對芝諾悖論的總結(jié)

對芝諾悖論的總結(jié)第1篇對芝諾悖論的總結(jié)第1篇悖論：物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，這個要求可以無限的進行下去，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者，它根本起動不了。

例如：一位旅行者步行前往一個特定的地點。他必須先走完一半的距離，然后走剩下距離的一半，然后再走剩下距離的一半，永遠有剩下部分的一半要走。因而這位旅行者永遠走不到目的地！

悖論：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發(fā)點，而當他到達被追者的出發(fā)點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發(fā)點在等著它，有無限個這樣的出發(fā)點。

故事：在阿基里斯和烏龜之間展開一場比賽。烏龜在阿基里斯前頭1000米開始爬，但阿基里斯跑得比烏龜快10倍，比賽開始，當阿基里斯跑了1000米時，烏龜仍然在他前頭100米。而當阿基里斯又跑了100米到達烏龜前此到達的地方時，烏龜又向前爬了10米。芝諾爭辯說，阿基里斯將會不斷地逼近烏龜，但他永遠無法趕上它。

悖論：任何東西占據(jù)一個與自身相等的處所時是靜止的，飛著的箭在任何一個瞬間總是占據(jù)與自身相等的處所，所以也是靜止的。

解釋：箭在運動過程中的任一瞬間時必在一個確定位置上，即是靜止的，而時間是由無限多個瞬時組成的，因此箭就動不起來了。

悖論：兩列物體B、C相對于一列靜止物體A相向運動，B越過A的數(shù)目是越過C的一半，所以一半時間等于一倍時間。

對芝諾悖論的總結(jié)第2篇雖然我不是很清楚經(jīng)濟學引入芝諾是為了什么（積分？），但作為哲學思辯，還是很有意思的。

有待高人進一步闡述和論證，也許從此開啟另一個世界！

“因此，芝諾的假設ii）不能成立”這個結(jié)論怎么得到的？

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對芝諾悖論的總結(jié)第3篇誠如亞里士多德所說，阿基里斯追龜說其實可以歸結(jié)為二分說。按照二分說，阿基里斯在到達烏龜?shù)钠鹋茳c之前，必須先走過這段距離的1/2，為此，又必須先走過1/4，1/8，等等，即必須在有限的時間內(nèi)通過無限多個點，因此按芝諾的理由，阿基里斯根本就動彈不了。

芝諾悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無限可分和有限長度之間的矛盾，亞里士多德沒有能覺察到這一點，當然實際上沒有能駁倒芝諾。P·湯納利（Tannery）在1885年指出，芝諾悖論所反對的是那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的總和的概念。換句話說，芝諾并不否認運動，但是他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。

芝諾的類似觀點還表現(xiàn)在他的兩個針對“多”的悖論中。其中一個見于失傳的芝諾原著的如下一段殘篇：

如果有許多事物，那就必須與實際存在的事物相符，既不多也不少。可是如果有象這樣多的事物，事物（在數(shù)目上）就是有限的了。如果有許多事物，存在物（在數(shù)目上）就是無窮的。因為在各個事物之間永遠有一些別的事物，而在這些事物之間又有別的事物。這樣一來，存在物就是無窮的了。

芝諾認為存在若是“多”就會導致無窮的論證，也表達在另一個悖論里。它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來。這些記述不象阿基里斯追龜說和飛箭靜止說那樣經(jīng)后人或多或少地修改過，雖然表達得沒有那么清楚，但是卻更接近于芝諾的原話。辛普里西奧斯在他的引言里說，芝諾首先論證既無“大小”又無厚度的東西是不能存在的?！耙驗槿绻@樣，它加在某物之上不能使其變大，從某物減去也不能使其變小。但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因減少它而使一物減小，這就明顯地看出，所增加或所減少的是零?！?/p>

因此，把任意數(shù)目的這些“無”元素加在任何東西上都不會使它增大，反之從任何東西里減去它們也不會使它變??；當然，把這些“無”元素通通加起來，即使其數(shù)目有無限多個，其總和還是“無”。上述悖論和關于運動的前三個悖論的共同點，在于假定了空間、時間和物體的無限可分性，實際上還討論了無窮小和連續(xù)性。芝諾在這里其實還援引了如下兩個假設：

i)無限多個相等的任意小的正量的總和必然是無窮大；

ii)無限多個沒有大小的量的總和仍然是沒有大小的量。

其中假設ii)是芝諾反對把線段(時間、空間)看成是一個無限點集(無限多個沒有大小的量的總和)的主要依據(jù)。因此解決芝諾悖論的一個關鍵就是證明假設ii)不成立。A·格蘭巴姆(Grünbaum)于1952年詳盡地討論了這個問題。他把只含有一個點的子區(qū)間定義為退化子區(qū)間，從而得出下列結(jié)論：

1)有限區(qū)間(a，b)是退化子區(qū)間的連續(xù)統(tǒng)的并集；

2)每個退化子區(qū)間的長度是零；

3)區(qū)間(a，b)的長度是b—a；

4)一個區(qū)間的長度不是它的基數(shù)的函數(shù)。

因此，芝諾的假設ii)不能成立。事實上，將一個線段（或別的量）按二分法進行無限分割，不可能有最后元素。因為既是無限分割，它就是一個沒有最后一項的永遠不能完成的過程。在取極限的意義上，按結(jié)論1)，有限區(qū)間(a，b)成為不可數(shù)的無限個退化子區(qū)間的并集，這時雖然每個退化子區(qū)間(或每個點)的長度為0，但整個并集的長度不是0，而是b—a(按結(jié)論3))。這樣，作為對芝諾和亞里士多德的回答，時間和距離都是作為無長度元素(點)的無窮集合的線性連續(xù)統(tǒng)。換言之，線段是點的無窮集合，而時間是無廣延的瞬刻的無窮集合，它們都是線性連續(xù)統(tǒng)。這樣，飛箭靜止說這一悖論，原來指在任一給定的瞬刻是不動的但在由無限多瞬刻組成的連續(xù)體上卻是