高中數(shù)學第二章平面向量2-2-2向量減法運算及其幾何意義課件新人教A版必修4

2.2.2向量減法運算及其幾何意義必備知識·自主學習1.相反向量定義:如果兩個向量_________,_________,那么稱這兩個向量是相反向量.性質(zhì):(1)對于相反向量有:a+(-a)=__.(2)若a,b互為_________,則a=-b,a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是_______.導思(1)相反向量與相反數(shù)一樣嗎?你能作出向量a與b的差a-b嗎?(2)向量減法有哪些運算法則?長度相等方向相反0相反向量零向量【思考】有人說:相反向量即方向相反的向量,定義中“長度相等”是多余的,對嗎?提示:不對,相反向量要從“模”與“方向”兩個方面去理解,不是僅方向相反,還必須長度相等.2.向量的減法(1)定義:a-b=a+(-b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.(2)作法:在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則向量a-b=____,如圖所示.(3)幾何意義:a-b可以表示為從向量b的_____指向向量a的_____的向量.終點終點【思考】(1)由向量減法的定義,你認為向量的減法與加法有何聯(lián)系?提示:向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義,-=,就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.(2)由向量減法作圖方法,求差的兩個向量的起點是怎樣的?差向量的方向如何?提示:求差的兩個向量是共起點的,差向量連接兩向量終點,方向指向被減向量.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩向量首尾相連,和向量由第一個向量的始點指向第二個向量的終點. (

)(2)向量a-b,當它們起點重合時可以看作從向量b的終點指向向量a的終點的向量. (

)(3)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量. (

)(4)向量與向量是相反向量. (

)提示:(1)√.由向量加法的三角形法則知正確.(2)√.由向量減法法則知正確.(3)×.由平行向量與相反向量的定義可知,相反向量必為平行向量,平行向量不一定是相反向量.(4)√.向量與向量長度相等,方向相反.2.(教材二次開發(fā):例題改編)在△ABC中,D是BC的中點,設=c,=b,=a,=d,則d-a=________.

【解析】d-a=d+(-a)=+==c.答案:c2.(教材二次開發(fā):例題改編)在△ABC中,D是BC的中點,設=c,=b,=a,=d,則d-a=________.

【解析】d-a=d+(-a)=+==c.答案:c3.設b是a的相反向量,則下列說法正確的有________.

①a與b的長度必相等;②a∥b;③a與b一定不相等;④a是b的相反向量.【解析】因為0的相反向量是0,故③不正確.其他均正確.答案:①②④關(guān)鍵能力·合作學習類型一向量減法的幾何意義(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·濟南高一檢測)如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.2.如圖,O為△ABC內(nèi)一點,=a,=b,=c.求作:(1)b+c-a;(2)a-b-c.【解析】1.方法一:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,

則=a+b,再作=c,則=a+b-c.方法二:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,連接OC,則=a+b-c.2.如圖所示,以,為鄰邊作?OBDC,連接OD,AD,則=+=b+c,所以,(1)b+c-a=-=.(2)a-b-c=a-(b+c)=-=.【解題策略】(1)作兩向量的差的步驟.【解題策略】(1)作兩向量的差的步驟.(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行,如a-b,可以先作-b,然后用加法a+(-b)即可.(3)向量減法的三角形法則對共線向量也適用.【補償訓練】

1.如圖所示,已知向量a,b,c,求作a-b-c.【解析】如圖所示,以A為起點分別作向量和,使=a,=b.連接CB,得向量,再以C為起點作向量,使=c.連接DB,得向量.則向量即為所求作的向量a-b-c.2.試根據(jù)圖中給出的向量,確定a,b,c,d的方向(用箭頭表示),使a+b=,c-d=,并畫出b-c和a+d.【解析】因為a+b=,c-d=,所以如圖所示,作平行四邊形OBEC,平行四邊形ODFA.根據(jù)平行四邊形法則可得b-c=,a+d=.類型二向量的加減法運算(邏輯推理、直觀想象)【題組訓練】1.在△ABC中,D,E,F分別為AB,BC,CA的中點,則等于(

)2.設點M是線段BC的中點,點A在直線BC外,||2=16,||=||,則||=(

)A.8 B.4 C.2 D.13.化簡:(1)(2)【解析】1.選D.如圖所示,2.選C.由||=||可知與垂直,故△ABC為直角三角形,AM為斜邊BC的中線,所以||=2.【解題策略】1.向量減法運算的常用方法2.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系

如圖所示,平行四邊形ABCD中,若=a,=b,則=a+b,=a-b.【補償訓練】

1.化簡下列各式:(1)()+(-).(2)【解析】(1)方法一:原式==.方法二:原式=(2)方法一:原式=方法二:原式=2.下列各式中不能化簡為的是 (

)A.B.C.D.【解析】選D.選項A中,=;選項B中,選項C中,類型三向量加減運算幾何意義的應用(數(shù)學建模、邏輯推理)

角度1利用已知向量表示未知向量

【典例】如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,B是該平行四邊形外一點,且試用向量a,b,c表示向量【思路導引】由平行四邊形的性質(zhì)可知=c,由向量的減法可知:=,由向量的加法可知=.【解析】因為四邊形ACDE是平行四邊形,所以故【變式探究】本例中的條件“B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內(nèi)一點”,其他條件不變,其結(jié)論又如何呢?【解析】如圖,因為四邊形ACDE是平行四邊形,所以角度2求解或證明幾何問題

【典例】已知非零向量a,b滿足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,則|a+b|的值為________.

【思路導引】作出圖形,利用向量的加減法幾何意義求解.【解析】如圖,=a,=b,則||=|a-b|.以OA與OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則||=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.故||2+||2=||2,所以△OAB是以∠AOB為90°的直角三角形,從而OA⊥OB,所以?OACB是矩形.根據(jù)矩形的對角線相等有||=||=4,即|a+b|=4.答案:4【解題策略】1.解決用已知向量表示未知向量問題應搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、平行向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系,確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.2.利用向量加、減法求解或證明問題的一般步驟如下:(1)由題意作出相對應的幾何圖形,構(gòu)造有關(guān)向量.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則,對向量的加、減法進行運算.(3)構(gòu)造三角形(一般是直角三角形),利用三角形的邊、角關(guān)系解題.【題組訓練】1.如圖,在△ABC中,D,E分別為邊AC,BC上的任意一點,O為AE,BD的交點,已知

=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.【解析】在△OBE中,有=e-c,在△ABO中,=e-c-a,在△ABD中,=a+b,所以在△OAD中,=e-c-a+a+b=e-c+b.2.如圖所示,已知試用a,b,c,d,e,f表示:

【解析】(1)因為(2)因為所以=b+f-a-c.(3)因為所以備選類型向量加減運算的三角不等式(數(shù)學建模、邏輯推理)【典例】已知向量a,b,那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系?【思路導引】(1)零向量的運算性質(zhì).(2)向量加(減)法的三角形法則.【解析】它們之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)當a,b有一個為零向量時,不等式顯然成立.(2)當a,b不共線時,作=a,=b,則a+b=,如圖(1)所示,根據(jù)三角形的性質(zhì),有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)當a,b非零且共線時,①當向量a與b同向時,作法同上,如圖(2)所示,此時|a+b|=|a|+|b|.②當向量a,b反向時,不妨設|a|>|b|,作法同上,如圖(3)所示,此時|a+b|=|a|-|b|.

綜上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【解題策略】1.平面向量加減法的幾何意義:平行四邊形ABCD中,若=a,=b,則

=a+b,=a-b.

2.類比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.【補償訓練】

(2020·本溪高一檢測)已知菱形ABCD的邊長為2,則向量的模為________;||的取值范圍是________.

【解析】因為又||=2,所以答案:2

(0,4)1.下列等式:①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a-b=a+(-b),其中正確的個數(shù)是(

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.根據(jù)向量的加減運算易知①②③④均正確.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.(教材二次開發(fā):練習改編)在△ABC中,向量可表示為 (

)A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④【解析】選C.由向量的減法與加法可得②③④正確.3.如圖,在四邊形ABCD中,設=a,=b,=c,則等于 (

)

A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c【解析】選A.=a+c-b=a-b+c.4.如圖,在正六邊形ABCDEF中,與相等的向量有_______.(填序號)

【解析】因為所以填①.答案:①5.在平行四邊形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:當a,b分別滿足什么條件時,四邊形ABCD為矩形、菱形、正方形?【解析】由向量加法的平行四邊形法則,得=a+b,=-=a-b.當a,b滿足|a+b|=|a-b|時,平行四邊形的兩條對角線相等,四邊形ABCD為矩形;當a,b滿足|a|=|b|時,平行四邊形的兩條鄰邊相等,四邊形ABCD為菱形;當a,b滿足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|時,四邊形ABCD為正方形.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞5.在平行四邊形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:當a,b