專(zhuān)題20 冪函數(shù)（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專(zhuān)題20冪函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量x，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)；(2)時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；(2)若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱(chēng)作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定(1)借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．(2)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．(3)如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較(1)比較函數(shù)值的大小問(wèn)題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱(chēng)為“搭橋”法．(2)比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?3)常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大小．【題型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用題型三：冪函數(shù)的單調(diào)性題型四：冪函數(shù)的奇偶性題型五：冪值大小的比較題型六：定點(diǎn)問(wèn)題題型七：定義域問(wèn)題題型八：值域問(wèn)題題型九：解不等式問(wèn)題題型十：冪函數(shù)綜合問(wèn)題【典例例題】題型一：冪函數(shù)的概念例1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)為冪函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由冪函數(shù)的定義可知：是冪函數(shù)，，和的系數(shù)不為1，故不是冪函數(shù)，故選：D例2．(2023·江西吉安·高一永新中學(xué)?？计谥?下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由冪函數(shù)的定義可知，B選項(xiàng)中的函數(shù)為冪函數(shù)，ACD選項(xiàng)中的函數(shù)都不是冪函數(shù).故選：B.例3．(2023·江西贛州·高一?？计谥?在函數(shù)，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵冪函數(shù)y＝x，∴是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，比冪函數(shù)的圖象多一個(gè)點(diǎn)，∴冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為1．故選：B.變式1．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，故選：B.變式2．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則等于(

)A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得，又因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，可得，解得，所以.故選：B.變式3．(2023·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀?已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則n的值為(

)A． B．1 C．3 D．1或【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，所以或.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，不合題意.當(dāng)時(shí)在上是減函數(shù)，成立.故選：B.變式4．(2023·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？计谥?函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則(

)A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】由題意可知，，解得，.故選：B題型二：冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用例4．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))如圖，下列3個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是(

)A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【解析】由函數(shù)是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；函數(shù)的定義域?yàn)?，?yīng)為圖②；因?yàn)榈亩x域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，故應(yīng)為圖③.故選：A.例5．(2023·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末)若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的圖象大致是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入，得，解得，所以，定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，大致圖像為B，故選：B．例6．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)(且互質(zhì))的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示，則(

)A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以0，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.變式5．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的大致圖象是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，則，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除B、D，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋懦鼳．因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)可得在內(nèi)單調(diào)遞減，故C滿(mǎn)足，故選：C.變式6．(2023·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵搩绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，即該冪函數(shù)的解析式為，其定義域?yàn)?，為偶函?shù)，且在上為減函數(shù).故選：C．題型三：冪函數(shù)的單調(diào)性例7．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由于在為單調(diào)遞減函數(shù)，在時(shí)無(wú)意義，A錯(cuò)誤；在為單調(diào)遞增函數(shù)，B正確；定義域?yàn)?，在無(wú)意義，C錯(cuò)誤；在為單調(diào)遞減函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：B例8．(2023·重慶·高一校聯(lián)考期中)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A(yíng),在上為單調(diào)遞減函數(shù)，但不是在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,，故為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的圖象為不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，故為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故為奇函數(shù)，且為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞減函數(shù)，故D正確，故選：D例9．(2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則在定義域內(nèi)(

)A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有最大值 D．有最小值【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，即，則函數(shù)的定義域?yàn)椋以诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值和最小值.故選：B.變式7．(2023·陜西咸陽(yáng)·高一咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A(yíng)：，所以滿(mǎn)足在上是增函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：在和上都是增函數(shù)，定義域?yàn)?，不滿(mǎn)足在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D不正確；故選：A.變式8．(2023·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀?函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】，由得，又，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：．變式9．(2023·福建·高一廈門(mén)一中校考期中)已知函數(shù)的增區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得函數(shù)的定義域，再令，結(jié)合的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.由，解得或，因?yàn)樵谶f減，在遞增，又因?yàn)樵谶f增，所以增區(qū)間為故選：A變式10．(2023·高一單元測(cè)試)冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是(

)A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2【答案】B【解析】由于冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在是減函數(shù)，故，且是奇數(shù)，且是整數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，是奇數(shù)，；當(dāng)時(shí)，，不是奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是奇數(shù)；故或2．故答選：B變式11．(2023·山西大同·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則對(duì)的表述正確的有(

)A．是奇函數(shù)，在上是減函數(shù) B．是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】C【解析】依題意可設(shè)，則，解得，所以，故是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．故選：C.題型四：冪函數(shù)的奇偶性例10．(2023·山西呂梁·高一統(tǒng)考期中)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于該冪函數(shù)的下列說(shuō)法正確的是(

)A．經(jīng)過(guò)第一象限和第三象限 B．經(jīng)過(guò)第一象限C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，由知，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一象限.故選：B例11．(2023·廣東清遠(yuǎn)·高一校聯(lián)考期中)已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則()A．是奇函數(shù)，在上是減函數(shù)B．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)D．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)解析式為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，，解得，則，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故選：C.例12．(2023·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末)若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則(

)A．或4 B． C．4 D．2【答案】C【解析】若冪函數(shù)，則，解得或，且冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則為偶數(shù)，故.故選：C．變式12．(2023·廣西貴港·高一統(tǒng)考期末)若冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，解析式的冪的指數(shù)為整數(shù),在上單調(diào)遞減，則(

)A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】由題意知是偶函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以為正偶數(shù)，又，∴，解得或．故選：D．變式13．(2023·廣東珠海·高一珠海市第一中學(xué)?？计谥?已知常數(shù)在上有最大值，若的最小值為，則(

)A．0 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】令，，所以，所以為奇函數(shù)，因?yàn)樵谏嫌凶畲笾担栽谏嫌凶畲笾?，所以在上有最小值，即在上有最小值，所以在上有最小值，即，則.故選：C.題型五：冪值大小的比較例13．(2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)校考期中)已知冪函數(shù)，對(duì)任意的且，滿(mǎn)足，若，，，則的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無(wú)法判斷【答案】B【解析】∵已知函數(shù)是冪函數(shù)，∴，∴，或，，或.對(duì)任意的且，滿(mǎn)足，故是增函數(shù)，∴.若，，，即，∴，即，即.則，故選：B.例14．(2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，則下列不等關(guān)系中一定成立的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，取，，滿(mǎn)足，但是，故A錯(cuò)誤，對(duì)于BC選項(xiàng)，取，，滿(mǎn)足，但是，，故BC錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以由可得，故D正確，故選：D．例15．(2023·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中)已知，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，化簡(jiǎn)，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，而，所以.故選：B.變式14．(2023·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中)設(shè)，，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，，所以.故選：D.變式15．(2023·福建南平·高一統(tǒng)考期中)下列比較大小中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，在上是遞增函數(shù)，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.題型六：定點(diǎn)問(wèn)題例16．(2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【解析】由于對(duì)任意的，恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),故答案為：例17．(2023·上海徐匯·高一位育中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，則函數(shù)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_．【答案】【解析】令，得，故函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)，故答案為：例18．(2023·高一課時(shí)練習(xí))冪函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)______．【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：變式16．(2023·高一課時(shí)練習(xí))有關(guān)冪函數(shù)的下列敘述中，錯(cuò)誤的序號(hào)是______．①冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或者關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②兩個(gè)冪函數(shù)的圖像至多有兩個(gè)交點(diǎn)；③圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)，一定不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④如果兩個(gè)冪函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同．【答案】①②④【解析】①，，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以①錯(cuò)誤.②④，由解得或或，即冪函數(shù)與有個(gè)交點(diǎn)，所以②④錯(cuò)誤.③，由于冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)，一定不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，③正確.故答案為：①②④變式17．(2023·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)(為不等于0的常數(shù))的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象恒過(guò)，所以的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：變式18．(2023·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高?？计谥?不論實(shí)數(shù)取何值，函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】【解析】因?yàn)椋十?dāng)，即時(shí)，，即函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.題型七：定義域問(wèn)題例19．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．【答案】.【解析】由冪函數(shù)，可得，解得，即，則滿(mǎn)足，即冪函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.例20．(2023·高一課時(shí)練習(xí))冪函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】由于，所以?xún)绾瘮?shù)的定義域是.故答案為：例21．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知冪函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)______．【答案】1【解析】由題意得到，解得：或，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋项}意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋环项}意．故．故答案為：1變式19．(2023·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】，，解得：，的定義域?yàn)?故答案為：.變式20．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】直接根據(jù)負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方根求解.若有意義，則，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：變式21．(2023·山東菏澤·高一階段練習(xí))已知，則的定義域?yàn)開(kāi)___________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則需，解得且，所以其定義域?yàn)?故答案為：.題型八：值域問(wèn)題例22．(2023·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)?？计谥?函數(shù)在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是____．【答案】/－0.125【解析】解析：因?yàn)楹瘮?shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝－2時(shí)，．故答案為：.例23．(2023·高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.【答案】【解析】時(shí)，，時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：例24．(2023·河北石家莊·高一石家莊市第九中學(xué)?？计谥?若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值域?yàn)開(kāi)___________．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以所以，所以故答案為：變式22．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))已知，設(shè)函數(shù)，其定義域?yàn)榛?，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】根據(jù)定義得到，然后利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.由題意得：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：函數(shù)的最小值為1，故答案為：1變式23．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)，該函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________.【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，得，函數(shù)為，由圖象得函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為：．變?4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象過(guò)，那么在上的最大值為_(kāi)____________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)榈膱D象過(guò)，，解得，在上是單調(diào)遞增的在上的最大值為，故答案為:題型九：解不等式問(wèn)題例25．(2023·重慶·高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，且在上遞減.∵，∴，∵，，∴且，∴.故選：B例26．(2023·甘肅張掖·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以.因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以可化為，可得，解得，所以的取值范圍為.故選:C.例27．(2023·河南洛陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的解集為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，則，，由可得，解得，因此，不等式的解集為.故選：C.變式25．(2023·江蘇蘇州·高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?不等式的解為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】定義域?yàn)?，且在與上均為減函數(shù)，且當(dāng)上，恒成立，當(dāng)上，恒成立，故①或②或③，解①得：，解②得：，解③得：，綜上：不等式的解為.故選：D變式26．(2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)?？计谥?若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】解:由題知構(gòu)造,由冪函數(shù)性質(zhì)可知單調(diào)遞增,,,,綜上:.故選:D變式27．(2023·福建三明·高一校聯(lián)考期中)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[，＋∞) B．(－∞，] C．(，] D．[，]【答案】D【解析】不等式可化為：，解得：.故選：D變式28．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的定義域?yàn)?，且是定義域上的減函數(shù)，所以若，則解得.故選：D.變式29．(2023·山東泰安·高一山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得或，所以不等式的解集為，故選：B.題型十：冪函數(shù)綜合問(wèn)題例28．(2023·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí))已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】(1)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故；(2)由(1)知：，所以，所以函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；由于在上的最大值為3，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，解得；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得(舍去)或(舍去)．綜上所述，．例29．(2023·高一單元測(cè)試)已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由，得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，所以，；(2)因?yàn)榈亩x域?yàn)?，單調(diào)減區(qū)間為，，由，可得或或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.例30．(2023·遼寧遼陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若正數(shù)滿(mǎn)足，若不等式恒成立．求的最大值．【解析】(1)為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，則，即為偶函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，則，即為奇函數(shù)，符合題意；綜上所述：.(2)由(1)得：，即，又，，(當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào))，.變式30．(2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．【解析】(1)已知冪函數(shù)，則，解得或，所以或，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以；(2)由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，若，則，平方后解得，所以x的取值范圍是.變式31．(2023·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【解析】(1)對(duì)于冪函數(shù)，得，解得或，又當(dāng)時(shí)，不為偶函數(shù)，，，，，解得；(2)關(guān)于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，先證明在上單調(diào)遞增：任取，則，，，，又，，，即，故在上單調(diào)遞增，，，又，解得.變式32．(2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．(1)求的解析式；(2)若，，求a的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的解析式為．(2)由，可得，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1．所以a的取值范圍為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列命題中正確的是(

)A．當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)和點(diǎn)C．若冪函數(shù)是奇函數(shù)，則是定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限【答案】D【解析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)但去掉點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)指數(shù)時(shí)，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)是定義域上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上都為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于在函數(shù)中，只要，必有，所以?xún)绾瘮?shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限，故D正確.故選：D.2．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)記，則(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：C3．(2023·遼寧本溪·高一?？茧A段練習(xí))若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則(

)A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，由，得或，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，足，不符合題意.綜上.故選：A.4．(2023·云南怒江·高一?？计谀?若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，則(

)A． B．3 C． D．【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，則，故，∴，∴,故選：C.5．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？奸_(kāi)學(xué)考試)下列不等式一定成立的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A(yíng)，令，則，顯然滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，顯然滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，故C正確；對(duì)于D，令，則，顯然滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．(2023·山東棗莊·高一棗莊八中?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A(yíng)，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，為奇函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C，為奇函數(shù)且在其定義域上不具有單調(diào)性，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，此函數(shù)為奇函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間和上都是增函數(shù)，且在上連續(xù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，符合題意.故選：D.7．(2023·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末)函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，且，滿(mǎn)足，若，且，，則的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無(wú)法判斷【答案】A【解析】對(duì)任意的，且，滿(mǎn)足，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，是冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足單調(diào)性，排除，故，．，，故恒成立．故選：A8．(2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵搩绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，即函數(shù)，也即，則函數(shù)的定義域?yàn)椋耘懦x項(xiàng)CD；又，函數(shù)單調(diào)遞減，故排除B，故選：A.二、多選題9．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的有(

)A． B． C． D．【答案】BC【解析】易得條選項(xiàng)中函數(shù)的定義域都是，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A：，該函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，不符合題意；B：，該函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，符合題意；C：，該函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，符合題意；D：，該函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意，故選：BC10．(2023·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末)下圖為冪函數(shù)的大致圖象，則的解析式可能為(

)A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A(yíng)、C，，，顯然為奇函數(shù)，且指數(shù)在0到1之間，在第一象限是越增越慢的，故A、C正確；對(duì)于B、D，，，顯然為偶函數(shù)，故B、D錯(cuò)誤.故選：AC.11．(2023·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末)冪函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C． D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又因?yàn)?，故，A正確；則，定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，故是偶函數(shù)，B正確；為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故，C錯(cuò)誤；函數(shù)的值域?yàn)?，D正確，故選：ABD12．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)，則(

)A．的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和B．當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為奇函數(shù)C．當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，存在使得【答案】BC【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以時(shí)，的定義域?yàn)?，時(shí)，的定義域?yàn)?，都關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以為奇函數(shù)，B正確；當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以時(shí)，的定義域?yàn)椋瑫r(shí)，的定義域?yàn)?，都關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以為偶函數(shù)，C正確；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是由向右平移個(gè)單位得到，函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，即的取值范圍是.故答案為：14．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)：①，②，③，④，既是偶函數(shù)，又在上為增函數(shù)的是_________．【答案】①④【解析】對(duì)于①，設(shè)，定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，故為偶函數(shù)，又，在上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于②，定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，不符題意；對(duì)于③，定義域?yàn)镽，設(shè)，則，故為奇函數(shù)，不符題意；對(duì)于④，定義域?yàn)?，設(shè)，滿(mǎn)足，故為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，符合題意，故答