高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2-1-2演繹推理課件新人教A版選修1-2

2.1.2演繹推理

必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是演繹推理?2.如何利用演繹推理證明簡(jiǎn)單命題?1.演繹推理(1)含義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這種推理稱為演繹推理.(2)特點(diǎn):演繹推理是由___________的推理.一般到特殊【思考】(1)合情推理與演繹推理有什么區(qū)別?提示:合情推理是由特殊到一般或由特殊到特殊的推理,而演繹推理是由一般到特殊.(2)演繹推理的前提和結(jié)論一般是什么?提示:演繹推理的前提是一般性原理,演繹推理所得的結(jié)論是蘊(yùn)含于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí),結(jié)論完全蘊(yùn)含于前提之中.2.三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況_____結(jié)論根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷S是PS是M【思考】三段論中的推理形式錯(cuò)誤有哪些?提示:只要是兩類:一是大小前提中的M不相同,二是小前提不能寫成“S是M”的形式,導(dǎo)致不能滿足三段論的邏輯關(guān)系.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯(cuò)誤的. (

)(2)“三段論”就是演繹推理. (

)(3)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確. (

)提示:(1)√.因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的,所以結(jié)論錯(cuò)誤.(2)×.三段論是演繹推理的一種重要形式.(3)×.只要大前提或小前提有一個(gè)錯(cuò)誤,即使符合演繹推理的形式,結(jié)論也不正確.2.下面幾種推理過程是演繹推理的是 (

)A.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人數(shù)超過50人B.兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180°C.由平面三角形的性質(zhì),推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)D.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=

(n≥2),通過計(jì)算a2,a3,a4由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式2.下面幾種推理過程是演繹推理的是 (

)A.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人數(shù)超過50人B.兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180°C.由平面三角形的性質(zhì),推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)D.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=

(n≥2),通過計(jì)算a2,a3,a4由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式【解析】選B.A選項(xiàng)“高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人數(shù)超過50人”是歸納推理,故不符合題意;B選項(xiàng)是演繹推理,大前提是“兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)”,小前提是“∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角”,結(jié)論是“∠A+∠B=180°”,故符合題意;C選項(xiàng)“由平面三角形的性質(zhì),推出空間四邊形的性質(zhì)”是類比推理,故不符合題意;D選項(xiàng)“在數(shù)列{an}中,a1=1,an=(n≥2),通過計(jì)算a2,a3,a4,由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式”是歸納推理,故不符合題意.3.“所有金屬都能導(dǎo)電,鐵是金屬,所以鐵能導(dǎo)電”這種推理屬于 (

)A.演繹推理 B.類比推理C.合情推理 D.歸納推理【解析】選A.“所有金屬都能導(dǎo)電”是大前提,“鐵是金屬”是小前提,“鐵能導(dǎo)電”是結(jié)論,滿足三段論的形式,是演繹推理.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一用三段論的形式表示演繹推理(邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是 (

)A.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:π是無理數(shù);結(jié)論:π是無限不循環(huán)小數(shù)B.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);結(jié)論:π是無理數(shù)C.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);結(jié)論:π是無理數(shù)D.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:π是無理數(shù);結(jié)論:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)2.將下列推理寫成“三段論”的形式:(1)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向;(2)

是有理數(shù);(3)y=sinx(x∈R)是周期函數(shù).【解析】1.選B.對(duì)于A,小前提和結(jié)論顛倒,不符合演繹推理三段論形式;對(duì)于B,符合演繹推理三段論形式且推理正確;對(duì)于C,大、小前提顛倒,不符合演繹推理三段論形式;對(duì)于D,大、小前提及結(jié)論顛倒,不符合演繹推理三段論形式.【解析】1.選B.對(duì)于A,小前提和結(jié)論顛倒,不符合演繹推理三段論形式;對(duì)于B,符合演繹推理三段論形式且推理正確;對(duì)于C,大、小前提顛倒,不符合演繹推理三段論形式;對(duì)于D,大、小前提及結(jié)論顛倒,不符合演繹推理三段論形式.2.(1)大前提:向量是既有大小又有方向的量.小前提:零向量是向量.結(jié)論:零向量也有大小和方向.(2)大前提:所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).小前提:是循環(huán)小數(shù).結(jié)論:是有理數(shù).(3)大前提:三角函數(shù)是周期函數(shù).小前提:y=sinx(x∈R)是三角函數(shù).結(jié)論:y=sinx(x∈R)是周期函數(shù).【解題策略】把演繹推理寫成“三段論”的一般方法(1)用“三段論”寫推理過程時(shí),關(guān)鍵是明確大、小前提,三段論中大前提提供了一個(gè)一般性原理,小前提提供了一種特殊情況,兩個(gè)命題結(jié)合起來,揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系.(2)在尋找大前提時(shí),要保證推理的正確性,可以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.【補(bǔ)償訓(xùn)練】將下列演繹推理寫成三段論的形式.①平行四邊形的對(duì)角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線互相平分;②等腰三角形的兩底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的底角,則∠A=∠B;③通項(xiàng)公式為an=2n+3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列.【解析】①大前提:平行四邊形的對(duì)角線互相平分,小前提:菱形是平行四邊形,結(jié)論:菱形的對(duì)角線互相平分.②大前提:等腰三角形的兩底角相等,小前提:∠A,∠B是等腰三角形的底角,結(jié)論:∠A=∠B.③大前提:數(shù)列{an}中,如果當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1為常數(shù),則{an}為等差數(shù)列,小前提:通項(xiàng)公式為an=2n+3時(shí),若n≥2,則an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常數(shù)),結(jié)論:通項(xiàng)公式為an=2n+3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列.類型二用三段論證明幾何問題(邏輯推理、直觀想象)【典例】如圖,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點(diǎn),∠BFD=∠A,DE∥BA,求證:ED=AF,寫出三段論形式的演繹推理.【思路導(dǎo)引】利用“同位角相等,兩直線平行”和“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”及“平行四邊形對(duì)邊相等”完成證明.【解析】因?yàn)橥唤窍嗟?兩直線平行, ........大前提∠BFD與∠A是同位角,且∠BFD=∠A, ........小前提所以FD∥AE. ........結(jié)論因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形,..............大前提DE∥BA,且FD∥AE,........................................小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形.................................結(jié)論因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等

................................大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊,

...........................小前提所以ED=AF.

................................................結(jié)論【變式探究】1.若增加條件“∠C=∠A”,證明:∠BFD=∠BDF.【證明】因?yàn)橥唤窍嗟?兩直線平行,................大前提∠BFD與∠A是同位角,且∠BFD=∠A,..................小前提所以FD∥AE.........................................結(jié)論因?yàn)閮芍本€平行,同位角相等,........................大前提FD∥AE,且∠BDF與∠C是同位角, ......................小前提所以∠BDF=∠C. ......................................結(jié)論又因?yàn)椤螩=∠A,∠BFD=∠A...........................小前提所以∠BFD=∠BDF.....................................結(jié)論2.將典例中“∠BFD=∠A”改為“∠BFD=∠DEC”,如何證明結(jié)論?【證明】因?yàn)镈E∥BA.所以∠DEC=∠A,又因?yàn)椤螧FD=∠DEC,所以∠BFD=∠A.所以DF∥AC.又因?yàn)镈E∥BA,所以四邊形AEDF為平行四邊形.所以ED=AF.【解題策略】1.用“三段論”證明命題的格式2.用“三段論”證明命題的步驟(1)理清證明命題的一般思路.(2)找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因.(3)把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來.【跟蹤訓(xùn)練】已知:在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),如圖所示,求證:EF∥平面BCD.【證明】因?yàn)槿切蔚闹形痪€平行于底邊,........................大前提點(diǎn)E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),.....................................小前提所以EF∥BD.....................................................結(jié)論若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線,則直線與此平面平行,.....大前提EF?平面BCD,BD?平面BCD,EF∥BD, ......................................................小前提所以EF∥平面BCD................................................結(jié)論類型三用三段論證明代數(shù)問題(邏輯推理)【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=

其中a為實(shí)數(shù),若f(x)的定義域?yàn)镽,證明實(shí)數(shù)a的取值范圍為0<a<4.【思路導(dǎo)引】若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則其分母對(duì)應(yīng)的方程沒有實(shí)數(shù)根,再由判別式小于零可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【證明】若函數(shù)定義域?yàn)镽,則函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有意義,.............................................................大前提因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,.........................................小前提所以x2+ax+a≠0恒成立...........................................結(jié)論所以Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.即當(dāng)0<a<4時(shí),f(x)的定義域?yàn)镽【解題策略】五類代數(shù)問題中的三段論(1)函數(shù)類問題:比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等.(2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)的極值和最值,證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等.(3)三角函數(shù)問題:利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換,證明三角恒等式.(4)數(shù)列問題:數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,證明等差數(shù)列和等比數(shù)列.(5)不等式類問題:如不等式恒成立問題,線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題.【跟蹤訓(xùn)練】1.設(shè)a>0,b>0,a+b=1,求證:

≥8.【證明】因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2,即所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立,所以≥8.2.求證:函數(shù)f(x)=

是定義域上的增函數(shù).【證明】函數(shù)定義域?yàn)镽.任取x1,x2∈R且x1<x2.則f(x1)-f(x2)=因?yàn)閤1<x2,所以所以<0,又因?yàn)?1>0,+1>0,所以(+1)(+1)>0.所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2).故f(x)為R上的增函數(shù).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.平行于同一直線的兩直線平行,因?yàn)閍∥b,b∥c,所以a∥c,這個(gè)推理稱為(

)A.合情推理 B.歸納推理C.類比推理 D.演繹推理【解析】選D.本題的推理模式是三段論,故該推理是演繹推理.2.①y=2x+5是一次函數(shù);②y=2x+5的圖象是一條直線;③一次函數(shù)的圖象是一條直線.寫一個(gè)“三段論”形式的正確推理,則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是 (

)

A.②①③ B.③②① C.①②③ D.③①②【解析】選D.三段論:①y=2x+5是一次函數(shù);②y=2x+5的圖象是一條直線;③一次函數(shù)的圖象是一條直線;大前提是③,小前提是①,結(jié)論是②.故排列的次序應(yīng)為:③①②.3.有一段三段論形式的推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x0)=0,則x=x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),因?yàn)閒(x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為0,所以x=0是f(x)=x3的極值點(diǎn),以上推理 (

)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確【解析】選A.大前提是“對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x0)=0,則x=x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”,不是真命題,因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),如果f′(x0)=0,且滿足在x0附近左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值異號(hào),那么x=x0才是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以大前提錯(cuò)誤.4.“有些指數(shù)函數(shù)是減函數(shù),y=2x是指數(shù)函數(shù),所以y=2x是減函數(shù)”,上述推理(

)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.以上都不是【解析】選C.因?yàn)榇笄疤岬男问?“有些指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)”,不是全稱命題,所以不符合三段論推理形式,所以推理形式錯(cuò)誤.5.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:

【證明】因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),由基本不等式可得即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào),所以+abc.而當(dāng)且僅當(dāng)=abc,即a=b=c=時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞4.“有些指數(shù)函數(shù)是減函數(shù),y=2x是指數(shù)函數(shù),所以y=2x是減函數(shù)”,上述推理(

)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.以上都不是【解析】選C.因?yàn)榇笄疤岬男问?“有些指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)”,不是全稱命題,所以不符合三段論推理形式,所以推理形式錯(cuò)誤.2.①y=2x+5是一次函數(shù);②y=2x+5的圖象是一條直線;③一次函數(shù)的