高中數(shù)學(xué)第3章統(tǒng)計(jì)案例3-1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件新人教A版選修2-3

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用目標(biāo)定位重點(diǎn)難點(diǎn)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念．2．會(huì)通過(guò)分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果．3．掌握建立回歸模型的步驟．4．了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用.重點(diǎn)：了解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別及模型擬合效果的分析工具．難點(diǎn)：殘差變量的分析及指標(biāo)的理解.隨機(jī)誤差

0

越小

解釋變量

預(yù)報(bào)變量

(xi，yi)

越小

越好

1．下列變量是相關(guān)關(guān)系的是(

)A．人的身高與視力B．角的大小與所對(duì)的圓弧長(zhǎng)C．小麥畝產(chǎn)量與總產(chǎn)量D．人的年齡與身高【答案】D【例1】某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺(tái)之間有如下關(guān)系：線性回歸分析x35404550y56412811(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)求日銷售量y對(duì)銷售單價(jià)x的線性回歸方程；(3)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元，根據(jù)(1)寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)．【解題探究】作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖觀察是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)．8求線性回歸方程的最大難點(diǎn)是系數(shù)計(jì)算較為煩瑣，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)認(rèn)真，隨時(shí)做好檢查，防止錯(cuò)誤數(shù)據(jù)給后續(xù)步驟帶來(lái)連鎖反應(yīng)．為避免出錯(cuò)，以及出錯(cuò)后便于檢查，可將公式分解分別求出．1.(2020年江西模擬)某品牌2020款汽車即將上市，為了對(duì)這款汽車進(jìn)行合理定價(jià)，某公司在某市五家4S店分別進(jìn)行了兩天試銷售，得到如下數(shù)據(jù)：(1)分別以五家4S店的平均單價(jià)與平均銷量為散點(diǎn)，求出單價(jià)與銷量的回歸直線方程＝x＋；(2)在大量投入市場(chǎng)后，銷量與單價(jià)仍服從(1)中的關(guān)系，且該款汽車的成本為12萬(wàn)元/輛，為使該款汽車獲得最大利潤(rùn)，則該款汽車的單價(jià)約為多少萬(wàn)元(保留一位小數(shù))？【例2】一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下：(1)建立零件數(shù)為解釋變量，加工時(shí)間為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差；(2)你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫(huà)零件數(shù)和加工時(shí)間的關(guān)系嗎？擬合效果分析編號(hào)12345678910零件數(shù)x/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y/分626875818995102108115122【解題探究】利用公式分別計(jì)算即可．【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖(圖略)，從而可以判斷出用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)．計(jì)算得加工時(shí)間對(duì)零件數(shù)的線性回歸方程為＝0.668x＋54.96.殘差數(shù)據(jù)如下表，(2)以零件數(shù)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作出殘差圖如上圖所示．由圖可知?dú)埐铧c(diǎn)分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好．但需注意，由殘差圖也可以看出，第4個(gè)樣本點(diǎn)和第5個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．8(1)殘差平方和越小，預(yù)報(bào)精確度越高．(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好．2．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x(元)和需求量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)為：求出y對(duì)x的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞．價(jià)格x1416182022需求量y1210753【例3】在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了8組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：試建立y與x之間的回歸方程．非線性回歸分析催化劑的量x1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y6830277020565350【解題探究】作出散點(diǎn)圖可看出此題是非線性回歸分析問(wèn)題，樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍．不妨設(shè)變量z＝lny，然后對(duì)x與z作相關(guān)性檢驗(yàn)，如果它們具有線性相關(guān)關(guān)系，就可以進(jìn)一步求z對(duì)x的回歸直線方程，這時(shí)再回代z＝lny，就得到了y對(duì)x的回歸方程．【解析】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖(如圖)，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x

的周圍，其中c1和c2是待定的參數(shù)，令z＝lny，則z＝lny＝c2x＋lnc1，即變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表，作出z與x的散點(diǎn)圖(如圖)．x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.8588非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，此時(shí)可以由已知的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，再把散點(diǎn)圖與已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)(如冪函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)做比較，挑選出這些散點(diǎn)圖擬合最好的函數(shù)模型，然后采用變量置換，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決．3．某種書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15【示例】關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：對(duì)相關(guān)指數(shù)R2利用不當(dāng)致錯(cuò)x24568y3040605070錯(cuò)因分析：用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)比較模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，并不是R2越小擬合效果越好．5．若兩個(gè)變量不呈線性關(guān)系，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過(guò)變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型．例如y＝c1ec2x，我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系．令z＝lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．2．一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為y＝7.19x＋73.93.若用此模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高，則正確的敘述是(

)A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm以下D．身高在145.83cm左右【答案】DThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime