解析】取8g的中點尸，連接D】F、CF、GF,連接DO、BO、OC、。內(nèi)、￡>,C,如圖:

因為正方體ABC。—4月G。的棱長為2,

所以BF=BF=T,DO=BO=OC=6,D]B\=DC=2亞,84_1,平面ABC。，平面

44GA,C,D,1平面BBGC,

所以NOD'DD；=瓜OFVOB-BF?=6,DF=dD\B；+BF=3,

所以O。；+OF2=Dp,OD：+OC2=D,C2,

所以O"_LOC,OD[±OF,

由ocnoE=o可得。4，平面OCT,

所以，CF,所以點p的軌跡為線段CF,

又C、F=Jqc；+=石>qc=2,

所以△￡>，產(chǎn)面積的最大值S=gc/-AC=gx2xG=J^

故選：C.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求的，全選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分.）

9.隨著2022年北京冬奧會的臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運動人數(shù)快速上升，冰雪運動市場需求得

到釋放.如圖是2012-2018年中國雪場滑雪人數(shù)（單位：萬人）與同比增長情況統(tǒng)計圖則下面結(jié)論中正確的

是（）.

2012-2018年中國雪場滑雪人數(shù)與同比增長情況統(tǒng)計圖

A.2012-2018年，中國雪場滑雪人數(shù)逐年增加；

B.2013-2015年，中國雪場滑雪人數(shù)和同比增長率均逐年增加；

C.中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬人，因此這

兩年的同比增長率均有提高；

D.2016-2018年，中國雪場滑雪人數(shù)的增長率約為23.4%.

【答案】AB

【解析】根據(jù)條形圖知，2012-2018年，中國雪場滑雪人數(shù)逐年增加，所以A正確；

根據(jù)條形圖知，2013-2015年，中國雪場滑雪人數(shù)逐年增加，

根據(jù)折線圖知，2013-2015年，中國雪場滑雪人數(shù)同比增長率逐年增加，所以B正確；

根據(jù)條形圖知，中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)為1250—103（）=220萬人，2018年比2017年

增加的滑雪人數(shù)為1970-1750=220萬人，根據(jù)折線圖知，2015年比2014年同比增長率上升，但2018

年比2017年同比增長率有下降，故C錯誤；

2016-2018年，中國雪場滑雪人數(shù)的增長率約為=30.5%,故D錯誤；

故選:AB

10.將函數(shù)/(X)=2sin［2x+￡］的圖象向右平移看個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到g(x)的

圖如若g(xjg(%2)=9，且玉,々@［一2》,2萬］,則sin(x+&)的可能取值為()

A.—B.—1C.1D.0

2

【答案】BC

【解析】由題意g(x)=2sin2x+l,g(x)的最大值為3,最小值為一1,因此gCrJgC^)=9,則

JTTT

g(X1)=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+l=3得2x=2k%+—,x=k7r+—,AeZ,又占，々6[-2萬,2%],

24

所以x.,x7&{--7r,--7r,—,—7r},設x.=k.7r+—,x7-k^7r+—k\,k?eZ,則

444444

77r1TT5TT

玉+工2=(勺+女2)萬+,，則當K+k2偶數(shù)(例如4=-1,玉=--屋,左2=1，%2=—))時，Sin(X]+赴)=

1,當匕+左2奇數(shù)(例如K=。，玉=?，女2=1，*2=苧))時，Sin(X］+/)=—1,

故選：BC.

11.設雙曲線C邑-馬=l(a>0,b>0)的左，右焦點分別為片，工，過耳的直線/分別與雙曲線左右兩支交

a-b

----.1----2

于M,N兩點,以MN為直徑的圓過F?,ELMFyMNn^MN,則以下結(jié)論正確的是()

A./耳聞入=120°；B.雙曲線C的離心率為J，；

C.雙曲線C的漸近線方程為>=±岳；D.直線/的斜率為1.

【答案】BC

【解析】如圖，作"。_LMN于

則砒-MN=|必同-|M7V|COSHMN，所以。是

MN中煮,從而怛M=|月兇,

根據(jù)雙曲線定義|M￡HM|=2a,|M；|TNg|=2a,所以周=|MV|=%,

又以MN為直徑的圓過乙，所以Mg_LN^,NMNF2=NNMF?=45°,

于是/月加與=135。，A錯；

又得眼用=|班|=2伍，|N￡|=(20+2)4,

由余弦定理|耳用「=加耳「+|八閭2_2|八凰|叫上。545。得

222

4c=(2A/2?)2+(2V2+2)a-2x2^2ax(272+2)ax—Htf§]W-^=3,所以e=￡=G，B正確;

2礦a

由二=±jg=3得與=2,即2=&,所以漸近線方程為y=±0x,c正確；

a~a-a~a

易知NN耳心＜NNM鳥=45。，所以七“=1211/g瑪＜1,D錯.

故選：BC.

12.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E為邊AB的中點，過E作EDJ_AC于D把AADE沿。石翻

折至AAOE的位置，連結(jié)AC.翻折過程中，其中正確的結(jié)論是()

41

A.DEL\C.

B.存在某個位置，使AE_LBE；

C.若甌=2雨，則5尸的長是定值；

D.若麗=2雨，則四面體C—EEB的體積最大值為竽

【答案】ACD

【解析】由OE_LDC,DELA.D,。得平面4。。，又ACu平面為。。，所以

DE±A,C,A正確；

若存在某個位置，使AELBE,如圖，連接AA4B,因為用=他，所以AE_LAB,

連接CE，正AAHC中，CELAB,CEc4E=E,所以AB,平面4。七，而^Cu平面4。七，所

以AB_L4C，由選項A的判斷有。且。石口48=七，OEu平面A8C，ABI平面A8C,

所以AC，平面ABC，又。Cu平面ABC,所以A。，。。，則這是不可能的，事實上

AD=AD=AEcos600=-AE=-AB=-AC=-CD,B錯；

“2443

"l

F

設M是AC中點，連接尸則BMJ.AC,所以6M//OE,從而。是AM中點,

所以CM=AM=2M￡>,若存=2可，即。尸=2必，所以K0〃A。，所以的0LRW，且由

A“FMCM2

FM//AQ得ACFM?ACAQ,所以方=7^=￡，

ZliJ

22

△A6c邊長為4,則4。=1，=BM=2\f^,

BF=IBM?+FM?=J(26『+(|)=為定值，C正確;

折疊過程中，A。不變，ABCE不動,當尸到平面ABC距離最大時，四面體C—EFB的體積最大，由

22

選項。的判斷知當4。，平面ABC時，尸到平面ABC的距離最大且為§4。=],又

2

SABCE=—xx4=25/3?所以此最大值為％EM=/8c￡=lx2A/^X2=生乙,D正確.

"v-tLrijr-3,39

故選：ACD.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N（2,4）,且尸C<4）=0.8,則P（0<J<2）=.

【答案】0.3

【解析】

正態(tài)分布均值為4=2,P(2<x<4)=0.8-0.5=0.3,故P(0<x<2)=0.3.

14.若多項式d+2x"=4+4(x+1)+???+q()(x+1)+a“(x+l)，則q()=.

【答案】-22

【解析】由2/=2?+1)-1『展開式的通項為&|=2a(》+1產(chǎn)'(一1)"

令11一r=10,解得r=1，

貝1|%)=2(7八(一1)=一22,

故答案為：—22.

A

15.zkABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,。,c,若acos6+2/?cosA=0，則-----tanC的

tan3

最大值是

【答案】⑴.-2(2).叵

4

【解析】?.'acos3+2^cosA=0,

sinAcosB+2sin8cosA=0=sinAcosB=-2sinBcosA=>tanA=-2tanB,

tanA入

------=-2；

tanB

tanA+tan8

,tanC=-tan(A+fi)=-

1-tanAtanB2tanB+l