高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2-2-2反證法課件新人教A版選修1-2

2.2.2反證法必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是反證法?2.如何利用反證法解決數(shù)學(xué)問題?反證法的定義及證題關(guān)鍵【思考】什么情況下應(yīng)該用反證法證明?提示:當(dāng)問題從正面求解無(wú)從入手或條件很少時(shí)常用反證法,對(duì)一些存在性、否定性、唯一性等問題也常用反證法解決.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí),應(yīng)假設(shè)“a<b”. (

)(2)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾. (

)(3)反證法就是通過證明逆否命題來(lái)證明原命題. (

)提示:(1)×.應(yīng)假設(shè)“a≤b”.(2)×.只否定結(jié)論.(3)×.反證法是先否定命題,然后再證明命題的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原命題正確,不是通過逆否命題證明.2.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q>2;②設(shè)a為實(shí)數(shù),f(x)=x2+ax+a,求證|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不小于

,用反證法證明時(shí)可假設(shè)|f(1)|≥

,且|f(2)|≥

,以下說(shuō)法正確的是(

)A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B.①與②的假設(shè)都正確C.①的假設(shè)正確,②的假設(shè)錯(cuò)誤D.①的假設(shè)錯(cuò)誤,②的假設(shè)正確【解析】選C.①用反證法證明時(shí),假設(shè)命題為假,應(yīng)為全面否定,所以p+q≤2的否命題應(yīng)為p+q>2,故①的假設(shè)正確;②|f(1)|與|f(2)|中至少有一個(gè)不小于的否定為|f(1)|與|f(2)|都小于,故②的假設(shè)錯(cuò)誤.3.用反證法證明“若a+b+c<3,則a,b,c中至少有一個(gè)小于1”時(shí),“假設(shè)”應(yīng)為 (

)A.假設(shè)a,b,c至少有一個(gè)大于1B.假設(shè)a,b,c都大于1C.假設(shè)a,b,c至少有兩個(gè)大于1D.假設(shè)a,b,c都不小于1

3.用反證法證明“若a+b+c<3,則a,b,c中至少有一個(gè)小于1”時(shí),“假設(shè)”應(yīng)為 (

)A.假設(shè)a,b,c至少有一個(gè)大于1B.假設(shè)a,b,c都大于1C.假設(shè)a,b,c至少有兩個(gè)大于1D.假設(shè)a,b,c都不小于1

【解析】選D.考慮命題的反面,即可得出結(jié)論.由于命題:“a,b,c中至少有一個(gè)小于1”的反面是“a,b,c都不小于1”,故用反證法證明“若a+b+c<3,則a,b,c中至少有一個(gè)小于1”時(shí),“假設(shè)”應(yīng)為“a,b,c都不小于1”.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一用反證法證明否定性命題(邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列.求證:

不成等差數(shù)列.2.設(shè)SA,SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓心,C是SB上一點(diǎn),求證:AC與平面SOB不垂直.【證明】1.假設(shè)成等差數(shù)列,則即a+c+=4b.因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b=,所以a+c+,所以()2=0,即從而a=b=c,與a,b,c不成等差數(shù)列矛盾,故不成等差數(shù)列.2.假設(shè)AC⊥平面SOB,如圖,因?yàn)橹本€SO在平面SOB內(nèi),所以SO⊥AC.因?yàn)镾O⊥底面,所以SO⊥AB.所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面.這顯然矛盾,所以假設(shè)不成立,即AC與平面SOB不垂直.【解題策略】1.用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題,此類問題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法.【解題策略】1.用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題,此類問題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法.2.用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟

類型二用反證法證明“至多”“至少”問題(邏輯推理)【典例】已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù).求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).【思路導(dǎo)引】考慮拋物線與x軸的交點(diǎn)問題,利用Δ來(lái)解決問題.【證明】假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線中,任何一條都與x軸沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn).則Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,Δ3=(2a)2-4bc≤0.上述三個(gè)同向不等式相加,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,所以a=b=c,這與a,b,c互不相等矛盾.因此假設(shè)不成立,從而原命題得證.【解題策略】證明時(shí)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”

結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立至少有n個(gè)至多有n個(gè)﹁p或﹁q

反設(shè)詞一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)存在某個(gè)x0不成立存在某個(gè)x0成立至多有(n-1)個(gè)至少有(n+1)個(gè)﹁p且﹁q

【跟蹤訓(xùn)練】已知x,y,z均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+

,b=y2-2z+

,c=z2-2x+

.求證a,b,c中至少有一個(gè)大于0.【證明】假設(shè)a,b,c都不大于0,則a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0,而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,因?yàn)棣?3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,所以a+b+c>0,與a+b+c≤0矛盾,所以a,b,c中至少有一個(gè)大于0.類型三用反證法證明“唯一性”“存在性”問題(邏輯推理)【典例】已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù)不間斷,且f(x)在[a,b]上單調(diào),f(a)>0,f(b)<0.求證:函數(shù)y=f(x)在[a,b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).【思路導(dǎo)引】否定結(jié)論,利用反證法推出矛盾,則原命題正確.【證明】由于y=f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不間斷,又f(a)>0,f(b)<0,即f(a)·f(b)<0,故y=f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在零點(diǎn)x0.下面用反證法證明只有一個(gè)零點(diǎn)x0.假設(shè)y=f(x)在[a,b]上還存在一個(gè)零點(diǎn)x1(x1≠x0),則f(x1)=0.由函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)且f(a)>0,f(b)<0知,f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減.若x1>x0,則f(x1)<f(x0),即0<0,矛盾,若x1<x0,則f(x1)>f(x0),即0>0,矛盾.因此假設(shè)不成立,即f(x)的零點(diǎn)是唯一的.【解題策略】證明“唯一性”問題的方法“唯一性”包含“有一個(gè)”和“除了這個(gè)沒有另外一個(gè)”兩層意思.證明后一層意思時(shí),采用直接證明往往會(huì)相當(dāng)困難,因此一般情況下都采用間接證明,即用反證法(假設(shè)“有另外一個(gè)”,推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個(gè)”,推出它就是“已知那一個(gè)”)證明,而用反證法有時(shí)比用同一法更方便.提醒:證明“有且只有”的問題,需要證明兩個(gè)命題,即存在性和唯一性.【跟蹤訓(xùn)練】求證兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).【證明】已知:a與b是兩條相交直線,求證:a與b有且只有一個(gè)交點(diǎn).證明:假設(shè)結(jié)論不正確,則有兩種可能:a與b無(wú)交點(diǎn),或不止有一個(gè)交點(diǎn).若直線a,b無(wú)交點(diǎn),則a∥b或a,b是異面直線,與已知矛盾.若直線a,b不止有一個(gè)交點(diǎn),則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B,這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A,B就有兩條直線,這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾.故直線a與b有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述,兩相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證:過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.【證明】已知:點(diǎn)P在直線a外.求證:過點(diǎn)P與直線a平行的直線有且只有一條.因?yàn)辄c(diǎn)P在直線a外,所以點(diǎn)P和直線a確定一個(gè)平面,設(shè)該平面為α,在平面α內(nèi),過點(diǎn)P作直線b,使得b∥a,則過點(diǎn)P有一條直線與a平行.假設(shè)過點(diǎn)P還有一條直線c與a平行,因?yàn)閍∥b,a∥c,所以b∥c,這與b,c相交于點(diǎn)P矛盾,故假設(shè)不成立.故過點(diǎn)P與直線a平行的直線有且只有一條.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.用反證法證明命題“如果x<y,那么

”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是(

)

【解析】選C.大于的反面是小于或等于,因此假設(shè)的內(nèi)容為2.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰好有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為 (

)A.a,b,c都是奇數(shù)B.a,b,c都是偶數(shù)C.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【解析】選D.涉及的數(shù)有三個(gè),因此“恰好有一個(gè)”的反面是“沒有或至少有兩個(gè)”.3.用反證法證明“a,b∈N*,如果ab能被2018整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被2018整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是 (

)A.a不能被2018整除B.b不能被2018整除C.a,b都不能被2018整除D.a,b中至多有一個(gè)能被2018整除【解析】選C.命題的否定只否結(jié)論,即“a,b中至少有一個(gè)能被2018整除”的否定為“a,b都不能被2018整除”.4.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b的位置關(guān)系為 (

)A.一定是異面直線 B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線【解析】選C.假設(shè)c∥b,而由c∥a,可得a∥b,這與a,b異面矛盾,故c與b不可能是平行直線.5.求證:一個(gè)三角形中,最大的角不小于60°.【證明】假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角中最大的角小于60°,即A<60°,B<60°,C<60°,則A+B+C<60°+60°+60°=180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞4.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b的位置關(guān)系為 (

)A.一定是異面直線 B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線【解析】選C.假設(shè)c∥b,而由c∥a,可得a∥b,這與a,b異面矛盾,故c與b不可能是平行直線.2.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰好有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為 (

)A.a,b,c都是奇數(shù)B.a,b,c都是偶數(shù)C.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【解析】選D.涉及的數(shù)