2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三周 函數(shù)的最大值與最小值(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三周函數(shù)的最大值與最小值(一)教學(xué)設(shè)計(jì)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是函數(shù)的最大值與最小值(一)。該部分內(nèi)容涉及函數(shù)的增減性、極值以及最值的概念。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

1.知識點(diǎn)回顧:在開始本節(jié)課之前,學(xué)生需要回顧已學(xué)過的函數(shù)基礎(chǔ)知識,如函數(shù)的定義、圖像、導(dǎo)數(shù)等。這些知識將為學(xué)生理解本節(jié)課的內(nèi)容打下基礎(chǔ)。

2.知識點(diǎn)銜接:本節(jié)課所涉及的最大值和最小值概念,與學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識有關(guān)。例如,學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的頂點(diǎn),而本節(jié)課所涉及的最值概念就是二次函數(shù)頂點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)用。

3.實(shí)際應(yīng)用:本節(jié)課所學(xué)的函數(shù)最大值和最小值的概念,在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如,在優(yōu)化問題中,需要求解函數(shù)的最大值或最小值來得到最優(yōu)解。通過實(shí)際應(yīng)用的引入,可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

結(jié)合以上分析,本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)將重點(diǎn)講解函數(shù)的增減性、極值和最值的概念,并通過實(shí)例分析和實(shí)際應(yīng)用,幫助學(xué)生理解和掌握所學(xué)知識。同時(shí),教學(xué)過程中要注意啟發(fā)學(xué)生的思維,引導(dǎo)學(xué)生主動探究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。首先，通過分析函數(shù)的增減性、極值和最值的概念，學(xué)生能夠理解并抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征。其次，通過對函數(shù)圖像的觀察和分析，學(xué)生能夠運(yùn)用邏輯推理能力，得出函數(shù)最大值和最小值的求解方法。此外，通過實(shí)例分析和實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識運(yùn)用到解決實(shí)際問題中，提高數(shù)學(xué)建模能力。最后，在求解函數(shù)最值的過程中，學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算技巧。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的核心內(nèi)容是函數(shù)的最大值與最小值。具體來說，重點(diǎn)包括以下幾個(gè)方面：

（1）理解函數(shù)的增減性：學(xué)生需要掌握如何通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的增減性。

（2）掌握極值的概念：學(xué)生需要了解極值的概念，并學(xué)會如何求解函數(shù)的極值。

（3）求解函數(shù)的最值：學(xué)生需要掌握求解函數(shù)最值的方法，并能夠靈活運(yùn)用到實(shí)際問題中。

（4）理解實(shí)際應(yīng)用：學(xué)生需要理解函數(shù)最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用，提高解決問題的能力。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的難點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：學(xué)生難以理解如何通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的增減性。

（2）求解函數(shù)極值：學(xué)生對于如何求解函數(shù)的極值存在困難，特別是對于多元函數(shù)和隱函數(shù)的極值問題。

（3）函數(shù)最值的求解方法：學(xué)生難以掌握求解函數(shù)最值的方法，特別是在多元函數(shù)和含有絕對值、分段函數(shù)等問題中。

（4）實(shí)際應(yīng)用的建模：學(xué)生難以將所學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際問題中，建立合適的數(shù)學(xué)模型求解最值問題。

針對以上重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)有針對性地進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)。例如，可以通過繪制函數(shù)圖像、舉例說明、引導(dǎo)學(xué)生自主探究等方式，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，理解重點(diǎn)。同時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提高解決問題的能力。教學(xué)資源1.軟硬件資源：

-教室內(nèi)的多媒體設(shè)備，包括投影儀和白板

-學(xué)生每人一臺計(jì)算器

-數(shù)學(xué)繪圖軟件，如GeoGebra

2.課程平臺：

-學(xué)校提供的在線學(xué)習(xí)平臺，用于上傳教學(xué)資料和作業(yè)

-數(shù)學(xué)學(xué)科論壇或討論區(qū)，供學(xué)生提問和交流

3.信息化資源：

-教學(xué)PPT和教案

-相關(guān)視頻教程，如KhanAcademy數(shù)學(xué)教學(xué)視頻

-數(shù)學(xué)題庫網(wǎng)站，如Mathway，供學(xué)生自主練習(xí)

4.教學(xué)手段：

-小組討論和合作學(xué)習(xí)

-案例分析和問題解決

-引導(dǎo)式教學(xué)和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)

-利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行函數(shù)圖像繪制和數(shù)值計(jì)算教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解函數(shù)的最大值與最小值的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)函數(shù)的最大值與最小值內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確函數(shù)的最大值與最小值教學(xué)目標(biāo)和函數(shù)的最大值與最小值重難點(diǎn)。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保函數(shù)的最大值與最小值教學(xué)過程的順利進(jìn)行。

設(shè)計(jì)課堂互動環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的最大值與最小值的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入函數(shù)的最大值與最小值學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)基礎(chǔ)知識，幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學(xué)生對舊知的掌握情況，為函數(shù)的最大值與最小值新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解函數(shù)的最大值與最小值知識點(diǎn)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

突出函數(shù)的最大值與最小值重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的最大值與最小值難點(diǎn)，通過對比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞函數(shù)的最大值與最小值問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

設(shè)計(jì)實(shí)踐活動或?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)函數(shù)的最大值與最小值知識的應(yīng)用，提高實(shí)踐能力。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對函數(shù)的最大值與最小值知識的掌握情況。

鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決函數(shù)的最大值與最小值問題。

錯(cuò)題訂正：

針對學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的函數(shù)的最大值與最小值錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識拓展：

介紹與函數(shù)的最大值與最小值內(nèi)容相關(guān)的拓展知識，拓寬學(xué)生的知識視野。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神。

情感升華：

結(jié)合函數(shù)的最大值與最小值內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感。

鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)函數(shù)的最大值與最小值的心得和體會，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)的最大值與最小值內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的最大值與最小值重點(diǎn)和難點(diǎn)。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)的最大值與最小值內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。知識點(diǎn)梳理1.函數(shù)的增減性：

-導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。

-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：通過導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)的增減性。

-單調(diào)增函數(shù)：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。

-單調(diào)減函數(shù)：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

2.極值的概念：

-極值的定義：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，且該點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)符號發(fā)生改變，稱為極值點(diǎn)。

-極大值：如果函數(shù)在極值點(diǎn)處取得局部最大值，則稱為極大值。

-極小值：如果函數(shù)在極值點(diǎn)處取得局部最小值，則稱為極小值。

3.函數(shù)的最值：

-最大值和最小值的定義：函數(shù)在定義域上的最大值和最小值分別是最值。

-求解最值的方法：可以通過求解導(dǎo)數(shù)為0的方程來找到極值點(diǎn)，然后比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值。

-閉區(qū)間上的最值：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則最大值和最小值只可能在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取得。

4.實(shí)際應(yīng)用：

-優(yōu)化問題：在實(shí)際問題中，往往需要找到函數(shù)的最大值或最小值來解決問題。

-成本問題：在成本優(yōu)化問題中，通常需要最小化成本函數(shù)，即找到成本函數(shù)的最小值。

-收益問題：在收益優(yōu)化問題中，通常需要最大化收益函數(shù)，即找到收益函數(shù)的最大值。典型例題講解1.例題1（教材P68，第1題）

題目：已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4。

（2）令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程2x-4=0，得到x=2。

（3）接下來，分析函數(shù)的增減性。當(dāng)x<2時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

（4）因此，函數(shù)在x=2處取得極小值，即f(2)=2^2-4*2+3=-1。

（5）最后，比較端點(diǎn)處的函數(shù)值。f(-1)=(-1)^2-4*(-1)+3=8，f(3)=3^2-4*3+3=0。

（6）所以，函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為8，最小值為-1。

2.例題2（教材P69，第3題）

題目：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+2。

（2）令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程3x^2-6x+2=0，得到x=1。

（3）接下來，分析函數(shù)的增減性。當(dāng)x<1時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。

（4）因此，函數(shù)在x=1處取得極大值，即f(1)=1^3-3*1^2+2*1-1=1。

（5）最后，比較端點(diǎn)處的函數(shù)值。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2*(-1)-1=-3，f(2)=2^3-3*2^2+2*2-1=-1。

（6）所以，函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為1，最小值為-3。

3.例題3（教材P70，第5題）

題目：已知函數(shù)f(x)=(x-1)^2-4(x-1)+5，求函數(shù)在區(qū)間[-2,4]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，將函數(shù)展開得到f(x)=x^2-2x+1-4x+4+5=x^2-6x+10。

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-6。

（3）令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程2x-6=0，得到x=3。

（4）接下來，分析函數(shù)的增減性。當(dāng)x<3時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

（5）因此，函數(shù)在x=3處取得極小值，即f(3)=3^2-6*3+10=1。

（6）最后，比較端點(diǎn)處的函數(shù)值。f(-2)=(-2)^2-6*(-2)+10=32，f(4)=4^2-6*4+10=6。

（7）所以，函數(shù)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為32，最小值為1。

4.例題4（教材P72，第9題）

題目：已知函數(shù)f(x)=2x^3-9x^2+18x-9，求函數(shù)在區(qū)間[-3,1]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=6x^2-18x+18。

（2）令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程6x^2-18x+18=0，得到x=1。

（3）接下來，分析函數(shù)的增減性。當(dāng)x<1時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。

（4）因此，函數(shù)在x=1處取得極大值，即f(1)=2*1^3-9*1^2+18*1-9=10。

（5）最后，比較端點(diǎn)處的函數(shù)值。f(-3)=2*(-3)^3-9*(-3)^2+18*(-3)-9=-129，f(1)=10。

（6）所以，函數(shù)在區(qū)間[-3,1]上的最大值為10，最小值為-129。

5.例題5（教材P74，第12題）

題目：已知函數(shù)f(x)=x^2+4x+3，求函數(shù)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x+4。

（2）令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程2x+4=0，得到x=-2。

（3）接下來，分析函數(shù)的增減性。當(dāng)x<-2時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>-2時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

（4）因此，函數(shù)在x=-2處取得極小值，即f(-2)=(-2)^2+4*(-2)+3=1。

（5）最后，比較端點(diǎn)處的函數(shù)值。f(3)=3^2+4*3+3=18。

（6）所以，函數(shù)在區(qū)間[-2,3]上的最大值為18，最小值為1。教學(xué)反思與改進(jìn)首先，我意識到在講解函數(shù)的增減性時(shí)，部分學(xué)生對于如何判斷函數(shù)的單調(diào)性還存在一定的困惑。在未來的教學(xué)中，我計(jì)劃通過更多的實(shí)例和圖形的展示，幫助學(xué)生更好地理解和掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

其次，在求解函數(shù)的極值和最值時(shí)，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對于如何找到極值點(diǎn)和比較函數(shù)值還存在困難。為了更好地幫助學(xué)生理解和掌握這部分內(nèi)容，我計(jì)劃